立体几何中球与几何体的切接问题-高考数学复习重点题型归纳与方法总结（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展24立体几何中球与几何体的切接问题（精讲+精练）

、知识点梳理

一、外接球

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体

的外接球.解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.并且还

要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起

到至关重要的作用.

二、内切球

球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的

是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到

各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥

的高，用体积法来求球的半径.

【常用结论】

①外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法（构造长

方体）解决.外接球的直径等于长方体的体对角线长（在长方体的同一顶点的三条棱长分别为mb,C,外接

球的半径为&则2""^.）,秒杀公式：F弋叁.可求出球的半径从而解决问题.有以

下四种类型：

类型I类型II类型m例外型

②外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法（构造长方体）解决.外接球的直径等

于长方体的体对角线长，即2&=77左长方体的长、宽、高分别为〃方、°）.秒杀公式:上=立廿士^（三

8

棱锥的三组对棱长分别为X、八Z）.可求出球的半径从而解决问题.

③外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法（多面体的外接球的球心是过多面体

的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点.一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算

术方法或代数方法即可解决问题.有时也作出两条垂线，交点即为球心.）解决.以直三棱柱为例，模型如

下图，由对称性可知球心。的位置是△NBC的外心01与的外心。2连线的中点，算出小圆Oi的半

Rh2

径401=〃，OO\=—,/.R2=r2+—・

24

④外接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知

球心。的位置是△C3D的外心5与△，8处的外心。2连线的中点，算出小圆5的半径N0i=r,，

2

:.R2

4

⑤外接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC±

平面BCD,如类型I,△A8C与△BCD都是直角三角形，类型II,△/BC是等边三角形，△BCD是直角三

角形，类型III,△/8C与都是等边三角形，解决方法是分别过△NBC与△BCD的外心作该三角形所

在平面的垂线，交点。即为球心.类型IV,△/BC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心

。1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题.设三棱锥/一2。的高为〃，外接球的半径为R,

及2=-2+冽2

球心为。.△58的外心为01,。1到5。的距离为d,。与O1的距离为加，贝小'解得

区2=屋+（〃一次）2,

72

R.可用秒杀公式：尺2=4+"—?其中匕、投为两个面的外接圆的半径，/为两个面的交线的长）

高，厂为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心）

⑦内切球思路：以三棱锥P-/3C为例，求其内切球的半径.

方法：等体积法，三棱锥P-/2C体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；

第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步：设内切球的半径为厂，球心为。，建立等式：Vp_ABC=Vo-ABC^~Vo-PAB~^~Vo-PAC~\~Vo-PBC=—P-ABC=

jS^ABCr+^S^PAB'r+△身er△尸5C'r=；（品/5。+S△刈3+S△灯c+S4PBC）•r;

____________3Vp_ABC_______3—

第三步:解出r

SO—ABC+SO—HB+SO—MC+SO—PBCS表

二、题型精讲精练

【典例1】（2023・浙江•高三校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36兀的球面上，则该正

四面体的棱长是.

【答案】2次

【解析】如图所示:

因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为/BCD,

则正四面体为

设球的半径为A,则4万炉=36万，

解得火=3,

所以NG=6则正方体的棱长为26，

所以正四面体的棱长为2而，

故答案为：2瓜

【典例2】（2023•河南•开封高中校考模拟预测）已知四面体/BCD中，AB=CD=2也,NC=AD=回,

AD=BC=屈,则四面体N5CD外接球的体积为（）

A.45TTB.C.45右兀D.24亚n

22

【答案】C

【解析】设四面体/BCD的外接球的半径为R,

则四面体48CD在一个长宽高为。,6,c的长方体中，如图，

a1+b2=20,_________

贝！］62+c2=29,故R=行+.+°2=V45,

L〃t2+I0c2—_曾4I22

故四面体N5CD外接球的体积为展3成3,兀X竺叵=竺互，

3382

故选:C

【典例3】（2023•黑龙江齐齐哈尔•高三齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱ZBC-48c的

所有顶点都在一个表面积是40%的球面上，且/8=/C=/4，/8/C=120。，则此直三棱柱的表面积是（）

A.16+86B.8+1273C.8+16^3D.16+12百

【答案】D

【解析】设==2机，因为/R4C=120°,所以N/CB=30°.

于是=（r是“3C外接圆的半径），r=2m.

sin30

又球心到平面ABC的距离等于侧棱长工4的一半，

所以球的半径为而齐+m2=#m・

所以球的表面积为4兀（指加）=40兀，解得加=后.

因此===20BC=2瓜

于是直三棱柱的表面积是

2x2V2x2V2+2V6x2V2+2x-x2V2x2V2sinl200=16+1273.

2

【典例4】（2023•安徽宣城•高三统考期末）在三棱锥尸-A8C中，△/8C是边长为3的等边三角形，侧棱

玄_1平面/8C,且尸4=4,则三棱锥尸-4BC的外接球表面积为.

【答案】28兀

【解析】根据已知，底面。是边长为3的等边三角形，尸4,平面/BC,

可得此三棱锥外接球，即以“BC为底面以力为高的正三棱柱的外接球.

设正三棱柱的上下底面的中心分别为M,N,则外接球的球心。为MN的中点，

p

JB

的夕卜接圆半径为，"/去3=夙，="=羽=2,

所以球的半径为R=OA=42+屋=V7，

所以四面体P-N8C外接球的表面积为S=4兀火2=28兀，

故答案为：28兀.

【典例5】（2023•四川乐山•高三期末）已知正“8C边长为1,将绕8C旋转至△D8C,使得平面

ABC1平面BCD,则三棱锥D-ABC的外接球表面积为

【答案】兀

【解析】如图，

取3c中点G,连接NG,OG,则/GL3C,DG1BC,

分别取A4BC与AD8C的外心分别过E,尸作平面4BC与平面。5C的垂线，相交于O,则。为四面体

/-BCD的球心，

由/6=/C=D8=DC=3C=l,

所以正方形OEGF的边长为工水?=也，贝!JOG=

所以四面体/-BCD的外接球的半径氏=而/7而=j骼］+QJ=^A,

球。的表面积为4

故答案为：空5兀

【典例6】（2023•山东滨州•高三校考期中）已知正四棱锥P-NBCD的底面边长为3TL侧棱长为6,则该

四棱锥的外接球的体积为.

【答案】326兀

【解析】如图，如是正四棱锥尸一/BCD的高，而A8=30,P/=6,贝！］/0］=江=互竺=3,

2

POX=^PA-AO^=343,显然正四棱锥尸-4BC。的外接球的球心O在直线PQ上,

令PO=AO=R,则。。］=|3如-幻，

在Rt^/O0中，△2=/。2=/。；+。。；=学+（36_在？，解得尺=26，

44/-I-

所以该四棱锥的外接球体积为展*3=g兀X（2百）3=32缶.

故答案为：32A/3TI

【典例7】（2023•高三课时练习）边长为1的正四面体内切球的体积为（）

A乖6口6「qn乖爪

•---D>---V/•U•---

8126216

【答案】D

【解析】将棱长为1的正四面体/3C。补成正方体/ECb-G8HD,则该正方体的棱长为",

2

设正四面体/BCD的内切球半径为,，正四面体Z8CD每个面的面积均为走xF=且,

44

由等体积法可得嗫8°=巫=工厂（丛//+&+即+RBCJ=3〃解得r=渔，

21-D\-yly]3\/\ABC/\ACD/\ABD/\z/O-Ly3]2

因此，该正四面体的内切球的体积为厂=&71X[诿]=­71.

3112J216

故选：D.

【题型训练1-刷真题】

一、单选题

1.（2022•全国•统考高考真题）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3G和4。，其顶点都在同

一球面上，则该球的表面积为（）

A.100兀B.12871C.144无D.192兀

2.（2022•全国•统考高考真题）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的球面

上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.-B.|C.—D.—

3232

3.（2022•全国•统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36%,

且3V/V3。，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

\811「27811「27641,

A.1o8,—B.C.-D.r[1o8,27]

_4JL44JL43_

4.（2021•全国•统考高考真题）已知是半径为1的球。的球面上的三个点，且/C，BC,/C=BC=1,

则三棱锥O-/8C的体积为（）

A.—B.—C.—D."

121244

二、填空题

5.（2023•全国•统考高考真题）已知点邑C均在半径为2的球面上，“3C是边长为3的等边三角形,

S4_L平面4BC,贝！|S/=.

【题型训练2-刷模拟】

一、单选题

1.（2023秋•四川成都・高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）边长为1的正方体的外接球表面积为（）

…371

A.兀B.3JiC.一兀D.一

44

2.（2023秋•四川成都•高三树德中学校考开学考试）已知四面体48co满足48=CO=G，AD=BC=5

AC=BD=2,且该四面体NBC。的外接球的表面积是（）

A.2兀B.6兀

6兀,

C.—D.4兀

11

3.（2023•全国•高三专题练习）在直三棱柱中，ABLBC,BC=1,AB=6,44]=26，贝〕J该

直三棱柱的外接球的体积为（）

8兀16兀-32兀64兀

A.—B.-----C.-----D.-----

3333

4.（2023秋・四川眉山•高三校考阶段练习）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球

的球面上，则该圆柱的体积为（）

兀一3兀71

A.兀B.—C.—D.一

244

5.（2023•河南郑州•校联考二模）如图，在三棱锥"BCD中，AD=CD=2,AB=BC=AC=2叵,平面

/CO,平面N2C,则三棱锥/-BCD外接球的表面积为（）

6.（2023秋・江苏南通•高三统考开学考试）已知从1HC是边长为4的等边三角形，将它沿中线/。折起得四

面体/-8CD,使得此时8C=2g,则四面体4-8。的外接球表面积为（）

A.16兀B.18兀C.217rD.28兀

7.（2023•山西吕梁•统考二模）在三棱锥尸—4SC中，已知尸底面45C,CA=CB=PA=2,AC1BC,

则三棱锥尸-4BC外接球的体积为（）

A.16KB.48兀C.48兀D.12也无

8.（2023・四川成都•校联考二模）在三棱锥尸-4BC中，PA=PC=2娓,4c=4也,ZABC=900,平面

尸/C，平面/8C,若三棱锥尸-4BC的所有顶点都在球。的表面上，则球。的半径为（）

A.273B.3C.2A/5D.4

9.（2023秋•陕西西安•高三校联考开学考试）在三棱锥尸-/3C中，“8C是边长为3的等边三角形，侧棱

尸/，平面且尸/=2右，则三棱锥P-/BC的外接球的表面积为（）

A.32兀B.28兀C.26兀D.24兀

10.（2023春•四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥尸-/BCD的体积是36g,

底面4BGD是正方形，AP/2是等边三角形，平面尸45,平面48CD,则四棱锥尸-48CZ）外接球表面积为

（）

A.89兀B.88兀C.84兀D.81兀

11.（2023•江西南昌•南昌市八一中学校考三模）已知四棱锥尸-4BCD的底面48co是矩形，高为血，

AD=2&,AB=2,ABLPD,PA=PD,则四棱锥尸-N3CD的外接球的表面积为（）

l厂256

A.12V6nB.48v67tC.36KD.n

12.（2023秋•陕西西安•高三校联考开学考试）已知在三棱锥尸-4BC中，P4+BC=4,AB1AC,尸NJ_平

面/3C,则三棱锥尸-N8C的外接球表面积的最小值为（）

A.兀B.4兀C.87tD.127t

13.（2023秋・湖南衡阳•高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）球。内接三棱锥/-BCD,/C,平面

BCD,BDLCD.若BD=1,球。表面积为97t.则三棱锥体积最大值为（）

25

A.1B.-C.—D.一

322

14.（2023秋•四川成都・高三树德中学校考开学考试）已知四面体/BCD满足48=CD=百，AD=BC=也，

R,

4C=M=2,且该四面体45CZ）的外接球的球半径为片，四面体的内切球的球半径为耳，则小的值是（）

22

A.V1TB.—VHC.y/~6D.—V6

TT

15.（2023•河南开封•统考三模）在三棱锥尸-4BC中，PA=AB,P/_L平面NBC,ZABC=-,AB+BC=6,

2

则三棱锥尸-48c外接球体积的最小值为（）

A.8"兀B.16扁C.24痴兀D.32"兀

16.（2023・河南・统考三模）如图，该几何体为两个底面半径为1,高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它

的体积为匕，它的内切球的体积为％,则匕：匕=（）

C.2:1D.72:1

17.（2023•福建宁德•校考模拟预测）将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的

半径为（）

A.男1B,2旧)

33

c.4MD.4(6-1)

3

18.（2023・全国•高三专题练习）已知四棱锥尸-48CD的各棱长均为2,则其内切球表面积为（）

A.(8-2V3)nB.(8-4⑨%

C.(8—6石)兀D.(8-3。)兀

19.（2023・全国•高三专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为

（）

A.373:1B.5:1C.5A/5:1D.6:1

20.（2023・湖北・统考二模）已知直三棱柱NBC-481G存在内切球，若AB=3,BC=4,AB工BC,则该三棱

柱外接球的表面积为（）

A.2671B.27兀C.28KD.29兀

21.（2023春・贵州•高三校联考期中）已知正三棱锥产一A8C的底面边长为3,高为灰，则三棱锥尸一48C

的内切球的表面积为（）

3兀

A.—B.3itC.6兀D.12兀

2

22.（2023・全国•高三专题练习）已知圆台。。2的下底面半径是上底面半径的2倍，其内切球的半径为亚，

则该圆台的体积为（）

A7V2n「14扃024瓜「25A/2TT

A.-------D.--------C.---------D.------

3333

23.（2023•广东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知正三棱锥尸-4BC中，ZAPB=9Q°,其内切

球半径为厂，外接球半径为R,则?=（）

.V3-1„2（6+1）V6-V2八V6+V2

A.-----------D.、_____L.L.---------------U•---------------

3966

24.（2023秋・浙江丽水•高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形力沿对角线力。折起，当四面体

5-/CD体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（）

・1111

A.—B.—C.—D.—

351012

二、填空题

25.（2023・全国•高三专题练习）在矩形48CD中，AB=\,BC=6,己4,平面/BCD,PA=\,四棱锥

P-ABCD的外接球的表面积为.

26.（2023秋•四川眉山•高三校考开学考试）已知正三棱柱N3C-44。的底面边长为6,三棱柱的高为2vL

则该三棱柱的外接球的表面积为.

27.（2023秋•重庆•高三统考阶段练习）正三棱锥尸-48c底面边长为2,〃■为48的中点，且尸”，尸C,则

正三棱锥尸-4BC外接球的体积为.

28.（2023・河南•统考模拟预测）在菱形/BCD中，AB=5,AC=6,/C与8。的交点为G,点N分

别在线段/D,CD上，^.AM=^MD,CN=；ND,将沿AW折叠到△脑V。，使GD=2后，则三

棱锥D-NBC的外接球的表面积为.

29.（2023秋•河北秦皇岛•高三校联考开学