三角形四心和向量

...wd......wd......wd...三角形“四心〞的向量性质及其应用一、三角形的重心的向量表示及应用〔中线交点〕命题一：是不共线的三点，是内一点，假设．则是的重心．命题二：点是三角形的重心则变式：分别为的边的中点．则．变式引申：如图4，平行四边形的中心为，为该平面上任意一点，则．二、三角形的外心的向量表示及应用(外接圆圆心，边中垂线交点)命题二：是内一点，满足，则点为△ABC的外心。三、三角形的垂心的向量表示及应用：〔高线交点〕例1：是内一点，满足，则点G为垂心。变式：假设H为△ABC所在平面内一点，且则点H是△ABC的垂心四、三角形的内心的向量表示及应用〔内角平分线交点，内切圆圆心〕命题四：O是内心的充要条件是00)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA变式1：如果记的单位向量为，则O是内心的充要条件是变式2：如果记的单位向量为，则O是内心的充要条件也可以是。例1〔2003江苏〕O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，满足，，则P的轨迹一定通过△ABC的内心。例2、P是非等边△ABC外接圆上任意一点，问当P位于何处时，PA2+PB2+PC2取得最大值和最小值。例3.O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足,则动点P的轨迹一定通过△ABC的〔D〕A.外心B.内心C重心D垂心变形：〔1〕C〔2〕C〔3〕A例4：点O在△ABC内部且满足,则△ABC面积与凹四边形ABOC的面积之比〔C〕A0B3/2C5/4D4/3变形引申：，求△ABC面积与凹四边形ABOC的面积之比〔〕例2〔03年江苏卷〕O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的〔〕A．外心 B．内心C．重心D．垂心〔1〕〔05年全国卷Ⅰ理〕的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=；〔2〕〔05年全国卷I文〕点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的〔 〕A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点D．三条高的交点〔3〕(05年湖南卷文)P是△ABC所在平面上一点，假设==，则P是△ABC的〔〕A．外心B．内心C．重心D．垂心〔06陕西理〕非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))满足(eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0且eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)=eq\f(1,2),则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形3．以“各种运算的几何意义〞为代表的灵活运用阶段〔05浙江卷〕向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则〔C〕(A)⊥(B)⊥(－)(C)⊥(－)(D)(＋)⊥(－)例3．〔06湖南理〕如图1,,点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是；当时,的取值范围是.〔2〕〔07陕西理〕如图4，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为，与的夹角为，且，．假设，则的值为．例4．〔07全国Ⅱ〕设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，假设，则〔〕A．9 B．6 C．4 D．307重庆理〕如图5，在四边形中，，，，则的值为〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．〔2007江西卷〕15．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，假设，，则的值为．2009年高考中的向量选择题考察应用：1.〔2009广东卷理〕一质点受到平面上的三个力〔单位：牛顿〕的作用而处于平衡状态．，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为A.6B.2C【解析】，所以，选D.2.〔2009浙江卷理〕设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为()A．B．C．D．答案：C【解析】如果知道此三角形有一个半径为1的内切圆，此题立解．3.〔2009陕西卷文〕在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足,则等于〔A〕〔B〕〔C〕(D)答案:A.解析:由知,为的重心,根据向量的加法,则=应选A4.〔2009全国卷Ⅰ理〕设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为(D)〔A〕〔B〕〔C〕(D)解:是单位向量应选D.对照：〔08浙江卷9〕，b是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足,则的最大值是C〔A〕1〔B〕2〔C〕〔D〕5.〔2009宁夏海南卷理〕O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的〔A〕重心外心垂心〔B〕重心外心内心〔C〕外心重心垂心〔D〕外心重心内心〔注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心〕填空题7.〔2009安徽卷理〕给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如以以下图，点C在以O为圆心的圆弧上变动.假设其中,则的最大值是________.[解析]设，即∴比照：2009年石家庄高中毕业班第一次模拟考试试卷第18题：

在中，，．(Ⅰ)求；(11)设的外心为，假设，求，的值．18．解:(Ⅰ)由余弦定理知:,………2分.……………5分(Ⅱ)由,知…………………7分为的外心，.同理.………………10分即，解得:……12分方法1考察了向量的数量积及灵活运用，并需要一定的计算技巧，检测出考生个体理性思维的广度和深度及进一步学习的能力，符合对数学