2024-2025学年浙江省杭州某中学九年级上学期开学考数学试题及答案

2024-2025学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）开学数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.在△ABC中，AB=5,AC=4,BC=3,那么sinA等于（）

A.3B.O”D.a

4553

2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原

来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（

A.①

B.②

C.③

D.④

3.如图，点A、D、G、M在半。。上，四边形A80C、DEOF、HMNO

均为矩形.设=EF=b,NH〜则下列各式中正确的是

（）

A.a>b>c

B.b>c>a

C.(■>a>b

D.a=b=c

4.如图，在△ABC中，N4=36°，AB=AC,AB的垂直平分线OO交AB于点O,交AC于点。，连

接即，下列结论错误的是（）

A.ZC=2ZA

C.S^BCD=S&BODD.点D为线段AC的黄金分割点

5.已知二次函数“=ax2+心+c的y与x的部分对应值如表:

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X-1013

y-3131

则下列判断中正确的是()

A.抛物线开口向上

B.抛物线与y轴交于负半轴

C.当工=4时，y>0

D.方程a/+bx+c=0的正根在3与4之间

9

6.二次函数y=ar2+命+c(a/O)和正比例函数“=9r的图象如图所示，则

O

c2

方程+(b_-)./；+(>=O(a^O)的两根之和()

3

A.大于0

B.等于0

C.小于0

D.不能确定

7.如图，直径为10的上经过点C(0.5)和点0(0.0),8是y轴右侧.)〃优弧上一点，则NOB。的余弦

值为()

4

D-

5

8.如图，在半径为1的③。中，直径AB把0。分成上、下两个半圆，点C是上半

圆上一个动点(。与点A、2不重合)，过点C作弦垂足为E,2OCD

的平分线交③。于点P,设CE.u，AP=y,下列图象中，最能刻画y与x的函

数关系的图象是()

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9.分解因式：2x2y—12.ry+18//=.

10.如图，线段48=9,4。，48于点4于点B,AC=2,BD=4,点P为线段AB上一

动点，且以A、C,尸为顶点的三角形与以2、D、尸为顶点的三角形相似，则AP的长为.

C.

ApB

11.如图，在扇形OAB中，/4。8=90°，点C是病上的一个动点（不与A,B

重合），OD1BC，OE1AC>垂足分别为。，E.若OE=1，则扇形0AB的

面积为.

12.已知二次函数〃=〃/+bx+c图象的对称轴为i=1,其图象如图所示，现

有下列结论：

①abc>0,

②b-2a<0,

@a—b+c>0,

@(i+b>n(aii+b),(7101),

⑤2c<36.正确的序号是.

三、解答题：本题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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13.(本小题10分)

(1)计算：_g)2_一g)2_2Q;

(2)解分式方程：三—炉=岛.

f+22-xx2—4

14.(本小题10分)

如图，四边形ABC。中，AC平分/O4B，/40。=乙4。6=90°，E为AB的中点，连接CE,DE.

(1)求证：4。2=43.4。；

A尸

(2)若40=4,48=6,求石石的值.

FC

15.(本小题14分)

已知4(1,0)、8(0,—1)、。(-1⑵、0(2,—1)、E(4⑵五个点，抛物线1/=心-1片+fc(Q>0)经过其

中的三个点.

(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线沙="(.「—1)?+卜(">())上;

(2)点A在抛物线y=a(,r-1产+k(a>0)上吗？为什么？

(3)求。和左的值.

16.(本小题8分)

如图，在矩形ABC。中，=是大于0的常数)，BC=8,E为线段BC上的动点(不与夙C重

合).连接。E,作EF1OE，EE与射线BA交于点R设CE—/，BF=y.

⑴求y关于尤的函数关系式;

(2)若m=8,求尤为何值时，y的值最大，最大值是多少？

19

(3)若?/=上，要使△口£下为等腰三角形，根的值应为多少？

m

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：•.•32+42=5'2，

：,BC2+AC2=AB2>

,,.△88C是直角三角形，ZC=90%

,BC3

故选：B.

根据△ABC中，AB=5,AC=4,BC=3可利用勾股定理逆定理判断出△八BC是直角三角形，再根

据正弦的定义可得答案.

此题主要考查了勾股定理逆定理，解直角三角形，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三边长。，

b,c满足足+/=/,那么这个三角形就是直角三角形.

2.【答案】A

【解析】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂

直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长.

故选：A.

利用段完整的弧结合垂径定理确定圆心即可.

本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆

心.要确定圆的大小需知道其半径.根据垂径定理知第①块可确定半径的大小.

3.【答案】D

【解析】解：连接OM、OD、OA,根据矩形的对角线相等，得

BC=OA,EF=OD,NX=OR/.再根据同圆的半径相等，得

a=b=c.

故选D.

本题主要根据矩形的性质以及垂径定理进行做题.

此题主要能够根据矩形的对角线相等把线段进行转换，根据同圆的半径相等即可证明.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，黄金分割点，线段垂直平分线性质的应用，主要

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考查学生的推理能力.

求出NC的度数即可判断A；求出N/18C和NH8/）的度数，求出//）BC的度数，即可判断先根据三角

形面积即可判断C；求出△03。s△34。，得出，。2=。0,4。，求出40=8。，即可判断。.

【解答】

解：A、•.•/A=36°，AB=AC，

NC=N4BC=72°，

，/C=2/4，正确，

3、•「DO是AB垂直平分线，

.-.AD=BD，

：.LA=£ABD=36°，

.l.4DBC=72°-36°=36°=AABD,

%/）是N/1BC的角平分线，正确，

c,根据已知不能推出△3C0的面积和△BOO面积相等，错误，

D、：ZC=NC，NOBC=N4=36°，

^DBC^^BAC,

BCCD

-AC=BC，

BC2=CD-AC>

■：/.C=72°,LDBC=36°>

，NBOC=72°=NC，

：,BC=BD，

：AD=BD,

:.AD=BC，

AD2=CDAC

即点。是AC的黄金分割点,正确，

故选：C.

5.【答案】D

【解析】解：由图表可得，

该函数的对称轴是直线工；=噌=；,有最大值，

22

.•・抛物线开口向下，故选项A错误,

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抛物线与y轴的交点为(0.1),故选项8错误,

工=—1和「=4时的函数值相等，则T=4时，y--3<0,故选项C错误，

方程a/+br+c=()的正根在3与4之间,故选项D正确，

故选：I).

根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正

确，从而可以解答本题.

本题考查抛物线与无轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条

件，利用二次函数的性质解答.

6.【答案】A

【解析】解：设+c=01子0)的两根为J”，n,

•.♦由二次函数的图象可知:盯+电>0，a>0,

设方程a/+(6—])£+c=0(a#0)的两根为m，n,则,〃十

o>0,

3a

/.m+n>0.

故选.1.

设”.r+，"+，=0((/#0)的两根为心，由二次函数的图象可知皿+工2>o，a>0,设方程

c2一一

a/+--)JT+c=0(a#0)的两根为m,〃再根据根与系数的关系即可得出结论.

O

本题考查的是抛物线与X轴的交点，熟知抛物线与X轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关

键.

7.【答案】C

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【解析】解：如图，连接CA并延长交I；泊与点。，连接OD,

,同弧所对的圆周角相等,

ZOBC=ZODC,

是③4的直径，

../。。0=90°，

•.0(0.5),

■OC=5,

//、“OD/102-525^3瓜

：.cosA（）U（-——=---------=——=>

CD10102

cosZOBC=^-

即"8°的余弦值为等.

故选：C.

首先根据圆周角定理，判断出NOBC=NO£>C；然后根据CD是③力的直径，判断出/。。。=90。，在

RtZXCOO中，用。。的长度除以C。的长度，求出NO。。的余弦值为多少，进而判断出的余弦值

为多少即可.

(1)此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧

或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

(2)此题还考查了锐角三角函数值的求法，要熟练掌握.

8.【答案】A

【解析】解：连接。尸，

OC=OP,

/OCP=20PC,

•/Z.OCP=^DCP，CDLAB，

：.NOP。=Z.DCP.

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OP//CD.

POLAB.

■：OA=OP=1，

：.AP=y=\/2(0<z<1).

故选：A.

连接。P，根据条件可判断出即A尸是定值，与x的大小无关，所以函数图象是平行于x轴的线

段.要注意CE的长度是小于1而大于0的.

解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是

在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用.

9.【答案】2y(x-3)2

【解析】解：原式=21/(工2-61+9)

=2〃(工一3)2,

故答案为:2y(x-3)2.

原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.

此题考查了因式分解-提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键.

10.【答案】1或3或&

【解析】解：设4P=工.

•「以A、C、P为顶点的三角形与以8、D、尸为顶点的三角形相似，

①当票=空时，?=户，解得工=3.

BDPB49—出

②当然时,.解得T=1或T=8，

BPBD9-z4

二.当以A、C、尸为顶点的三角形与以B、。、P为顶点的三角形相似时，4尸的长为1或3或8,

故答案为1或3或&

分两种情形构建方程求解即可.

本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

11.【答案】三

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【解析】解：连接AB,

­.ODLBC，0E1AC，

:.D、E分别为BC、AC的中点，

,DE为△ABC的中位线，

AB=2DE=2.

又.在△。八。中，/力。8=90°，0A=0B,

x/2「

：.OA=OB=-y-zW=瓜，

扇形OAB的面积为：怛也空=£

3602,

故答案是：2,

连接AB,由垂直于BC,OE垂直于AC,利用垂径定理得到。、E分别为BC、AC的中点，即ED为

三角形ABC的中位线，即可求出的长.利用勾股定理、OA^OB，且N49B=90°，可以求得该扇

形的半径.

此题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关

键.

12.【答案】④⑤

【解析】解：；•抛物线开口向下,

。<0，

,「抛物线对称轴为直线£1，

2a

b=—2a>0,

/.b-2a>0,②错误.

♦.,抛物线与y轴交点在x轴上方,

/.c>0,

abc<0，①错误.

由图象可得］=一1时，y=a-b+c<0,

③错误.

由图象可得土=1时，y=a+b+c为最大值，

.\a+b+c>ani+bn+c(n^l),即〃+b>〃(cm+与(〃/1),④正确.

・.・%=—1时，JJ<0,抛物线对称轴为直线h=1,

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.1工=4时，？/=9。+3b+c<(),

;b=-2a,

b

,o=-5'

.1.9a+36+c=-gb+c<(),

.•.2c<36,⑤正确.

故答案为：④⑤.

由抛物线的开口方向判断。的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x

轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方

向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定.

13.【答案］解：⑴_(1_国+J(1_㈣2_2-2

=----2\/3+\/3-1---

44

=-1-73；

⑵，__±=

,工+22—x/—4，

zj*28

方程可化为一^+:=厂二句一方,

z+2X—2(N+2)(1—2)

方程两边同乘(』+2)(立-2),得立0;_2)+(x+2)2=8,

解得叫=-2,X2—1,

检验：当/=—2时，(；r+2)(.r-2)=0,所以工=—2不是分式方程的解；

当工=1时，(丁+2)(1-2)#(),所以r=1是分式方程的解；

所以原分式方程的解是立=1.

【解析】(1)先根据有理数的乘方、算术平方根、负整数指数基的运算法则计算，再合并即可；

(2)分式方程两边同乘(工+2)(工-2),将分式方程化为整式方程求解即可.

本题考查了解分式方程，实数的运算，熟练掌握运算法则以及解分式方程的步骤是解题的关键.

14.【答案】(1)证明：•二4。平分NZX4B，

ADAC=/.CAB,

：^ADC=ZACB=90°，

：,LADC^LACB,

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AD：AC=AC：AB,

AC2=AB-AD；

(2)解：•.•/月。8=90。，E为AB中点，

AE=CE，

NCAE=NECA,

4。平分N£MB,

:.ADAC=Z.EAC，

：,^DAC=AACE,

CE//AD,

.-.^AFD^LCFE,

AD：CE=AF：CF,

■;CE=^AB,

CE=mx6=3,

2

"0=4,

4F_4

'CF=3,

【解析】(1)由AC平分AADC=ZACB=90°，可证得△AOC'szviCB,然后由相似三角形

的对应边成比例，证得4。2=力，,4£)；

(2)易证得△/IbOs^CFE,然后由相似三角形的对应边成比例，求得士「的值.

此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的

判定和性质是解题的关键.

15.【答案】解:⑴•.•抛物线y=a(r-1『+生的对称轴为2=1,

而。(-1.2),£(4,2)两点纵坐标相等，

由抛物线的对称性可知，C、E关于直线r=l对称，

又。1,2)与对称轴相距2,E(4,2)与对称轴相距3,

.(、£两点不可能同时在抛物线上；

(2)假设点4(1,0)在抛物线"=一球+>0)上，

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则Q(11)2+A--0,解得人•=(),

因为抛物线经过5个点中的三个点，

将8(0,-1)、。(一1,2)、0(2,—1)、E(4,2)代入，

12

得出a的值分别为a=—1,a=-,a=—\,a=

29

所以抛物线经过的点是B,D,

又因为a>0,与a=-1矛盾，

所以假设不成立.

所以A不在抛物线上；

(3)由题意，抛物线可能经过28或者BDE,

将。(2,—1)、。(―1.2)两点坐标代入“=a(：r—1产+k中，得

(Q+k=-1

(4Q+k=2'

解得｛二:

y=(x-I)2-2,

在抛物线上.

或将E、D两点坐标代入v一a"-I)?+卜中，得

(9a+k=2

[a+k=-l'

解得，J，

8

.•.8(0,-1)在抛物线上.

3

综上所述，(或,

K=-2.11

k=一"—