概率论与数理统计课件：随机变量的数字特征

2首页返回退出首页返回退出第一节随机变量的数学期望一、离散型随机变量数学期望二、连续型随机变量数学期望二、随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质§4.1随机变量的数学期望例1：

甲乙两人各射击100次，他们的射击结果如下：X：甲击中的环数，Y：乙击中的环数.试问哪一个人的射击水平较高？甲乙的平均环数可写为因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好。则计算出两人的平均环数分别为：定义

4.1

设离散型随机变量X的分布律为如果则称为随机变量X的数学期望，记作E(X).数学期望简称期望，又称为均值.4.1.1离散型随机变量数学期望前例

例2

设随机变量X

的分布律为X-1012pk0.20.30.10.4求E(X).解：由离散型随机变量的数学期望定义得例3

(泊松分布的数学期望)设X的分布律为求E(X).解：4.1.2连续型随机变量数学期望定义4.2

若连续型随机变量X的密度函数为f(x),并且则称期望，记作E(X)，即为X的数学例4

设随机变量X的概率密度为求E(X).解：由连续型随机变量数学期望的定义知例5

（均匀分布的数学期望）设X的概率密度为求E(X).解：例6

（指数分布的数学期望）设X的概率密度为求E(X).解:例7

（正态分布的数学期望）设求E(X).解:令则4.1.3随机变量函数的数学期望在实际应用中，常需求出随机变量函数的数学期望.例如，若随机变量X的分布已知，要求Y=g(X)的数学期望E(Y).下面的定理告诉我们，可以直接利用随机变量X的分布来求Y=g(X)的数学期望，而不必先算出Y的分布.一个自然的解法是：先基于X的概率分布求出Y的概率分布，然后利用数学期望的定义计算E(Y)，但是这样计算过于繁琐复杂.定理4.1

(离散型随机变量函数的数学期望)设离散型随机变量X的分布律为若级数则的数学期望为定理4.2

(连续型随机变量函数的数学期望)设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x),若则Y=g(X)的数学期望为定理4.1和定理4.2的重要意义在于我们求E(Y)时，不必算出Y的分布律或概率密度函数，而只需利用X的分布律或概率密度就可以了.定理还可以进一步推广到两个或两个以上随机变量的函数情形.例如，

设Z是随机变量X,Y的函数Z=g(X,Y)(

g是连续函数），那么，Z是一个一维随机变量.若二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y),则有这里要求上式右边的积分绝对收敛.又若(X,Y)为离散型随机变量，其分布律为这里同样要求上式右边的级数绝对收敛.则有例8

随机变量X

的分布律为X-1012pk0.20.30.10.4求的数学期望.解：例9

地铁到达一站的时间为每个整点的第5分钟、第25分钟、第55分钟，设一乘客在早8点~早9点之间随时到达，求候车时间的数学期望.解：X表示乘客到达时间，已知X在[0,60]上服从均匀分布，其密度为设Y是乘客等候地铁的时间（单位：分钟），则因此，

YX1210.250.3220.080.35例10

设随机变量(X,Y)

的分布律为求解：例11

设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和线x+y+1=0所围成的区域.求EX，E(-3X+2Y)，EXY.解：4.1.4数学期望的性质(1)设C是常数，则E(C)=C;(4)设X、Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).(2)若C是常数，则E(CX)=CE(X);(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立（诸

Xi独立时）例12

求二项分布的数学期望.若X表示n重贝努里试验中的“成功”次数，则设则X=X1+X2+…+Xni=1,2，…，nX~B(n,p)，解：因为

P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-pE(Xi)==p所以E(X)==np可见服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.32首页返回退出首页返回退出第二节随机变量的方差一、方差的概念二、方差的性质

我们已经介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.

但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.4.2.1方差的概念定义4.3设X是一个随机变量，若函数的数学期望存在，则称为X的方差，记作D(X)或Var(X)，即同时称为标准差或均方差，记为计算方差的一个简化公式展开证：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2期望性质例1(0-1分布的方差)设X的分布律为X01pk1-pp求D(X).解:故例2

设求E(X)和D(X).解:(1)设C是常数,则D(C)=0;

(2)若C是常数,则D(CX)=C2

D(X);

(3)若A,B是常数,则D(X+B)=D(X)；D(AX+B)=A2D(X).4.2.2方差的性质

(4)若X与Y

独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y).X与Y不一定独立时，D(X1+X2

)=？推广：若X1,X2,…,Xn相互独立,则例3

设Y服从二项分布，即Y~B(n,p),求D(Y).解:由于都服从参数为p的0-1分布.相互独立且每个因此由方差的性质可知又故下面介绍一个重要的不等式.定理4.3

设随机变量X具有数学期望方差则对于任意正数ε，不等式成立.这一不等式称为切比雪夫(Chebyshev)不等式.43首页返回退出首页返回退出第三节协方差、相关系数及矩一、协方差二、协方差的性质三、相关系数四、相关系数性质五、矩及协方差矩阵的概念§4.3协方差、相关系数及矩4.3.1协方差定义4.4

二维随机变量，如果

存在，则称它为与的协方差，记作，即

协方差的计算通常采用下面的公式：证明：4.3.1协方差性质1

性质2

性质3

若随机变量

X

与Y相互独立，则性质4

从而对于任意两个随机变量与，则有:性质5

4.3.2协方差的性质首先由(X,Y)的分布律，求出X和Y的边缘分布律

及XY的分布律.解：例1

设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为：X

Y

-10100.10.20.110.20.30.1求随机变量

X

与Y的协方差计算得：从而：例2

设(X,Y)的联合概率密度为：求随机变量

X

与Y的协方差解：，所以

例3

设随机变量

X和

Y,已知求 .解：4.3.3相关系数为了消除这种影响，需将协方差进行标准化，为此引入相关系数的概念.

4.3.3相关系数定义4.5设(X,Y)为二维随机变量，若

存在，

且,

,则

称

为随机变量X与

Y的相关系数.

且D(X)>0，则称4.3.3相关系数

定义4.5设(X,Y)为二维随机变量，若存在，且,

则称为随机变量X与

Y的相关系数.相关系数又称标准化协方差，这是因为随机变量X与

Y经变得到标准化随机变量

解：由方差的性质得由协方差的性质知从而,4.3.4相关系数的性质定理4.4随机变量

X与

Y的相关系数

具有如下性质:(1)(2)的充要条件是存在常数,使即或的充要条件是随机变量X与

Y以概率1存在线性关系.证明：随机变量X与

Y

,经变换得到标准化随机变量,于是，有:及由方差的非负性知

即（1）4.3.4相关系数的性质证明：（2）充分性若 ,则

则于是4.3.4相关系数的性质必要性若 ,则 ,及

由方差的性质，有

即

证明：（2）令 ,有4.3.4相关系数的性质相关系数

是刻画随机变量X与

Y之间的线性关系程度的数字特征，

越大，随机变量X与

Y之间的线性关系越明显.且当

时，Y

就呈现出随着X的增加而增加的趋势；当

时，Y就呈现出随着X的增加而减少的趋势.当

时,称X与

Y

不相关.4.3.4相关系数的性质定理4.5如果随机变量X与

Y相互独立，则X与

Y不相关.证明：当随机变量X与

Y相互独立时，有从而注意该定理的逆定理不成立.两个随机变量相互独立与不相关是两个不同的概念，不相关只说明两个随机变量之间没有线性关系，但这时的X与

Y可能有某种其它的函数关系；而相互独立说明两个随机变量之间没有任何关系，既没有线性关系，也没有其他函数关系.例5

设(X,Y)服从二维正态分布，它的概率密度为求X和Y的相关系数.因为(X,Y)的边缘密度分别为解：故知而令

则有

即有

于是通过该例题，我们看到二维正态随机变量(X,Y)的概率密度函数中的参数就是X与

Y的相关系数

，因此二维正态随机变量的分布完全可由

X,Y

各自的数学期望、方差以及它们的相关系数所确定.4.3.5矩及协方差矩阵的概念定义4.6设X与

Y是随机变量,若

存在,则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩.若

存在,则称它为X的k阶中心矩.若

存在,则称它为X与

Y的k+l阶混合矩.若

存在,则称它为X与

Y的k+l阶混合中心矩.X的数学期望

是X的一阶原点矩，随机变量的原点矩、中心矩、混合中心矩概念是对

期望、方差与协方差的推广，它们是随机变量的重要特征.从本质上讲，矩是一个特殊的随机变量函数的期望.

方差

是X与Y的二阶中心矩，协方差

是X和Y的二阶混合中心矩.

4.3.5矩及协方差矩阵的概念例6

设随机变量X的概率密度为求随机变量X的1至4阶原点矩和3阶中心矩.由定义知，X的1至4阶原点矩为解：例7

设随机变量X的概率密度为求随机变量X的1至4阶原点矩和3