四川省绵阳某中学2024-2025学年高二年级上册9月月考 数学试题（含答案）

绵阳南山中学2024年秋季高二9月月考试题

数学

本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由选择题和非选择题组成，共4页，答题卡

共6页.满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将准考证

号准确填涂在“考号”栏目内.

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再

选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书

写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一,选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是

符合题目要求的.

1.复数1+i,则之的虚部为（）

A.3B.-3c「3iD.-1

2.已知向量“=（L3'）石=（2+九一3）,若方〃3,贝（）

A.lB,-lC.2D13

3.sin20°cos400+cos20°cos50°的值是（）

A.2B.2C.2D.l

<_V32

3A'B'C二—cm

4.如图，△48'C是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若4C'=2cm,且入2则原图

形中NC边上的高为（）

V3V6

——cm——cm

5.设a是空间中的一个平面，/，加，〃是三条不同的直线，则（）

A.若/〃见机〃"J'a,则〃_La

B若加<=a,〃贝M〃机

C,若/〃私加,贝ij/_L〃

口,若加匚4〃匚［,/_1_加,/_1",则/J.1

.,cos8=l一工

6.在ANBC中,内角的对边分别为若2ac,贝|卜480一定是（）

A.直角三角形B.钝角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

7.已知正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的体积为（）

16兀207116石兀206兀

A.3B.3c.3D.3

8.在△48C中，内角4民0的对边分别为a,b,c,"=60°,b=l,其面积为百，则

Q+6+C_

siib4+sinS+sinC（）

_26百2回V29

A.3GB.3c.3D.2

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选得0分.

/(x)=sin(2x+0)冏＜三兀

，若把函数/（X）的图像向右平移§个单位长度后得到的图像关

9.已知函数12

于原点对称，则（）

B.函数/GO的图象关于点IJ对称

兀兀

C.函数/（X）在区间1212」上单调递减

兀3兀

D.函数/（X）在14'2」上有3个零点

10.如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形.已知正八边形/BCQEFGH的边长为2,尸、。为正八边形内

的点（含边界），尸。在刀上的投影向量为彳方，则下列结论正确的是（）

A,福南=-2行

B.AB,AE-4

C.X的最大值为2+2行

口[-272,4+272]

11.如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥尸—48CD,四棱锥的

四条侧棱都相等，两部分的高都是2,公共面N8C。是一个边长为1的正方形，则（）

2

A.该几何体的体积为§

也

B.直线尸。与平面N8CD所成角的正切值为2

V6

C.异面直线AP与CCi的夹角余弦值为3

D.存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案直接填在答题卷中的横线上.

1-i

12.若复数z满足1+i,贝江2卜

（n）2.（5n>

cos—+a=—sm—+2a=

13.已知16J5,贝九I6）.

14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，

亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成）.类

比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个

较大的等边三角形，设4D=/4B+〃AC（彳，,若DF=2AF,则〃.

四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共7

分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

已知向量，和e2,且刊一目遍与的夹角为3\n=3el-2e2

⑵若网=同，求力的值；

16.（15分）

如图，在四棱锥尸一Z5CQ中，4，平面Z5CD,底面Z8CD为正方形，£为线段AB的中点,

PA=AB=2.

（1）求证：BDLPC.

（2）求点E到平面050的距离.

17.（15分）

/（吁3+小>0,⑺仁

函数的部分图像如图所示.

（1）求）（"）的解析式;

Vxe,[/（x）]2-mf（x）-l<0

（2）若L44J恒成立，求机的取值范围.

18.（17分）

IDC（c-\j2bJcosA+acosC=0

△NBC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知<广.

（1）求角”的大小；

（2）若。=2,b+c=l+#>+瓜,求△45C的面积；

2/+3/

（3）若ANBC锐角三角形，且外接圆直径为2正，求角8取何值时，2b有最小值，并求出最小

值.

19.（17分）

2兀

如图，在平面五边形ZBCQE中，&B=j5,BC=CD=1,3,BE=2.3,

△'BE的面积为V6.现将五边形ABCDE沿BE向内进行翻折，得到四棱锥幺-BCDE.

（1）求线段QE的长度；

（2）求四棱锥N-8CDE的体积的最大值；

（3）当二面角N—8E-C的大小为135。时，求直线NC与平面8CDE所成的角的正切值.

绵阳南山中学2024年秋季高二9月月考数学试题

参考答案

l.B2.B3.A4.D5.A6.C7.D8,C

9.BC

（8-2）x180°

135°

10.【详解】对于A选项，正八边形的内角为8,易知HGLAB,

封

~AB-^G='AB（AH+HG'^=而斯+万.布=网.初降135。=22Xr

=-2忆A对；

对于B选项，连接4E、5E,则NE为正八边形外接圆的一条直径，则

ABAE=AB-(AB+BE}=AB2+AB-BE=22+0=4

所以，1，:B对:

对于C选项，如下图所示：

设,。在方方向上的投影向量为加，由图形可知,

当尸、。分别在线段上时，力取最大值,

2AHcos450+AB4x—+2

2=V2+1

R-2

且4的最大值为C错;

对于D选项，过点〃、C分别作48的垂线，垂足分别为点M、N,如下图所示:

„口「）

当点尸在线段8G上时，\IAP\Icos\iAB',AP/取最小值,

AB-AP=AB-AM=-\AB\-\AM\=-2x42=-242

此时，।।।।

当点尸在线段CQ上时，（'民帖取最大值,

刀.刀=刀.衣=画.画=画.（冏+［网）=2义9+0）=4+20

此时,

方.Qe[-2后,4+2©

综上所述,D对.故选：ABD.

1x1x14x1x1x1=14^

11.ABD【详解】对于A,该几何体的体积为232263,所以A正确,

对于B,连接交于0.连接P。，由题意可知四棱锥尸-Z8CD为正四棱锥,

5

A

所以0。,平面ABCD,所以ZPDO为直线PD与平面ABCD所成角,

1

DO=-BD=—

因为正方形4SC。的边长为1,所以22,所以2,所以B

正确,

对于c,设4GC3I2=°I,因为eq〃/4,所以尸或其补角为异面直线幺尸与CG的夹角,

PA=sJPO2+AO2=尸4=7尸。；+4。；=

136

+力2_924+44_A/3

cosZAAP=

{24apz］百一H

7X_X___

所以22,所以异面直线4?与的夹角余弦值为

3,所以C错误,

对于D,设长方体44G2的外接球的球心为半径为R,

93

3)2=12+12+出=2+]--

47?4-

则加为001的中点,得

113

PM=PO+OM=—+—=—=R

因为244所以点P长方体/BCD—的外接球上,

所以存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上，所以D正确.

17

13.~25

12.1

14.3

“DB专

【详解】不妨设NE=1,则/0=3,如图,由题可知

AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB=9+l-2x3xlx

由

得4B=屈,所以/C=JF,所以A(0,0)

BDABsinNBAD=^"AD=嘤

又sin/BADsin/ADB,所以

所以Z)(^ADcos/BAD,ADsin/BAD)

"21V13‘21715

DAD=AC=

2626(713,0)

即.所以,因为

26<__2__

3739V39

4D=44B+jC/4C,所以1262

〃-4=3

解得〔13,所以〃

（1）因为同=同=1''与'2的夹角为3,led21cos,e2\=1x1xcos—=—

15.【详解】所以

Qq-e2）e?=2q,%—e；=2x—1i=0

所以、./一一一2，所以（2耳-瓦）"2

一_1

（2）由⑴知，一=5,因为团=同=1,同叫

所以01+当j=G4—2当丫，即分号+2%耳母+前=9耳2—121£+4兹,

于是有'+22X2+1=7,即分+"6=（4+3）（九-2）=0,解得4=-3或2=2

所以几的值为2.

16.【详解】（1）证明：・•・尸/,平面45c0,5£＞匚平面45。。，；.尸/工80,

又底面/BCD为正方形，■,•BDLAC,

又尸4口幺。=幺，且尸4/Cu平面尸zc,二5。，平面p/c,•.・pcu平面尸/c,.•.BD_L尸C.

d_

（2）为线段的中点，，若点N到平面尸8。的距离为d,则点E到平面P5D的距离为2.

由题易知PB=PD=BD=F3=26,

S^PBD=；x2/x2夜义年=26

v_v—x（―x2x2）x2=-^-x2^/3Xdd=

yP-ABD=^A-PBD,323，解得3..,•点£到平面080的距离为

V3

万一百

35兀兀32兀3兀

—1=----=>----==3=Z

17.【详解】(1)由图可得46124m4••・函数/(x)=sin(2x+°)过点

sin2*+9=1?+9=B+2E/eZ)o=g+2E/eZ)\(p\<-9=三

所以I12J,贝°62，解得3，又2,则3,

7T

/(x)=sin(2x+—)

所以

兀兀兀5兀

XG2c%H兀Gt=f(x),te

a7」，所以了6」，则

（2）因为3L2」，令

设g（'）=/一机1,则g（'）W°恒成立，由二次函数的图象性质可知,

1,11，八

+W-1

<42-°

只需g(l)=-m<0

3

0<m<—

解得2,故加的取值范围为L°4

（c-^2bposA+acosC=0

18.【详解】（1）由<广及正弦定理得:

(sinC-}os/+siib4cosC=0因为sinCcosZ+siib4cosc=sin(4+C)=sin(兀一B)=siriS

siiiS(1-v2COST4)=0八，D,

所以<),又0<B〈nsinS>0,2,又0</<兀，故4.

(2)由余弦定理/=/+c2_2bccos",又'4,所以〃+c2_j2bc=4,所以

3+c)2-@+后»c=4,由b+c=l+G+后可得儿=6+3行，

S=-bcsxnA=—x(76+372\<^-=+

故ANBC的面积221,22.

（3）由正弦定理可知sins,故b=2j，sin5,因为A/BC是锐角三角形,

71

0<5<-

2

0<C<-兀C兀

2——<B<一

42

,兀

A=—

4

A+B+C=7i

所以,所以

2

2b2+3a22x8sin25+124sin5+3V24sin5+-^-

2b2x2V^sinSV2sinfi2sinS

3

sinB=t,y=4t+-,-<t<ly=4t+-=2.4t--=4出

令t2由基本不等式可知

7

时，Vmin=4G

当且仅当2

兀2/+3/

故角3取5时,2b有最小值，最小值为40

19.(1)如图，延长8C、ED相交于点厂，

TT

NBCD=NCDE=—ZFCD=ZFDC=-

因为3,所以3,所以AFC。是边长为1的等边三角形,

ZCFD=-

3,所以FE=FD+DE=T+DE,FB=FC+CB=1+\=2t

由余弦定理得BE?=FB2+FE2-2FBxFEcos600,

即12=4+(OE+l)2—22(DE+l).cos60°,即。炉=9,所以Z>E=3；

(2)

延长8C，£°相交于点E，AEC。是边长为1的等边三角形,

由（1）FE2=FB-+BE2,得NEB尸=90°,EBLBF,

S.