2025年高考数学一轮复习：简单的三角恒等变换（学生版）

考点25简单的三角恒等变换（3种核心题型+基础保分练+综

合提升练+拓展冲刺练）

D1【考试提醒】

能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行

简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）.

ill【知识点】

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式

（1）公式S26z：sin2a=.

（2）公式C2c（：cos2a===.

（3）公式T2（Z：tan2a=.

2.常用的部分三角公式

（1）1—cosa=,1+cosa=.（升幕公式）

（2）1±sina=.（升幕公式）

（3）sin2a=,cos2a=,tan2a=.（降幕公式）

唱【核心题型】

题型一三角函数式的化简

（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

一看角，二看名，三看式子结构与特征.

（2）三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式

子和三角函数公式之间的联系点.

【例题1】（2024•河北承德•二模）函数〃苫）=底叩》_扑02工用的图象的对称轴

方程为（）

兀kit.7Lkll,7

A.x=—l-----，左wZB.x——l----,k£Z

3222

571kn,)7Khl.r

C.x------1----eZD.x------1----，左wZ

122122

.2兀.2兀•兀.7T

【变式1］（2023•广东珠海・模拟预测）sin----Fsin—+sm—sin—=

124124

【变式2］（2023.河北.一模）函数/（E）=si若cos〉s呜cos1的最小值为

【变式3］（2024•吉林长春•模拟预测）在18C中，内角A,B,C的对边分别为。，b,

c,已知该三角形的面积S=卜i山.

（1）求角A的大小；

（2）线段3c上一点0满足前=；前，|诟|=|而］=1,求48的长度.

题型二三角函数式的求值

（1）给值（角）求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的

联系寻找转化方法.

⑵给值（角）求值问题的一般步骤

①化简条件式子或待求式子；

②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；

③将已知条件代入所求式子，化简求值.

命题点1给角求值

【例题2】（20-21高三•江苏南京•阶段练习）设a=sin*-sin2mhtangc=sin9则

O1212o

（）

A.b<a<cB.a<c<bC.a<b<cD.c<a<b

【变式1］（2022•广东汕头•二模）若/lsinl600+tan20°=6，则实数2的值为（）

A.4B.4^/3C.26D.坟

3

【变式2］（23-24高三上・安徽•期中）tan20°+4sin20°=.

【变式3］（2024高三・全国・专题练习）已知函数/（x）=/sin（0x+e）,（0>O,-1^ew|^

的图像关于直线X=［TT对称，且图像上相邻两个最高点的距离为几.

⑴求。和。的值；

3万）

求cosa+的值.

~2~J

命题点2给值求值

【例题3】(2024・四川眉山•三模)已知ae[o,|^,cos[a+m]=-1,则sina=(

入12+573。12-57301273+5n12右-5

26262626

71-cos«=^则sin12a+：)=

【变式1】(2024•陕西铜川•三模)已知cosa()

~~2

【变式2](2024•全国•模拟预测)已知a,£为锐角，满足

sina+sin?=^^,cos(a+?)=-工，则sin.；夕=,cos(a—尸)=

【变式3](23-24高三下•江西赣州•期中)已知函数/(x)="sin(ox+°)(A>0,o>0,

-]<夕<5),函数/(x)和它的导函数/'(x)的图象如图所示.

(1)求函数的解析式；

⑵已知〃£)=[求/12a-的值.

命题点3给值求角

【例题4】(2024•江西九江・二模)已知cos(tz-^)=-|,tana-tan£=；,则

a+P=()

兀兀兀2兀

A.—B.—C.—D.—

3463

【变式1](2024•全国•模拟预测)已知角〃的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，

上」.2023兀2023%)公上八附次斗sin2O.、

点尸|sin---,cos---|在角。的终边上，则^；------=()

I46)l+cos20

A.逅B.一逅C.巫D.一逅

3322

【变式2】(2024•海南海口•模拟预测)已知cos(a+2月)=3，tan(a+£)tan/?=-4,写出符合

6

条件的一个角a的值为.

【变式3](2024•北京平谷,模拟预测)已知函数/(x)=sin2xcose-cos2xsin。，其中

再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使/'(x)存

在，并完成下列两个问题.

⑴求。的值;

(2)若加＞0,函数/(x)在区间[0,加]上最小值为-g,求实数〃?的取值范围.

条件①：对任意的xeR,都有成立；

条件②:W=-;；

条件③-J/*.

题型三三角恒等变换的综合应用

（1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公

式的逆用和变形使用.

⑵形如y=asinx+6cosx化为y=京sin（x+p）,可进一步研究函数的周期性、单调性、

最值与对称性.

【例题5】（2024•贵州贵阳•二模）已知cosa-cos，=手,sina-sin夕=-：,则tan（a+尸）的

值为（）

A.-475B.475C.-275D.2M

【变式1］（2024高三下•全国・专题练习）已知函数/（x）=2sinxcosx-a（sin2x-cos2x）,若

=则直线24x-9町-8%=0与的图象的交点个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【变式2】（2。24•山西晋城二模）已知tan"2ta“，sg+加5则

sin(/?-a)=

【变式3］（2024•天津红桥•二模）在"8C中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已

知a=6,cosB--且6sinN=3csinB.

（1）求c的值;

（2）求6的值；

⑶求cos（2B+0的值.

【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

«in

1.（2024•河南三门峡•模拟预测）若tana=2,则:，的值为（）

COS26Z-sina

4244

A.—B.-C.—D.一

7397

2.（2024•山东•二模）已知函数/（x）=&sin2x-cos2x,则下列结论正确的是（）.

A.函数的最大值是百

JTTT

B.函数/（x）在-zw上单调递增

C.该函数的最小正周期是2兀

TT

D.该函数向左平移£个单位后图象关于原点对称

O

3.（2023•重庆•模拟预测）式子2smi8（3cos二一sm9一1）化简的结果为（）

cos6°+V3sin6°

A.1B.1C.2sin9°D.2

4.（2024・贵州毕节•一模）已知函数/（x）=2sin（0x+e）+（0＞0,0＜夕苦,工＞。］的零点从

小到大分别为国,工2，七，…•若％-X］=兀，贝1］。=（）

二、多选题

5.（2024•江西赣州•二模）已知函数

/(x)=coscox+—0）,则（

A.若〃x）相邻两条对称轴的距离为不则。=2

B.当“X）的最小正周期为2%，-时，-6

C.当。=2时，/（x）的图象向右平移g个单位长度得到函数解析式为＞=-2cos2x

D.若/（x）在区间Of上有且仅有两个零点，则

0

6.⑵3高三上・安徽合肥•阶段练习）下列代数式的值为;的是（）

tan15°

A.cos2*48750-sin2750

1+tan215°

C.cos36°cos72°D.2cos20°cos40°cos80°

三、填空题

7.（2024•四川绵阳•模拟预测）已知6G（彳，兀tan20=-4tan^0+—,则

1+sin20

2cos20+sin2。

8.（2024・辽宁•二模）已知cos（a+£）=半，则sin6a=.

兀兀7T7C

9.（2023・贵州六盘水•模拟预测）设a£—B，且$抽6/+（：051=收©05/7,则

4242

a-/3=.

四、解答题

10.（2024•天津•一模）在中，角A,B,C的对边分别为b,。.已知6=血，

sinA=V2sinC，cosB=•

8

⑴求。的值；

⑵求cosC的值；

⑶求sin（2C+5）的值.

11.（2023・广东•模拟预测）已知函数/（x）=l+2"x）sx・sin[x-；JJ

⑴求cosZ；

⑵若AABC的面积为10a且sin^+sinC=后，求^ABC的周长.

【综合提升练】

一、单选题

2cos65°cos15°,,.、

1.（2024•重庆•模拟预测）-------------------的值为()

tanl5ocosl0°+sinl0°

1+V3C2+6I+A/3

B.D.

「24

贝(

2.（2024•江西南昌•二模）已知2cos[2x+—cos-cos3x=-l|sin£_2xj=

4

(

7_7

A.yB.C.D.

28-8

7171

3.（23-24高三上•河北廊坊•期中）设戊£,且sina+cosa5/2cos/?，则

424'2

c71

A.a+/3=—B.

c兀

C.cc=—D.

4则

4.（2024•全国•模拟预测）已知sinl6/+^-1=sin]2a—E()

5

242477

A.—B.C.D.——

25252525

已知鬼尸为锐角，tan（a-/7）=jsinasin/?=；,贝I]sin々；尸

5.（2024•全国•模拟预测）

(

432V5D.姮

A.-B.r

5555

,sin2B,则〔尸+三卜

6.（2024,辽宁•二模）已知,2tanor=-----------------cos2a+

sinp+sin0

(

1

B.cD.——

-72

7.（2024•全国•模拟预测）已知85万一25足£=2511々=25出((7+/7),则tan(a+/7)=()

1C-TV5+1

A.-B.D.

32,22

8.（2024・安徽合肥•二模）记AABC的内角45。的对边分别为a,b,c,已知

c111

c-2,-------1---------1-------------1.则“5C面积的最大值为（）

taib4tan5taiL4tan5

A.1+V2B.1+V3C.2A/2D.2V3

二、多选题

手的部

9.(2024•浙江金华・三模)已知函数/(x)=sin2Gxeos°+cos2Gxsin°

分图象如图所示，则（

A.(p=一B.co-1

6

c.f为偶函数D.〃x)在区间0,-的最小值为一:

..兀­.

10.（2024,安徽合肥•二模）已知函数〃x）=sin-sinx-sin—,贝4

■JT

A.函数/（X）在-,71上单调递减

B.函数y=++3为奇函数

JTJT

C.当xe时，函数夕=4/（x）+l恰有两个零点

20242027

D.设数列｛%｝是首项为B，公差为£的等差数列，则£=/■（q）=———

66/=i2

11.（2024•全国•模拟预测）在单位圆。:/+/=i上任取一点尸（x,y）,圆。与x轴正半轴

的交点是/,设将04绕原点。旋转到。所成的角为。，记x,y关于9的表达式分别为

x=f（0）,y=g（0）,则下列说法中正确的是（）

A.x=/（e）是偶函数，y=g（e）是奇函数

JT

B.”0）+8（0）>1对于。€0,-恒成立

c.设“（6）=/（e）+g（e）,若〃（。。）3>0）在匹[0㈤上有且仅有3个极值点,则

—<a><——

D.函数f=2/（e）+g（26）的最大值为递

三、填空题

32

12.（2024•江西•模拟预测）已知cos（a+/?）=1，cosacos4=丁则cos（2a—2#）=.

13.（2024•全国•模拟预测）已知函数/（x）=sin[W+”]cosW（0>O）在区间（0,兀）内恰有

I26）2

2个极值点和3个零点，则（0的取值范围是.

14.（2024•上海嘉定二模）已知/（》）=二一+二一，则函数V=/（x）的最小值

smxcosxyzJ

为.

四、解答题

15.（2023•安徽合肥・模拟预测）记“BC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

cosB=—.

3

⑴求cos2g+tan2的值；

(2)若b=4,S*ABC=2日求C的值.

16.（2023・天津津南•模拟预测）在中，a=3,6=2而,48=2/4.

（1）求coJ的值；

（2）求c的值；

⑶求cos（2-/的值.

17.（2023•江苏徐州•模拟预测）在。中，cos25—cos2/=2sin5sinC.

⑴若8=C,求A；

4S

（2）设。是3C边上一点，若N3=m，cosZCAD=-,求"配.

653“吐

18.（2024・云南・二模）”8C中，内角N、B、C的对边分别为a、b、c,8是A与C的等差

中项.

⑴若片=小，判断的形状;

b-ac

（2）若。BC是锐角三角形，求一誓f的取值范围•

tanA+tanC

19.（2024•全国•模拟预测）记。8C的内角4瓦C的对边分别为a,6,c.已知

b_b2+c2-a1

2c-ba1+c2-b2

⑴求A；

⑵若。为N8的中点，S.6CD=4l3AB,求cos/NCB.

【拓展冲刺练】

一、单选题

1.(2024・安徽池州・二模)已知sin4+cos/?=g,尸,则1211卜+；1=()

11

A.7B.-7C.-D.——

77

2.(2023•山东•模拟预测)若sin(a+Q)=g,tana=5tan13,则sin(a-£)=()

A.-B.-C.-D.

6393

3.(2023•江苏无锡•三模)已知tan^=里土，tan(a+/?)=匕号吧，若,则〃=

l-sinacosa12)

()

4.（2024•全国•模拟预测）在锐角“8C中，若Gsin/（空+您C]=sin8sinC,且