矩形的折叠问题-2023年中考数学重点知识专项讲练（原卷版）

第16讲矩形的折叠问题

：利用对称的性质，结合方程思想求值

矩形折*

结合相似或者三角函数求值

♦题型一：利用对称的性质，结合方程思想求值

IEBI例题精讲：

【例1】如图，一张宽为3,长为4的矩形纸片力BCD,先沿对角线BD对折，点C落在。的位置，BC,交AD于

G,再折叠一次，使点。与点4重合，得折痕EN,EN交AD于M,那么ME=.

【对称性质】

①线段相等：CD=C'D=AB,BC=BC',EA=EDNA二ND八M二DM;

②角相等：NC'BD二NCBD,/C'DB=/CDB;

③全等三角形：△CBD04CBD,AABG=△CDG

④垂直平分：BD垂直平分CC',NE垂直平分AD;

困真题演练：

1.〔2022•辽宁营口•统考中考真题）如图，在矩形48CD中，点M在4B边上，把△BCM沿直线CM折叠，使

点2落在力。边上的点E处，连接EC,过点B作BF1EC,垂足为R假设CD=1,CF=2,那么线段AE的

长为（）

11

A.V5-2B.V3-1D.

32

2.（2022・山东济宁•校考二模〕如图，矩形。4BC中，OA=4,AB=3,点。在边BC上，且CD=3D8,点E是

边04上一点，连接DE,将四边形力BDE沿DE折叠，假设点A的对称点4恰好落在边。C上，那么。E的长为

3.[2022•河南郑州•郑州外国语中学校考模拟猜测）如图，在长方形纸条力BCD中，点G在边BC上,BG=2CG,

将该纸条沿着过点G的直线翻折后，点C、D分别落在边8c下方的点£、尸处，且点£、F、B在同一条直

线上，折痕与边力D交于点H,与BG交于点设4B=t,那么AGHM的周长为〔用含f的代数

4.（2022・山东泰安•校考二模）在矩形48CD中，AB=4,2E=2,点G、F、H、E是分另U边4B、BC、DC、AD

上的点，分别沿HE,GF折叠矩形恰好使DE、BF都与EF重合，那么2D=

5.（2022•江苏徐州・统考中考真题）如图，将矩形纸片ABC。沿CE折叠，使点8落在边AO上的点尸处.假

设点E在边AB上，AB=3,BC=5,那么AE=

6.[2022•甘肃兰州•统考中考真题）如图，在矩形纸片ABC。中，点E在8c边上，将ACDE沿。E翻折得

至IjAFDE,点P落在AE■上.假设CE=3cm,AF=2EF,那么4B=cm.

7.〔2022•辽宁大连•统考中考真题）如图，对折矩形纸片力BCD,使得力。与BC重合，得到折痕EF,把纸片

展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点4落在EF上，并使折痕经过点8,得到折痕BM.连接MF,假设

MF1BM,AB=6cm,那么4D的长是cm.

8.〔2022•山东潍坊・中考真题）小莹依据如下图的步骤折叠A4纸，折完后，发觉折痕与A4纸的长边AB

恰好重合，那么A4纸的长A3与宽的比值为

D'(D)5(5)

9.（2022•辽宁锦州•中考真题）如图,四边形2BC0为矩形,AB=<2,AD=3,点E为边BC上一点，将△DCE

沿DE翻折，点C的对应点为点尸，过点尸作DE的平行线交4。于点G,交直线BC于点H.假设点G是边力D

10.（2022・四川雅安・统考中考真题）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，假设8C=9,CD=3,那么阴影

局部的面积为

H.（2022•吉林长春•模拟猜测）【推理】

如图1,在边长为10的正方形2BCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点尸处，连结

BE,CF,延长CF交AD于点G,BE与CG交于点M.

图3

(1)求证：CE=DG.

【运用】

(2)如图2,在【推理】条件下，延长BF交4。于点”.假设CE=6,求线段。”的长.

【拓展】

(3)如图3,在【推理】条件下，连结力M.那么线段4M的最小值为

12.(2022•河南郑州•郑州外国语中学校考模拟猜测)如图，平面直角坐标系中，矩形04BC的对角线AC=12,

ZXCO=30°

⑴求3、C两点的坐标;

⑵把矩形沿直线OE对折使点C落在点A处，DE与4C相交于点F,求四边形4DCE的面积;

(3)假设点M在直线DE上，平面内是否存在点N,使以0、F、M、N为顶点的四边形是菱形？假设存在,

请直接写出点N的坐标；假设不存在，请说明理由.

13.〔2022•湖北荆门•统考中考真题)如图，矩形ABC。中，AB=8,BC=x[0<x<8),将△ACB沿AC对

折到△ACE的位置，AE和CD交于点F.

(1)求证：ACEF义Z\ADF；

(2)求tan/ZM尸的值(用含x的式子表示).

14.(2022・江苏无锡・统考中考真题)如图，四边形ABC。为矩形4B=2^2,BC=4,点E在8c上,CE=AE,

将△ABC沿AC翻折至I]AAFC,连接EF.

D

⑴求EF的长;

(2)求sin/CEE的值.

15.12022•河南•统考中考真题)综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠〃为主题开展数学活动.

(1)操作推断

操作一：对折矩形纸片A8CD,使与8c重合，得到折痕EF,把纸片展平；

操作二：在AD上选一点P,沿8尸折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM,BM.

依据以上操作，当点〃在斯上时，写出图1中一个30。的角：.

(2)迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，连续探究，过程如下：

将正方形纸片A8CD依据〔1〕中的方式操作，并延长交。于点。，连接8。.

①如图2,当点〃在EF上时，ZMBQ=°,ZCBQ=°；

②转变点尸在A。上的位置〔点P不与点A,D重合)，如图3,推断与NC8Q的数量关系，并说明

理由.

(3)拓展应用

在〔2〕的探究中，正方形纸片ABC。的边长为8cm,当FQ=lcm时，直接写出AP的长.

♦题型二：结合相像或者三角函数求值

IEBI例题精讲：

【例2】1.如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，ABCE沿8E折叠得到对应的且点C的对应点尸

落在力。上.假设tan/DFE=*BC=3,那么CE=

用真题演练:

16.（2022・贵州毕节・统考中考真题）矩形纸片力BCD中，E为BC的中点，连接力E,将AABE沿4E折叠得

到AAFE,连接CF.假设力B=4,BC=6,那么CF的长是〔）

A.3B.—C.-D.—

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17.〔2022•浙江湖州•统考中考真题）如图，2。是矩形A2CD的对角线，AB=6,8C=8,点、E,尸分别在边

AD,BC上，连结BE,DF.将AABE沿翻折，将△OCT沿。尸翻折，假设翻折后，点A,C分别落在

对角线3。上的点G,H处,连结GH那么以下结论不正确的选项是（）

A.BD=10B.HG=2C.EG||FHD.GF±BC

18.〔2022•四川达州•统考中考真题）如图，点E在矩形4BCD的AB边上，将AADE沿DE翻折，点A恰好落

在BC边上的点尸处，假设CD=3BF,BE=4,那么力。的长为（）

C.15D.18

19.（2022•浙江金华・统考中考真题）如图是一张矩形纸片/BCD,点石为AD中点，点方在BC上，把该纸片

沿EF折叠，点A,3的对应点分别为4,B',4E与BC相交于点G,94的延长线过点C假设会=j那

GC3

AA.2QVW2Bo.-4-V-1--0-Cc.—20nD.-8

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20.〔2022•浙江宁波•校考一模）如图，在矩形纸片48CD中，点E、尸分别在矩形的边4B、2。上，将矩形纸

片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点。落在G处，点、C、H、G恰好在同始终线上，假设48=9,AD=6,BE=3,

那么。F的长是（）

C.券D.3

21.12022.辽宁盘锦・中考真题）如图，四边形ABC。为矩形，AB=3,AD=4,AC,2。为矩形的对角线,

E是AD边的中点，点尸是CD上一点，连接EF,将△£>£/沿EF折叠，当点G落在矩形对角线上时，那

么折痕所的长是

22.〔2022•辽宁沈阳•统考中考真题）如图，将矩形纸片ABC。折叠，折痕为MN,点M,N分别在边A。，

BC上，点C,。的对应点分别在E,尸且点E在矩形内部,的延长线交BC与点G,EF交边BC于点H.EN=

2,4B=4,当点反为GN三等分点时，的长为.

23.12022•江苏苏州.统考中考真题）如图，在矩形ABC。中黄=|.动点M从点A动身，沿边A。向点。

匀速运动，动点N从点B动身，沿边BC向点C匀速运动，连接MN.动点M,N同时动身，点M运动的

速度为U1，点N运动的速度为〃2，且药<〃2.当点N到达点C时，M,N两点同时停止运动.在运动过程

中，将四边形MA5N沿MN翻折，得到四边形MA夕N.假设在某一时刻，点5的对应点?恰好在CD的中

点重合,那么手勺值为一

24.（2022•辽宁丹东•校考二模）如图，矩形4BCD中，4B=12,BC=13,点E为2D上一点，且乙4BE=30°,

将AABE沿BE翻折，得到△48E,连接C4并延长，与4。相交于点心那么。尸的长为

25.[2022•浙江宁波・校考三模）如图，在矩形4BCD中Q4D>4B）,点E为BC的中点，点F为边BC上的动点,

连结4凡DE.将AABF沿着2F翻折，使点8的对应点所恰好落在线段DE上.假设三点共线，那么

cosNB字C的值为；假设4D=4,且这样的点才有且只有一个时，那么DE的长为

26.〔2022•山东济南・统考模拟猜测）如图，矩形纸片2BCD,4D:4B=/:1,点E,F分别在AD,BC上,

把纸片如图沿EF折叠，点A,B的对应点分别为4,夕，连接44并延长交线段C。于点G,那么三的值为

27.12022•河南信阳•校考一模）如图，在菱形4BCD中，ADAB=45°,=4,点P为线段上一动点,

过点P作PE14B交力。于点E,沿PE将乙4折叠，点4的对称点为点尸，连接EF、DF、CF,当△CDF为等腰

三角