2025广东省汕头市高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025广东省汕头市高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确

的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置。

1.(5分)集合4={1,2,3,4,5,9},B=[x\y[xeA],则CA(4G5)=()

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

2.(5分)下列函数中是增函数的为()

2

A.f(x)=-xB.f(x)=(-)%

C.f(x)=x2D.f(x)=l/x

3.（5分）函数尸（3工-3一、）cosx在区间[一卜会的图象大致为（）

4.,则tan(a+^)=

A.2V3+1B.2V3-1D.I-V3

_x乙+2ax_nvv1

v'一在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.（-8,i]B.[1,3]

C.[3,+8）D.（-8,i]u[3,+8）

6.（5分）曲线/（x）=W+3x-l在（0,-1）处的切线与坐标轴围成的面积为（）

11也

-V-3C-

A.622D.-2

7.（5分）在△Z5C中，内角4,B,C所对边分别为Q,b,c,若8=去b2=1ac,贝I」sim4+sinC=（）

3V7V3

A.-B.V2C.D.

222

8.（5分）已知函数/（x）的定义域为R,/（x+2）为偶函数，/（2x+l）为奇函数，则（

第1页（共13页）

1

A.f(—2)=。B./(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。

(多选)9.(6分)已知函数/'(无)=sin(2支+苓)，贝()

A.函数/(久一倒是偶函数

B.%=一］是函数/(x)的一个零点

C.函数/G)在区间［—雪，6］上单调递增

D.函数/(x)的图象关于直线久=今对称

(多选)10.(6分)设函数/(x)=(x-1)2(x-4),贝！|()

A.x=3是/(x)的极小值点

B.当0<x<l时，f(x)<f(/)

C.当l<x<2时，-4</(2x-1)<0

D.当-l<x<0时，/(2-x)>/(x)

(多选)11.(6分)设函数/(x)=2x3-3^+1,贝ij()

A.当a>\时，f(x)有三个零点

B.当。<0时，x=0是/G)的极大值点

C.存在a,b,使得x=6为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点(1,/(D)为曲线y=/(x)的对称中心

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)函数/(x)=2s讥*cos*—2百cos25+再在［0,n］上的最大值是.

13.(5分)在△/8C中，角/,B,。所对的边分别为a,b,c,若a=2,c=3,siiL4=2sinBcosC,则4

ABC的面积为.

14.(5分)设/(x)是定义在R上的偶函数，对任意的xeR,都有f(2-x)=/(x+2),且当衽［-2,0］

1_

x

时，f(x)=(-)-\,若关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>l)在区间(-2,6)内恰有三

个不同实根，则实数。的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知0<aV50cBV*cosa=v，cos(0+a)=备.

第2页(共13页)

(I)求sin0的值;

sin2a

(II)求的值.

cos2a+cos2a

16.(15分)记△/8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知sMA+gcosA=2.

(1)求/；

(2)若a=2,4?.bsinC—csin2.B,求△48C周长.

17.(15分)如图.在平面四边形NBCD中，AB=V2,BC=®ABLAD,ACLCD.

1

(I)若sinZBAC=-T,求sinZ5G4；

(II)若AD=3/C,求/C.

18.(17分)已知函数/(x)—e^-ax-a3.

(1)当a=l时，求曲线(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若/(x)有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

19.(17分)已知函数/(x)=a(x-1)-lnx+l.

(1)求/(x)的单调区间;

(2)若a=2时，证明：当x>l时，/(x)</一1恒成立.

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2025广东省汕头市高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确

的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置。

1.(5分)集合4={1,2,3,4,5,9},B={x\y[xEA],贝(ICA(ACIB)=()

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【解答】解：因为力={1,2,3,4,5,9},B={x\y[x6A],所以2={1,4,9,16,25,81},

则NA3={1,4,9},CACAHB)={2,3,5).

故选：D.

2.(5分)下列函数中是增函数的为()

2

A./(x)=-xB.f(x)=(-)》

C.f(x)=x2D.f(x)=\[x

【解答】解：由一次函数性质可知/G)=-x在R上是减函数，不符合题意；

2

由指数函数性质可知/(X)=I])x在R上是减函数，不符合题意；

由二次函数的性质可知/(x)=/在R上不单调，不符合题意；

根据事函数性质可知/G)=也在R上单调递增，符合题意.

故选：D.

3.(5分)函数尸(3、-3、)cosx在区间[―F会的图象大致为()

/(-x)=(3x-3X)cos(-x)=-(3%-3x)cosx=-f(x),

所以/(x)为奇函数，排除8,D-,

第4页(共13页)

当工10,m时，/（%）20,排除c

故选：A.

cosar—.n

4.（5分）已矢口---------=、3,则比订1（a+彳）=)

cosa—sina4

V3

A.2V3+1B.2V3-1。TD.1-V3

cosa[―

【解答】解:

cosa-sina=

则1-

,所以tazia=1-

1—tana

故tan(a+引=矍露=28-1.

故选：B.

—%2+2ax—a,丫V[

5.（5分）已知函数/（%）=一在R上单调递增，则实数a的取值范围是（

2"x>l

A.(-0°,1]B.[1,3]

C.[3,+8)D.(-8,1]u[3,+°°)

【解答】解：当xWl时，/（%）=-，+2"-。的对称轴为工a,

由递增可得，IWQ,

当x>l时，指数函数是增函数;

由xGR,f(x)递增，即有-1+2〃-qW2,

解得QW3.

综上可得，°的氾围是1W.W3.

故选：B.

6.（5分）曲线/（x）=x6+3x-l在（0,-1）处的切线与坐标轴围成的面积为（）

1

A-BVT31

67

【解答】解：因为f（x）=X6+3X,

所以，（x）=6X5+3,

曲线在（0,-1）处的切线斜率左=3,

故曲线在（0,-1）处的切线方程为y+l=3x,即》=3%-1,

则其与坐标轴围成的面积S=|xlx|=1.

故选：A.

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7.(5分)在△48。中，内角力,B,C所对边分别为a,b,c,若B=枭b2=1ac,贝UsiM+sinC=()

3V7V3

A.-B.V2C.—D.—

222

【解答】解：因为8=泉b2=1ac,

所以由正弦定理可得，sinAsinC=^sin2B=J,

VD

Q1O

2229122

由余弦定理可得：b=a+c-2accosB=a+c-ac=-^ac,即/+c=-^-ac9

sin1A+sin2。=^-sinAsinC=圣，

41Z

所以(siM+sinC)2=sin2^+sin2C+2siri24sinC=京sinA+sinC=5.

故选：C.

8.(5分)已知函数/(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数，f(2x+l)为奇函数，则()

1

A./(-2)=0B./(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0

【解答】解：因为函数/(x+2)为偶函数，则/(2+x)=/(2-x),

可得/(x+3)=/(1-x),

因为函数/(2x+l)为奇函数，则/(l-2x)=-/(2x+l),

所以，f(1-x)--f(x+1),

即/(x+3)=-f(x+1)=f(x-1),

：.f(x)=/(x+4),

故函数/(x)是以4为周期的周期函数，

因为函数尸(x)=/(2%+1)为奇函数，则尸(0)=/(1)=0,

故/(-I)=0,其它三个选项未知.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。

(多选)9.(6分)已知函数/'(无)=sin(2支+守)，贝1J()

A.函数/(久一倒是偶函数

B.%=一］是函数/'(x)的一个零点

C.函数/G)在区间［—雪，6］上单调递增

第6页(共13页)

D.函数/(x)的图象关于直线％=金对称

【解答】解：对于峰选项,令g(%)=/(%_今)=sin[2(%_引+卜]=sin(2%—

则9*)=。，9(一看)=sin(—竽)W0,故函数不是偶函数，/错；

对于8选项，因为/(一看)=sin。=0,故久=一看是函数/(x)的一个零点，5对；

对于C选项，当一招今时，一*<2%+号受，

所以，函数/G)在区间[一招，金]上单调递增，。对；

对于。选项，因为=sin[2xyy+'o]=sin5=1,。对.

故选：BCD.

(多选)10.(6分)设函数/(x)=(x-1)2(x-4),贝IJ()

A.x=3是/(x)的极小值点

B.当0Vx<1时，/(x)</(x2)

C.当1Vx<2时，-4</(2x-1)<0

D.当-l<x<0时，/(2-x)>/(x)

【解答】解：对于/,fG)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3),

易知当xe(1,3)时，f(x)<0,则函数/(x)在(1,3)上单调递减，

当(-8,1)U(3,+8)时，f(x)>0,则函数/(x)在(-8,1),(3,+8)上单调递增,

故x=3是函数/(x)的极小值点，选项/正确；

对于2,当0Vx<1时，且x2<x,

又/(x)在(0,1)上单调递增，

则/■(/)</(X),选项3错误；

对于C,由于l<x<2,

一方面，/(2x-1)=(2x-2)2(2x-5)=4(x-1)2(2x-5)<0,

另一方面，/(2x-1)+4=4(x-I)2(2x-5)+4=4[(x-1)2(2x-5)+1]=4(x-2)2(2x7)

>0,

则-4</(2x-l)<0,选项C正确；

对于D,由于-l<x<0,

贝!]/(2-x)(x)=(x-1)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)=-2(x-1)

第7页(共13页)

3>0,

即/(2-x)>f(x),选项。正确.

故选：ACD.

(多选)11.(6分)设函数/(x)=2x3-3^+1,贝I］()

A.当a>l时，f(x)有三个零点

B.当。<0时，x=0是/G)的极大值点

C.存在a,b,使得x=6为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在°,使得点(1,/(1))为曲线y=/(x)的对称中心

【解答】解：由/G)=2x3-3ax2+l,得/(x)=6x(x-a),

对于/,当a>l时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(-8,0)和(。,+oo)上单调递增；

/(%)的极大值/(0)=1>0,/(x)的极小值/(a)=1-a3<0,所以/(x)有三个零点，故/正确;

对于8,当a<0时，/G)在(a,0)上单调递减，在(-8,°)和(o,+°o)上单调递增，x=0是

极小值点，故8错误；

对于C,任何三次函数不存在对称轴，故C错误；

对于。，当a=2时，/(x)=2/-6/+1=2(x-1)3-6G-1)-3,关于点(1,-3)中心对称，

故。正确.

故选：AD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)函数/'(久)=2sin*cos5—2bcos25+百在[0,it]上的最大值是2

【解答】解：/(%)=2sin^cos^—2V3cos2^+V3=sinx—2V3xl+;osx+百=sinx-V3cosx=

2sin(x—3)，

因为xe[0,TT],

所以％竽],

所以—3)6[-/1],

所以f(久)=2si?i(x—J)E[—V3/2],

所以/(x)在［0,TT］上的最大值为2.

故答案为：2.

13.(5分)在△/8C中，角/,B,。所对的边分别为a,b,c,若a=2,c=3,siiL4=2sirLBcosC,则4

第8页(共13页)

ABC的面积为_2&_.

【解答】解：由正弦定理边角互化可得a=26cosC①，

又由余弦定理可得c1—a1+b1-2a6cosc②，

①②联立解得6=3,

所以cosC=余=

又因为ce(0,TT),

所以sinC=当工

所以S^ABC=3abstnC=2&,

故答案为：2夜.

14.(5分)设/(x)是定义在R上的偶函数，对任意的xCR,都有/(2-x)=/(x+2),且当x€[-2,0]

1

时，f(x)=(-)x-1,若关于x的方程/(x)-logo(x+2)=0(a>l)在区间(-2,6)内恰有三

个不同实根，则实数。的取值范围是(游，2).

【解答】解：：对于任意的xCR,都有/(2-x)=/(x+2),

函数/G)的图象关于直线x=2对称

1

又：当xq-2,0]时，/(X)=(-)1,且函数/(x)是定义在R上的偶函数，

若在区间(-2,6)内关于x的方程/(x)-log“(x+2)=0恰有3个不同的实数解，

则函数y=/(x)与y=log.(x+2)在区间(-2,6)上有三个不同的交点，如下图所示：

又/(-2)=/(2)=3,则有log。(2+2)<3,且log。(6+2)>3,

解得：V4<a<2,

故答案为(源，2)

3

2

234567

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

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15.(13分)已知OVaV*0<Pcosa=cos(0+a)==.

(I)求sin0的值;

sin2a

(II)求的值.

cos2a+cos2a

【解答】解⑺VO</?<J,0<a<J,

0<a+p<ii,

3

cosa=引

4

sina=5,

17

sin(a+P)=正，

16

那么：sinp=sin[(a+0)-a]=sin(a+p)cosa-cos(a+p)sina=裕；

43

(〃)由(/)sina=引cosa=引

24

那么sin2a=2sinacosa=否，

9

cos2a=否，

7

cos2a=1-2sin9a=—西，

24

sirtla元

••Q~~=~~gT-=12.

cosa+cos2a-----

2525

16.(15分)记△/8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+bcosA=2.

(1)求/；

(2)若a=2,y[2bsinC=csin2B,求△48C周长.

【解答】解：(1)因为sMA+百cos4=2,

所以2sin(/+3)=2,即sin(/+3)=1'

由N为三角形内角，得/+《=*

即4=~

(2)因为/bsinc=csin2B,

V2bsinC—2csinBcosB,由正弦定理可得：V2bc=2bccosB,

可得cosB=5，

第10页（共13页）

77-7

又因为5c(0,n),所以8=4，C=7i—A—B=j-2

bc2

在△的中，由正弦定理得前=----=T=4,

sinB--sinC----

2

所以b=4sinB=2V2,c=4sinC=4s讥需=4s讥(今+3)=乃+V2,

所以△45。的周长为a+/?+c=2+3V2+V6.

综上，△45。的周长为2+3鱼+遍.

17.(15分)如图.在平面四边形45CQ中，AB=V2,BC=V3.ABLAD,AC±CD.

(I)若sin/B/C=J,求sinN5G4；

q

(II)若AD=3/C,求/C.

即:

sinZ.BCA

4

解得：sin^BCA=y|；

(II)设/C=x,AD=3x,在直角三角形NCD中,

CD=VXD2-AC2=2缶,

所以：sinZ-CAD=盥=

AB2+AC2-BC2%2—1

在△48C中,利用余弦定理:cosZ.BAC—

-2-AB-AC-242X"

由于NB4C+NC力。=与

所以cosZBAC=sinZCAD,

2

anx-l2V2

即~产「=---,

2缶3

整理得：3X2-8X-3=0,

1

解得：》=3或苫=-可(舍去),

故NC=3.

第11页（共13页）

18.(17分)已知函数/(%)-ax-6Z3.

(1)当。=1时，求曲线歹=/(%)在点(1,/(D)处的切线方程；

(2)若/(x)有极小值，且极小值小于0,求〃的取值范围.

【解答】解：(1),・•函数/(x)=ex-ax-a\

・••当。=1时，f(x)f(X)="-1,

・・・/(1)=e-2,・・・切点坐标为(1,e-2),

切线的斜率为左=/(1)=。-1,

・,・曲线)=/(%)在点(1,/(D)处的切线方程为：