2024-2025学年江西省智学联盟体高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年江西省智学联盟体高三(上)质检数学试卷(9月份)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知全集U=R,集合4={x\x>-1},B={x\x2+2x-3<0},则阴影部分表示的集合为()

A.{x|-3<x<1}B.{x|-3<x<—1]

C.{x|-3<x<1}D.{x|-3<xV-1}

2+i

2.若复数z=则

l—i|z|=()

早孚

A.1B.C.D.F

4

2r—1

3.若函数fQ)=(%+师+1的图像关于y轴对称，贝!Ja=()

1

A.-1B.0c.-D.1

4.已知双曲线方程为Fi，尸2是双曲线的两个焦点，点力是双曲线上任意一点，若力点关于Fi的

对称点为点B,点B关于尸2的对称点为点C,线段AC的长度是8,则双曲线的离心率是()

A.A/2B.2C.2"D.4

12cos2(a—今)

5.已知sina+cosa=-,则许二/西有=()

A.-|C.|D.

6.设4B,C,。是同一个球面上四点，球的半径为4,△力BC是面积为94的等边三角形，则三棱锥

。-4BC体积的最大值为()

A.12^/3B.18^/3C.2473D.54避

7.函数/(x)=Xsin(a)x+<p~)(A>0,3>0,切<分的部分图象如图所示，将/(%)的图象向左平移考个单位

8.命题£(0,+8),使a*WlogM(a>0且aK1)成立"是假命题，则实数a的取值范围是()

1111

A.a>e2B.a>eeC.1<a<谈D.1<a<e^

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.某研究小组依次记录下10天的观测值：26,28,22,24,22,78,32,26,20,22,贝|（）

A.众数是22B.80百分位数是28

C.平均数是30D.前4个数据的方差比最后4个数据的方差大

10.欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为e»x=cosx+is出x,i虚数单位，将指数

函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（e为

自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（）

A.复数e与为纯虚数B.复数理对应的点位于第二象限

C.复数成着的共辗复数为孚+$D.复数e[0,扪）在复平面内对应的点的轨迹是半圆

11.若数列5｝满足1六-1十=d（n€N*,d为常数），则称数列｛而为“调和数列”.已知数列也｝为“调和数

un+lUn

列”，下列说法正确的是（）

2n4-11

A.若乎?.1加=20,贝Mio+bii=b0历1B.若勾=—^—,且q=3,。2=15,则既=

C.若｛0｝中各项均为正数，则“+1W组竽3D.若历=1,则£空五如皿，—1）]W宁

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设向量标的夹角的余弦值为:，且同=1,|加=4,则（22+另）不=.

13.设为为等差数列｛即｝的前几项和，若。6=1,55=-55,则nSn的最小值为.

14.四棱锥P-48CD的底面48CD为平行四边形，点E、F、G分别在侧棱P2、PB、PC上，且满足PE=J

PA,PF=|PB,PG=，PC.若平面EFG与侧棱PD交于点H,贝iJPH=PD.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

如图，在四边形力BCD中，AB=2,AC=",AD=2巾,Z.CAD=MBA=学.

（1）求cosz_BC4；

（2）求BD.

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D

16.(本小题15分)

函数/(%)=ex+ln(x+l)—ax—l(aER).

(1)/(%)在％=1处的切线与直线y=ex平行，求实数a的值.

(2)证明：对于V%e[0,+oo),vae(-8,2],/(%)10恒成立.

17.(本小题15分)

如图，三棱锥。一力BC中，CA1AB,CD=2/，AB=m，AC=E，BD=4,cos^ABD=乎，E为

BD的中点.

(1)证明：AE1BC；

(2)求平面4DC与平面ABC夹角的余弦值.

18.(本小题17分)

已知点4是抛物线C：x2=4y上的一点.

(1)若点4横坐标为4,求抛物线C在点力处的切线方程；

(2)过点4作圆0：/+必=1的两条切线，交抛物线的准线于M、N两点.

①若|MN|=2再，求点4纵坐标；

②求△4MN面积的最小值.

19.(本小题17分)

2_______>_______>_______>_______>

如图，已知点歹!JPn(X，7)与4„(册,0)满足Xn+1>比n，PPn+1AP^.\PP\=\AP],其中ZlC

n人nnnn+1nn+1nn+1

Z+,Xi—1.

(1)求%2；

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(2)求Xn+i与久n的关系式；

(3)证明：超+超+…+解+iW4九2.

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参考答案

1.5

2.B

3.5

4.B

5.D

6.B

7.4

8.B

9.AC

1Q.ABD

11.BCD

12.18

13.-343

14-

15.解：(1)△ABC中，由正弦定理得：

sinz.CBAsmZ-BCA1

：.cos^BCA=一(甲)2=年；

(2)由题意，cos^BAD=cos(zSXC+^)=-coszBCX=一号，

所以B£12=BA2+AD2-2-BA-ADcos^BAD=4+28-2X2x2々X(一孚)=48,

所以B。=4避.

16.解:(1)因为函数/(%)=ex+ln(x+l)-ax-l(aeR).

所以广⑺=ex+^-^-a.

11

由题意：f'(l)=e+2~a=%解得a='.

xx

(2)证明：f，(x)=e+^y-a,f"(x)=e-(%+1)2,

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因为xNO,所以e'Nl,(久；W1，

所以f"(x)>0,

所以［。)在［0,+8)单调递增，

所以广。)>f(0)=2—a,

因为a<2,所以2-a>0,

所以r(x)>2-a>0,

即/(久)在［0,+8)单调递增，

所以/Q)>/(0)=0.

17.(1)证明：AB1AC,AB=y［6,AC=y/10,BC=4,

在△4BD中，AD2=AB2+BD2-2AB-BDcos^ABD=6,AD=依

AD=AB,又E为2。中点，•••AE1BD,

■：BD=4,BE=2,AE2=AB2-BE2=2,；.AE=",

取BC的中点F,连接EF,AF,

则EF=^CD=",AF=^BC=2,

AE2+EF2=AF2,AE1EF,

又AE1BD,EFCBD=E,

•••AE1平面BCD,又BCu平面BCD,

AE_LBC；

(2)取CD的中点。，•••BD=BC=4,OB1CD,

如图，以。为原点，OB、OC分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系:

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22

VOB=yjBC-OC=4,

B(V14,0,0),C(0,72,0),D(0-72,0),

•••E(孚—察0),A号—9"),

.•・就=(-浮亨-M)，前=(-眄®0),反=(0,2#,0),

设平面力BC的法向量为元=(x,y,z),

则［"=—岑》+挈…z=。

取£=(i，W),

［n-BC=—ypAx+"y=0

同理可求平面ZDC的法向量为zn=(2,0,-j),

・・・平面/DC与平面ABC夹角的余弦值为：

|cos<m,n>\=吧下=C=F5/pF=、'.

11\m\\n\V15xV11'I33

18.解:(1)已知点/是抛物线C：N=4y上的

一点，

•・・/的横坐标为4,

则4y=16,

即y=4,

・•・4(4,4),

又•・,y='，

J4

求得V=1%,

抛物线在力处的切线斜率为寺X4=2,

切线方程为y-4=2(x-4),

即y=2x—4.

(2)设4M与圆。相切于点8,4V与圆。相切于点C,

MN与圆。相切于点

由切线长相等可得：|MB|=|MD|,\AB\^\AC\,\ND\=|NC|,

•••△4MN周长为2|MN|+2\AB\=2|MN|+2y/\AO\2-l,

SAAMN=如|MN|+2山。［2-1)x1=\MN\+/a。/-1,

设a(Xo，yo),

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由抛物线的对称性，设yo>l,

1

S“MN=,|MN|.(yo+l),

\MN\+」MV|2_l=,MN|(yo+l),

...|MN|=2，|/。|2一」_2J就+羽一1=2+4yo-l,

yo-1yo-1yo-1

①由|MN|=2jn,

贝心蜃H互巨=2-Jii,

yo-1

解得yo=2,

所以点人的纵坐标为2.

@SAAMN=^\MN\(y0+1)=。。+1)加+4口

乙yo-1

令t=y0-l>0,

则SA4MN=/2+41+*+^^"+/4).(t+*6)，

••-t+^>2=4,当且仅当t=p即t=2时取等号，

­,■S&AMN21(4+4)x(4+6)=4非，

当且仅当t=2,

即yo=3时，aaMN面积最小值为4根.

19.解：⑴因为陪1标，|网员|=|标|,

所以(%2—x1，W)♦3—。危)=(X2-xD(%2-ai)+1.2(：；；：2)=0,

化为冷一。1=言，又。2—治)2+(1-1)2=(々一。1)2+52,

2

得％2—X]=由百=1,可得虐一%2—2=0,

人2

所以冗2=2.

________,22________>2

(2)由「九P"+1=(Xn—)4n^n+1=(%九+1一。九，^；)，

4

3+1-4岛+i=0"+1一期=百①

22

又|PnPn+；l=\AnPn+l\>则。n+lf)2+(^；-^)=(Xn+i-<2n)+(^；)2②，

44442

2

将①代入②得On+1—/)2(1+避/)=^(1+x2r2)^(Xn+1-Xn)=­y—^Xn+1-Xn

xn+lxn人n+1人n+1人nxn+l