2025年高中数学《函数与基本初等函数》综合测试卷（含答案及解析）

第二章函数与基本初等函数综合测试卷

（新高考专用）

（考试时间：120分钟;满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求.

1.（5分）（2024•湖南•二模）己知函数/（久）的部分图象如图所示，则函数久久）的解析式可能为（）

A./(%)=一附B./(%)=一而三

C./0)=-隹^D.f(久)=-黑

—2CLX%>1

lx-l,x<l是R上的增函数，则实数a的取值范围

是()

A.(0总B.(0百C.(0,1)D.(0,1]

1

3.(5分)(2024•天津南开•二模)已知a=logg2,b=log?乎，c=Q)3,则().

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>c>a

4.(5分)(2024•青海海西•模拟预测)北京时间2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用

长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功.在不考虑空

气阻力的情况下，火箭的最大速度"(km/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关

系是u=20001n(l+\).按照这个规律，当1000M=8m时，火箭的最大速度为也；当1000"=4m时，火

箭的最大速度为"2.财^―艺〜(参考数据：ln|||=0.004)()

A.8.0km/sB.8.4km/sC.8.8km/sD.9.0km/s

5.(5分)(2024•河北沧州•模拟预测)已知函数f(%)定义域为R,且函数f(%)与f(%+1)均为偶函数，当

%E[0,1]时，/(汽)是减函数，设力=/停)，c=/(logi62)，则b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

6.(5分)(2024・重庆・模拟预测)已知函数/(%)是定义在R上周期为4的奇函数，且/(%)=

{-x+2,l<x<21则不等式以0—1)<。在(一2,2)上的解集为()

A.(-2,-1)B.(-2,-1)U(0,1)

C.(-1,0)U(0,1)D.(-1,0)U(1,2)

7.(5分)(2024・四川绵阳•模拟预测)已知函数/(%)={篇;3亥，9(%)=%-3,方程/(g(%))=-3-g(%)

有两个不同的根，分别是%则％1+%2=()

A.0B.3C.6D.9

8.(5分)(2024・湖南邵阳•三模)已知函数/(%)及其导函数广(%)的定义域均为R,记9(%)=，(%),函数/

(2%+3)的图象关于点(一1,1)对称.若对任意久ER,有/(%+3)=%+/(3-%),则下列说法正确的是()

A.9(%)不为周期函数B./(%)的图象不关于点(1,1)对称

C.5(211)=|D./(985)=1

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.(5分)(2024•福建泉州•模拟预测)已知a>0,6>0,且a+b=4,贝ij()

A.a+2/?>4B.(a-l)(6-l)>1

a

C.log2a+log2/?>2D.2+V4^>8

10.(5分)(2024•河北•模拟预测)已知函数/(%)=e久+2%-2应(%)=21nx+%-2的零点分别为第i,%2，则

A.2%i+冷=2B.巧冷=e"i+ln%2

4

C.+12>ED.2%1%2<Ve

11.(5分)(2024•新疆・三模)已知f(%),g(%)都是定义在R上的函数，对任意实数x,y满足+y)-/(x-y)

=2g(x)f(y),/(2)+/(1)=0且/'(2)"(1)中0,则下列结论正确的是

A./(0)=0B.5(1)=4

^—12024

C.f(x)为奇函数D.〉f(n)=2024

ln=l

12.(5分)(2024•全国•模拟预测)己知函数/'㈤对任意eR恒有/(x+y)=/(x)+/(y),且当％<0时，

/Q)<0,/(2)=3,则下列结论中正确的是()

A./(x)的图象关于y轴对称

B./(久)在R上单调递增

C.|/(x)|W3的解集为[—2,2]

D.若/(尤)—4<37n2+。澳对Vxe[-2,2],ae[—4,用恒成立，则实数小的取值范围为(—，g)

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)(2024•湖北武汉•二模)已知函数f(2久+1)的定义域为则函数的定义域为.

14.(5分)(2024・陕西西安•三模)已知函数/'(久)=+]n(Vx2+1_%),^f(a—1)+/(2a2)>2,贝ija

的取值范围为.

15.(5分)(2024•河南•二模)已知函数f(x)是偶函数,对任意工€>均有/'(x)=/(x+2),当久6[0,1]时,

/(%)=1-%,则函数g(x)=/(x)-log5(x+1)的零点有个.

16.(5分)(2024•湖南衡阳•模拟预测)己知f(x),g(x)是定义域为R的函数，且/'(x)是奇函数，g(x)是偶

函数，满足fO)+g(x)=a/+x+2,若对任意的1<打<久2<2,都有里笠警>—3成立，则实数a的取

值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)(2023•江苏连云港•模拟预测)计算：

(1)(29°3+。「2+(2号尸-3"。+篇

2103

(2)Iog23-log34+(lg5)+lg5-lg20+|lgl6-2^.

18.(12分)(2024・上海・三模)已知f(x)=M，函数y=/(x)是定义在(-2,2)上的奇函数，且f(l)=5

(1)求/(%)的解析式；

(2)判断y=/(久)的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.

19.(12分)(2024・全国•模拟预测)设函数/•(%)=

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)若/(%)的最大值为粗，正实数Q力,c满足ab+2b2+3ac+6bc=TH,求a+3b+3c的最小值.

20.(12分)(2023・湖南岳阳•模拟预测)已知函数f(%)=-(log?%)?+mlog4%+2(2<%<16),且函数/(%)

的图象经过点(4,6).

(1)求实数租的值；

(2)求函数f(x)的最小值和最大值.

21.(12分)(2024•上海徐汇•二模)已知函数y=/(x),其中f(X)=log£.

⑴求证:y=f(x)是奇函数;

(2)若关于光的方程/(尤)=logi(x+k)在区间［3,4］上有解，求实数k的取值范围.

2

22.(12分)(2024•河南•模拟预测)已知函数/(>)对任意实数x,y恒有/(%-丫)+/0+丫)=/(2%)成立，且

当久<0时，f(%)>0.

⑴求/(0)的值；

(2)判断/(吗的单调性，并证明；

(3)解关于x的不等式:/'［/―缶+2)久］+/(a+y)+/(a-y)>0.

第二章函数与基本初等函数综合测试卷

（新高考专用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求.

1.（5分）（2024•湖南•二模）己知函数/（久）的部分图象如图所示，则函数久久）的解析式可能为（）

A./（%）=一附B./（%）=一而三

C./0）=-隹^D.f（久）=-黑

【解题思路】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解.

【解答过程】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；

由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B；

由图可知，当XT+8时，00,

而对于D选项，当%t+8时，y-0,故排除D.

故选：A.

2.(5分)(2024•陕西渭南・二模)已知函数=是R上的增函数，则实数。的取值范围

是()

A.(0总B.(0,刍C.(0,1)D.(0,1]

【解题思路】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.

【解答过程】由f(x)=1蓝管二J是R上的增函数，得i>0，解得0<awg

所以实数。的取值范围是(0/.

故选：B.

工

3.(5分)(2024•天津南开•二模)已知a=logb2,b-log2^,c=(|)\贝U().

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>c>a

【解题思路】借助对数函数与指数函数的单调性，可得a、b、c范围，即可判断.

【解答过程】因为a=log82=强〉嚼=1,

"3lnV3lnV3

10

Z?=log2Y=log22~=-po<c=Q)3<(|)=1,

故a>c>b.

故选：C.

4.(5分)(2024•青海海西•模拟预测)北京时间2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用

长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功.在不考虑空

气阻力的情况下，火箭的最大速度u(km/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关

系是-=20001n(l+.).按照这个规律，当1000M=8m时，火箭的最大速度为也；当1000M=4m时，火

箭的最大速度为也.则也-以〜(参考数据：lnf|«0.004)()

A.8.0km/sB.8.4km/sC.8.8km/sD.9.0km/s

【解题思路】根据题意，利用给定的函数关系式，分别求得%?2,结合对数的运算性质，求得也-以的值,

即可求解.

【解答过程】由火箭的最大速度〃和燃料的质量M、火箭的质量小的函数关系是u=20001n(l+「)，当

1000"=8m时，有白蕊，所以也=20001n(l+盛)=20001喘

当1000M=4m时，有合嬴，所以以=20001n(l+嬴)=20001n儒，

可得也一以=20001n|^|=20001n||^^2000x0.004=8km/s.

故选：A.

5.(5分)(2024•河北沧州・模拟预测)已知函数/(%)定义域为R,且函数/(%)与/(%+1)均为偶函数，当

%E[0,1]时，/(%)是减函数，设b=f厨,c=/(logi62)，则b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

【解题思路】根据题意，由条件可得函数f(x)是周期为2的函数，则可得b=/G),C=/("),

【解答过程】因为函数f(x)是偶函数，贝行(-乃=/(幻，

又函数/(x+1)为偶函数，则/(—%)=/(2+x),

即f(x)=f(2+x),所以函数f(x)是周期为2的函数，

则6=„=fOC=/(l°gl61)=/(logl62)=/(；),

且当％w[0,1]时,/(%)是减函数，

由;<|<轲得公)>熊)>熊)，即c>a-

故选：C.

6.(5分)(2024•重庆•模拟预测)已知函数久久)是定义在R上周期为4的奇函数，且f(x)=

{-x+2,l<x<2,则不等式好QT)<。在(—2,2)上的解集为()

A.(-2,-1)B.(-2,—1)U(0,1)

C.(-1,0)U(0,1)D.(-1,0)U(1,2)

【解题思路】由函数y=/(%)的图象向右平移1个单位长度，作出函数y=/(%—l)在[-2,2]上的图象，结合

图象，即可求解.

【解答过程】因为函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，且/(尤)={_%¥最邕七2，

所以当xe(-1,0]时,f(x)=x;

当工€[—2,—1]时，-支E[1,2],所以/(%)=—/(一久)=一(％+2)=一汽-2；

当％W[—3,-2]时，%+46[1,2],所以/(%)=/(%+4)=—(久+4)+2=—%—2,

函数y=的图象可由函数y=/(%)的图象向右平移1个单位长度得到，

作出函数y=f(x-l)在［-2,2］上的图象，如图所示.

由图可知不等式1)<。在(—2,2)上的解集为(—2,—1)U(0,1).

故选：B.

7.(5分)(2024•四川绵阳•模拟预测)已知函数/(乃=｛息:梵，g(K)=x—3,方程f(g(x))=—3—g(x)

有两个不同的根，分别是尤1/2,则+x2=()

A.0B.3C.6D.9

【解题思路】方程/(或久))=一3-g(x)有两个不同的根等价于函数y=/(g(x))与y=的图象有两个交点,

作出函数/(或切)与旷=-刀的图象，根据数形结合计算即可得出结果.

【解答过程】由题意得：g(x)=x—3为R上的增函数，且9(3)=0,

当xW3时，g(x)W0,f(g(x))=e，-3,

当x>3时,g(x)>0,=ln(x—3),

方程f(g(x))=-3-g(x)=一x有两个不同的根等价于函数y=/(g(x))与y=-x的图象有两个交点，

作出函数f(g(x))与y=-x的图象如下图所示：

由图可知y=1-3与丫=ln(x—3)图象关于y=%-3对称，

则两点关于y=%-3对称，中点C在y=%-3图象上，

由｛二渭，解得:《!，-1)•

所以％1+x2=2x-=3.

8.(5分)(2024•湖南召B阳•三模)已知函数/(%)及其导函数((%)的定义域均为R,记9(%)=/'(%),函数/

(2久+3)的图象关于点(-1,1)对称.若对任意久6R,有f(久+3)=久+f(3—x),则下列说法正确的是()

A.g(x)不为周期函数B./(%)的图象不关于点(1,1)对称

C.5(211)=1D./(985)=1

【解题思路】利用函数成中心对称的恒等式来证明新函数的对称性，再利用双对称来证明函数的周期性，

从而就可以来判断各选项.

【解答过程】因为函数打2%+3)的图象关于点(-1,1)对称，

所以九2(%—1)+3]+/[2(-%-1)+3]=2,即f(2x+1)+/(-2x+1)=2,

则/(x)的图象关于点(1,1)对称，B选项错误.

由/'(x+3)=x+得+3)—|(x+3)=/(3—%)—1(3—%).

令h(x)=f(x)-x,则/(x)=h(x)+%

由+3)=九(3—%),得似%)的图象关于直线久=3对称.

又/(%)的图象关于点(L1)对称，贝叶(％+1)+/(1-%)=2,

所以仅%+1)+|(x+1)+/i(l—%)+1(1—x)=2,BP/i(x+1)+/i(l—%)=1,

则可得八0)的图象关于点(1,£)对称,

故"%)为周期函数，且周期为8,依)=依+8),

所以，〃985)=/1(985)+罢=/1(1)+亭=：+等=493,D选项错误.

又/'(久)=八⑶+3=h(x+8)+|x=f(x+8)-1(久+8)+|x,则f(x+8)=f(x)+4,

所以/'(%)=/'(%+8),由g(%)=/'(%)得：g(%)=g(%+8),故g(%)为周期函数,A选项错误.

由/(%+3)=%+/(3-%),两边求导得：[0+3)=1--(3-汽)，

由9(%)=/'(%)得：9(%+3)+。(3一久)=1，令％=0得:g⑶=、,

利用9(%)的周期为8,贝！Jg(211)=g(8x26+3)=g(3)=万，C选项正确.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.(5分)(2024•福建泉州•模拟预测)已知。>0,h>0,且a+b=4,则()

A.a+2b>4B.(a-l)(6-l)>l

a

C.log2a+log2h>2D.2+V4^>8

【解题思路】根据不等式的性质可判断A；取。=1,匕=3可判断3Q根据基本不等式可判断D.

【解答过程】由题意，得0VaV4,0cb<4,Q=4—b,

对于A,a+2b=(a+b)+b=4+b>4,故A正确；

对于B,取a=l,b=3,则(a—l)(b—l)=0Vl,故B错误；

对于C,取a=l,b=3f则log?。+log2b=logz3<2,故C错误；

对于D,2°+我=2°+2bz2疡拓=8,当且仅当a=b=2时等号成立，故D正确.

故选：AD.

10.(5分)(2024•河北•模拟预测)已知函数/(%)=於+2久一2应(%)=21口%+%-2的零点分别为％1,%2，则

()

A.2%i+冷=2B.=e^i+ln%2

C.x1+x2>^D.2X1X2<Ve

【解题思路】对于A,由题意得e、1+2%i=21n%2+%2=2,进而得d1=和即可求解判断；对于B,先明确

零点取值范围，由久1取值范围再结合e久1=外即％1=ln%2即可求解判断；对于C,由眇1=外即％1=ln%2以及

零点第2的取值范围即可求解判断；对于D,结合AB以及将2%62转化成(2-e%i)e、】即可判断.

【解答过程】对于A,由题e/+2%1—2=0,21nx2+x2-2=0,

X1

所以e”1+2%i=21nx2+%2=2即e孙+21ne=21n%2+x2=2f

所以e%i=%2，故2%i+0=2%i+e%i=2,故A正确；

对于B,由/'(%)=0,g(x)=0得d=-2x+2,\nx=+1,

故函数y=e'与y=-2x+2图象交点横坐标和y=In%与y=+1图象交点的横坐标即为函数/(%)和g(%)

的零点％L%2,

又由A得0的=%2，故%i=ln%2，

X1%1

所以％i%2=%ie'i<e久i<e+%i=e+lnx2,故B错；

对于C,由上21n%2+工2—2=0即21nx2+x2=2,=ln%2以及1<x2<2得：

i,21nx2+2x2、3、4,,,

%i+x2=ln%2+%2=----2----=1+/2>万>『故C对；

-1

X1

对于D,由AB得0<<-,2xx=2—e<1,

所以2x62=2%送*1=(2-eX1)e%1<e%1<Ve,故D对.

故选：ACD.

11.(5分)(2024•新疆•三模)已知/Q),g(x)都是定义在R上的函数，对任意实数x,y满足/(久+y)—/(久―y)

=2g(x)f(y),f(2)+/(1)=。且f(2)"(1)丰0,则下列结论正确的是

1

A./(0)=0B.9(1)=—5

2024

/(n)=2024

Zn=l

【解题思路】令y=0即可判断A；令x=y=l即可判断B；令x=1可得/"(x)=/(I—x)—/(I+x),结合奇

函数的定义即可判断C；由选项C,令x=l-x可得r(l—x)=n»+f(x—2),求出f(x)的周期即可求解.

【解答过程】f(x+y)-/(x-y)=2^(x)f(y).

A：令y=0,得=2g(x)f(0)=0,则/(0)=0,故A正确；

B：令x=y=l,得f(2)—f(0)=2g(l)f(l),即f(2)=2g⑴〃1),

又/(2)+/(l)=0且/(2)/(1)片0,所以2g(l)/(l)+f(l)=0,解得g(l)=—今故B正确；

c：令X=l,得/(1+y)-=2g⑴f(y),EP/(1+y)-f(l-y)=

得-y)=/(i-y)-/(i+y),所以fO)=+%),得八-x)=f(i+%)-/(i-x),

所以/•(“)+/(-x)=o,则/(x)为奇函数，故c正确；

D：由选项C知/'(X)+x),X-/(l+x)=/(-%-1),

得f(x)=/(1-x)+f(一万-1)①，令x替换成l-x,得f(1一x)=f(x)+f(%-2)②，

①②相加，得f(一光一l)+f(x—2)=0,则f(x—2)=—f(-x—l)=/(x+l),

得人久)=/(%+3),即f(x)的周期为3,所以f(0)=f(3)=0,

因为/'(1)+f(2)+f(3)=0,2024=674x3+2,

2024

f(n)=/⑴+f(2)+/⑶+…+/(2024)=/(I)+/(2)=0,故D错误.

Zn=l

故选：ABC.

12.(5分)(2024•全国•模拟预测)己知函数f(x)对任意久,y€R恒有f(x+y)=fQ)+f(y),且当久<0时，

f(x)<0/(2)=3,则下列结论中正确的是()

A./(x)的图象关于y轴对称

B.f(久)在R上单调递增

C.<(x)|W3的解集为[—2,2]

D.若/(X)—4<3爪2+am对Vxe[―2,2],ae[―4,阳恒成立，则实数小的取值范围为(―

【解题思路】对于A,对抽象函数的等式分别赋值％=丫=0和丫=-x即可判断/(x)是奇函数；对于B,利用

函数的单调性定义推理即得；对于C,利用A,B项分析得到的函数的奇偶性和单调性求解抽象不等式即可；

对于D,利用C的结论得出函数/⑶在[-2,2]上的最大值，将f(x)-4<3/+的等价转化为37n2

+am+1>0在aG[一4,4]上恒成立，结合关于a的一次函数g(a)=ma+37n2+i的图象即得参数6的范围.

【解答过程】对于A,令x=0,y=0,得/'(0)=/(0)+/(0),所以f(0)=0,令y=-x,则/'(0)=/(x)+/

(-x))BP/(x)+/(-%)=0>则f(-x)=

所以/(乃是定义在R上的奇函数，其图象关于原点对称，故A错误；

对于B,设打<电，则％1-乂2<0，又当X<0时，/(%)<0,则有f(久1一冷)<0，

即/。1一X2)=/(X1)+/(-％2)=<0,则/(巧)</(%2)-故/(%)在R上单调递增，故B正确；

对于C,根据选项B可知，函数/(X)在R上单调递增，又因为/(尤)是定义在R上的奇函数，

f(2)=3,所以f(一2)=-3,则，(x)|W3的解集为[一2,2],故C正确；

对于D,因为f(x)在R上单调递增，所以当[—2,2]时,/(x)</(2)=3,

又f(x)<3m2+am+4对VxG[—2,2],ae[-4,旬恒成立,所以3m?+am+4>3,HP3m2+am+1>0在

ae[-4,4]上恒成立,

将y=3m2+由?1+1看成关于a的一次函数g(a)=ma+3m2+1,则需设罚二六工溪+；界g"，

由①可得小>1或血<(，由②可得m<-1或m>-(，故ni的范围为m>1或m<-1,故D错误.

故选：BC.

第II卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)(2024•湖北武汉•二模)已知函数f(2x+1)的定义域为[—1,1),则函数"1—£)的定义域为(—2,2].

【解题思路】借助函数定义域的定义计算即可得.

【解答过程】由函数f(2x+l)的定义域为[―1,1),则有2x+lC[—1,3),

令一1<1一%<3,解得一2<xW2.

故答案为：(-2,2].

14.(5分)(2024•陕西西安•三模)已知函数/'(久)=Mi+若f(a—1)+f(2a2)>2,则a

的取值范围为_(二1^)_.

【解题思路】构造奇函数，结合其单调性解不等式即可.

【解答过程】由条件知xeR,令g(x)=f(x)-1=苴^+ln(、/^TT-x)-l,

则g(-x)=母T+ln("x2+1+x)-l=曷^+ln(v%2+1+%),

易知g(x)+g(T)=0,即g(x)为奇函数，

又，(%)=言+历(号

7I

易知y=mo=4M在尤>°时单调递减，

由复合函数的单调性及奇函数的性质得g(x)=/(x)-1在R上单调递减，

对于/(a-l)+/(2a2)>2og(a—1)+g(2a2>)>0og(a-1)>0(-2小)，

所以Q—1V—2。2=>。£(—l2)

故答案为：(—1,().

15.(5分)(2024・河南・二模)已知函数/(x)是偶函数，对任意xeR,均有f(x)=f(x+2),当久e[0,1]时,

/(x)=1-x,则函数g(x)=/(x)-log5(x+1)的零点有4个.

【解题思路】转化为函数y=f(x)的图象与y=log5(尤+1)的图象的交点个数即可求解.

【解答过程】函数/(X)是偶函数，说明函数f(x)的图象关于y轴对称，/0)=/。+2)说明/(%)的周期是2,

在同一平面直角坐标系中画出函数y=/(X)的图象与y=log5(x+1)的图象，如图所示：

如图所示，共有4个不同的交点，即g(x)=f(x)Tog5(x+1)有4个零点.

故答案为：4.

16.(5分)(2024•湖南衡阳•模拟预测)己知f(x),g(x)是定义域为R的函数，且/'(>)是奇函数，g(x)是偶

函数，满足/(x)+g(K)=a/+%+2,若对任意的1<%1<尤2<2,都有0(；二：2)>_3成立,则实数a的取

值范围是」二夕土出)一

【解题思路】根据题意，得至I—/(x)+g(x)=a/—x+2,联立方程组，求得g(x)=ax2+2,结合题意转化

为g(%i)+3xi<g(%2)+3冷成立，构造h(x)=g(x)+3%=a/+3%+2,得到h(x)在久e(1,2)单调递增，利

用二次函数的性质，分类讨论，即可求解.

【解答过程】因为/(%)是奇函数，g(x)是偶函数，满足/(X)+g(x)=ax?+无+2,

可得/'(-X)+g(-x)=-/(X)+g(x)=ax2-x+2,

联立方程组｛集黄第［或在黄刍，解得g(“)=~+2,

又因为对任意的1</<久2<2,都有吟著2>-3成立，

X1x2

所以9(%1)-g(%2)<-3X1+3%2，所以9(%1)+3%1<g(%2)+3%2成立，

构造九(%)=g(%)+3%=ax2+3x+2,

所以由上述过程可得h(%)=ax2+3x+2在％G(L2)单调递增，

(0若QV。，则对称轴％o=—五之2,解得—1工。<0；

(z7)若。=0,八(久)=3%+2在％€(1,2)单调递增，满足题意；

(nz)若。>0,则对称轴%o=1恒成立；

\

31

-+^

综上可得，CL>—什,47

故答案为：［—1+00).

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)(2023•江苏连云港•模拟预测)计算：

⑴(2秒+0.「2+(2探尸—3皿。+篇

2103

(2)log23-log34+(lg5)+lg5-lg20+|lgl6-2^.

【解题思路】(1)根据指数塞的运算法则直接化简求解即可；

(2)根据对数运算法则直接化简求解即可.

212

【解答过程】⑴(2H+0.L+(2号尸一3口。+*即+102+箭一3+-=扛1。。+方3+<

=3+97=100.

lo

(2)log23-log34+Qg5)2+lg5-lg20+|lgl6-2823=^||•^|+lg5-(lg5+lg20)+21g2-3=2+lg5-1g

100+21g2—3=2+2(lg5+lg2)—3=2+2—3=1.

18.(12分)(2024・上海•三模)已知/(x)=M，函数丫=/(均是定义在(—2,2)上的奇函数，且/'⑴=《

(1)求/(%)的解析式；

(2)判断y=/(久)的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.

【解题思路】(1)根据题意，由奇函数的性质可得/(0)=0,求出b的值，结合函数的解析式求出a的值，

计算可得答案；

(2)根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案.

【解答过程】(1)根据题意，/(%)=图是定义在(-2,2)上的奇函数，

则有/1(0)=3=0,解得b=0,

又由/■⑴=[=],解得a=l,

所以/(')=士7，/(%)定义域为(一2,2),

一%—XX

且/'(-X)=曰二不=屋方=所以/■(%)=匚加一2<%<2)；

(2)外町在区间(-2,2)上为严格增函数.

证明如下：设任意一2<打<犯<2,则7~01)—/(犯)=言一息=*：惠二;；),

由一2<%1<尤2<2,得一4<X1%2<4,

即4+%1刀2>°，不一万2<0，(4—%i)(4—%2)>0,

所以/1。1)一〃>2)<0,SPf(X1)<f(X2),

故f(x)在区间(-2,2)上为严格增函数.

19.(12分)(2024•全国•模拟预测)设函数/(%)=伊―1|一2比+

(1)作出函数/(久)的图象；

(2)若/(%)的最大值为小，正实数a,b,c满足ab+2b2+3ac+6bc=m,求a+36+3c的最小值.

【解题思路】(1)分别在xW-L-1＜乂＜1及X21的情况下，讨论得到f(x)的解析式，由此可得函数图

象;

(2)结合图象可确定m=2,化简已知等式得到(a+2b)(b+3c)=2,根据a+3b+3c=(a+2b)+(b+3c),

利用基本不等式可求得结果.

【解答过程】(1)当xW-1时，/(%)=-%+1+2(x+1)=%+3；

当一1＜久＜1时，/(%)—1—X—2(%+1)=-3x—1；

当%21时，/(x)=X—1—2(%+1)=-X—3；

作出/(＞)的图象如下图所示，

(2)由(1)可知：当％=-1时，f(x)max=2,即m=2,

ab+2b2+3ac+6bc—2,即(a+2b)b+3c(a+2b)=(a+2b)(b+3c)=2,

a+3b+3c=(a+2b)+(b+3c)>2J(a+2b)Q)+3c)=2V2(当且仅当a+2b=b+3c,即a+b=3c

时等号成立)，

(a+3b+3c)min=2V2.

20.(12分)(2023・湖南岳阳•模拟预测)已知函数/'(x)=—(log2X)2+mlog4X+2(2〈久W16),且函数