基本不等式求最值（5大压轴考法）原卷版-2024-2025学年人教版高一数学压轴题攻略

专题04基本不等式求最值

目录

解题知识必备.......................................

压轴题型讲练........................................................2

题型一、条件等式求最值.......................................................2

题型二、常数代换法............................................................2

题型三、消参法................................................................3

题型四、双换元法..............................................................4

题型五、二次(一次)商式的最值.............................................5

压轴能力测评(13题)..............................................8

x解题知识必备♦♦

一、重要不等式

Pa,beR,有。之+/之？〃/?,当且仅当〃=6时，等号成立.

二、基本不等式

如果a>0,b>Q,则而当且仅当a=b时，等号成立.

巴皮叫做正数人的算术平均数，J法叫做正数a,〃的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算

2

术平均数不小于它们的几何平均数.

三、与基本不等式相关的不等式

(1)当时，有,当且仅当a=匕时，等号成立.

(2)当。>0,6>0时，有12T茄，当且仅当a=匕时，等号成立.

a+3

(3)当a,"eR时，有(审］当且仅当。=匕时，等号成立.

四、利用基本不等式求最值

已知x>0,y>0,那么

(1)如果积孙等于定值尸，那么当x=y时，和x+y有最小值26；

(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积孙有最大值

五、利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值.

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+产改为常数)，求£的最值”的问题，先将£转化为

(9+《)・’再用基本不等式求最值.

y/i

(4)消参法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常

数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

六、常见求最值模型

模型一：nvc+—>2y[mn(m>0,H>0),当且仅当％=时等号成立；

xVm

模型二：mx-\——=m(x—a)-\——-——Fma>2y1mn+ma(m>0,n>0)?当且仅当=J'■时等号成立；

x-ax-aVm

模型三：———=--—4——(a>0,c>0),当且仅当x时等号成立；

ax+bx+c奴+H£2y/ac+bVa

x

号井irm/、mx(n-mx)1,mx+n-mxf,八八八n、生口e也n开行口

模型四：x(n-mx)=--------------<—•(---------------)x2=——(m>0,n>0,0<x<—),当且仅当％=—时等号

mm24mm2m

X压轴题型讲练2

【题型一条件等式求最值】

一、单选题

1.(23-24高一上•浙江温州•期末)已知加，T?GR+,满足疗〃+2根〃2_4=0,则机+2〃的最小值为()

A.20+1B.V15C.罢D.40+9

2.(23-24高一上.河北邯郸•期中)若a>b,且必=2,则段二工t1"匕的最小值为()

a-b

A.2A/5-2B.276-4C.2A/5-4D.276-2

二、填空题

3.（23-24高一上•云南大理•阶段练习）已知x>2,y>l,；vy-x-2y=2,则x+y的最小值是.

4.（23-24高一上•安徽蚌埠•期末）已知实数aN0,6N0,cN0且a+8+c=l,则（c-2axe-％）的最大值

为,最小值为•

5.（23-24高一下.安徽安庆•开学考试）已知实数。，b,。满足/+廿+02=1,则必+历+2可的最大值为

【题型二常数代换法】

一、单选题

14

1.（23-24高一上•山东•期中）已知0<”3,则一+——的最小值是（）

a3-a

A.1B.2C.3D.4

12

2.（23-24高一上.安徽宣城•期末）已知％+y=l,且x>0,y>。，则丁+—7的最小值是（）

2xy+1

4-9C.1D.在

A.—B.—

343

2

3.（23-24高一下•湖北•阶段练习）已知尤>0,y>0,且4x+y=l,则二"的最小值为（）

xy

A.6立B.4应C.4D.6

A7V2

4.（23-24高一上•湖北武汉•期末）已知x>0,y>0且％+y=i,则一的最小值为（）

x+1y+2

A.-B.白C.1D.-

423

21

5.（23-24高三上•山东•阶段练习）已知实数X,y满足无>y>。，且3x-y=2,贝i]——+——的最小值为

x+yx-y

()

A.3B.4C.5D.6

【题型三消参法】

一、单选题

14q

1.（23-24高一上•安徽阜阳•期末）已知a>0,b>。且a+Z?=l,贝！J+的取小值为()

4〃2a+b

379

A.-B.-C.2D.-

244

46

2.（23-24高一上.江苏苏州•阶段练习）已知6>“>0,3a+b=ab,则:;一；+丁的最小值为（）

2a-lb-3

A.2B.3C.6D.-

3

3.（23-24高一上•江苏无锡•阶段练习）若。>0,6>0,且必=a+A+l,a+助的最小值为（）

A.15B.8+4血C.17D.6+40

4.（22-23高一上•辽宁大连•期末）若。>0*>0,。+8=1,则"+3'+/_一,的最大值为（）

a+2bb+1b

A.V2B.2-72C.3-A/2D.3-2近

二、填空题

41

5.（23-24高一上•四川眉山•期末）已知a>0,b>O且a+4=ab,贝！J—+;—；的最小值为_________.

fab-l

6.（23-24高一上•浙江•期中）已知实数x>0,y>0,且满足,+'=1,则以的最小值是______.

xyxxy

【题型四双换元法】

一、填空题

1.（23-24高一上•浙江杭州•期中）已知实数x、y满足x（x+y）=2+2/,贝。7/-好的最小值为.

2.（2023・全国•模拟预测）已知”>1,b>[,-'-+-^-=1,则工+工的最大值为____.

2a-12b-1ab

111231

3.（22-23高三上•江苏泰州•阶段练习）已知不6>彳，一+：=7,则7~的最小值_______,

23ab2a-15b—v

【题型五二次（一次）商式的最值】

一、单选题

1.（22-23高一上•四川眉山•阶段练习）设6>0,仍+6=1，则题的最小值为（）

A.0B.1C.2D.4

2.（23-24高三上•河南漂河・期末）设正实数x、y、z满足尤2-冲+丫2-2=0,则也的最大值为（）

z

A.4B.2C.3D.1

二、填空题

3k③+3k

3.（23-24高一上•上海浦东新•期中）已知实数上>0,贝】[3公+14*14左2+的最大值为.

4.（23-24高一上•江苏宿迁•期中）已知2Vx<4,则^一十二二的最小值为________.

x-24-x

5⑵-23高一上・湖南益阳•阶段练习）已知cd则函数广勺的最小值是一

♦♦压轴能力测评“

一、单选题

1.（23-24高一■上•福建龙岩•期末）已知且x+y-孙=5,则2x+y的最小值是（）

A.2及B.4C.4夜D.5

2.（23-24高一上•重庆•期末）已加正实数x,y满足尤+2y-孙=-1,则2x+y的最小值为（）

A.15+「-B.—C.10D.11

48

3.（23-24高一上•辽宁大连•期末）已知x,y为正实数，且无+'=1,则叶如二的最小值为（）

'孙

A.24B.25C.6+4gD.60-3

2

4.（23-24高一下•辽宁葫芦岛•开学考试）已知x>0,y>0,且4x+y=l,则上土E的最小值为（）

xy

A.5B.472C.4D.2近

2

5.（23-24高一下•湖南.开学考试）已知加2>〃>0,则机2+/的最小值为（）

yjn（m-n）

A.4B.6C.8D.2

6.（2024•广西•模拟预测）已知Q,0£（YO,0）,且〃+4/?="-5,则次?的取值范围为（）

A.[25,+8）B.[1,+^）C.（0,5]D.（0,1]

11m

7.（2025•甘肃张掖•模拟预测）已知a”>c,若--+--=——成立，则实数加的最小值为（）

a-bb-ca-c

A.2B.3C.4D.5

二、多选题

8.（23-24高一下•安徽铜陵期末）已知正数。/满足〃+»=1,则下面不等式正确的是（）

A.abV：B.tz2+4Z?2>1

8

81

C.—1-->18