第31讲 空间向量及其应用（学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

INET4.常用结论1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．知识点五.夹角相关1．异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).知识点六.距离相关1．点到直线的距离如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).2．点到平面的距离如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的长度，因此PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).考点一、空间向量加减数乘运算1.（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则12A．BA B．AF C．AB D．EF2.（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且A．12a+C．23a+1.（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知APA．1 B．2 C．322 2.（23-24高三上·江苏·阶段练习）若空间中四点A,B,C,A．13 B．3 C．14 3.（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）在空间直角坐标系中，已知A(0,3,0)，A．29π B．28π C．32π D．30π4.（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设x，y∈R,a=A．22 B．0 C．3 D．考点二、空间向量基本定理1.（20-21高三上·浙江宁波·阶段练习）已知O，A，B，C是空间中的点，则“OA,OB,OC”不共面是“对于任意的x,A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.（2024高三·全国·专题练习）已知体积为3的正三棱锥P−ABC的外接球的球心为O，若满足A．2 B．2 C．32 D．1.（2024·山东济南·一模）在三棱柱ABC−A1B1C1中，AM=2MB，A考点三、空间向量数量积运算1.（2024·全国·模拟预测）设A,B,A．−94 B．−2 C．−32.（2024·江西赣州·二模）已知球O内切于正四棱锥P−ABCD，PA=A．[0,2] B．[4−23,2] C．[0,4−31.（2024·山东日照·二模）已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1A．2 B．74 C．34 2.（2024·上海·三模）已知点C在以AB为直径的球面上，若BC=2，则AB⋅BC3.（2024·贵州·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点均在半径为1的球O表面上，点P在正方体ABCD−A1B考点四、共线问题1.（2024高三·全国·专题练习）已知向量a=2m+1,3,mA．−32 B．−2 C．0 D．−2.（2023·山东·模拟预测）已知三棱锥S−ABC，空间内一点M满足SM=SA−3SB+41.（2023·河北·模拟预测）在空间直角坐标系中，A1,−2,a,B0,3,1,C2.（2023高三·全国·专题练习）已知向量a=1,0,m，b=2,0,−23，若考点五、共面问题1.（2024·河南·三模）在四面体ABCD中，△BCD是边长为2的等边三角形，O是△BCD内一点，四面体ABCD的体积为23，则对∀A．26 B．263 C．2.（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知空间向量PA=1,2,4,PB=A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件1.（2024高三·全国·专题练习）在四面体O−ABC中，空间的一点M满足OM=12OA+132.（23-24高三上·上海宝山·期末）已知空间向量PA=1,2,4,PB=5,−1,33.（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）若向量a=1,−2,−n,b4.（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=4，AA1=3，M是AB的中点，AN=2N考点六、线线、线面角问题1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，棱AA1

A．12 B．13 C．142.（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知M，N分别是正四面体ABCD中棱AD，BC的中点，若点E是棱CD的中点.则MN与AE所成角的余弦值为（

）A．−33 B．33 C．−1.（2024·广东·一模）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P、Q分别在A1B1、2.（2022·全国·高考真题）在四棱锥P−ABCD中，PD⊥(1)证明：BD⊥(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．3.（2022·全国·高考真题）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,(1)证明：平面BED⊥平面ACD(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△4.（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BCC1(1)求证：MN∥平面BC(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：AB⊥条件②：BM=注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．考点七、面面角问题1.（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在三棱锥P−ABC中，∠ABC=π(1)证明：OP⊥平面ABC(2)若PA=2AB=2BC，E是棱BC上一点且2BE2.（2024·江苏镇江·三模）如图，三棱锥P−ABC中，∠ABC=π(1)下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）；①平面PAB⊥平面ABC；②DE⊥③PE⊥(2)若三棱锥P−ABC的体积为23，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面PDE1.（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）如图，在三棱柱ABC−A1B1(1)求证：平面AB1C(2)设点P为A1C的中点，求平面ABP与平面2.（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC

(1)求证：BC⊥(2)求二面角A−3.（2023·全国·高考真题）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB

(1)证明：B2(2)点P在棱BB1上，当二面角P−A24.（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥A−BCD中，DA=DB=(1)证明：BC⊥(2)点F满足EF=DA，求二面角考点八、点面、线面、面面距1.（24-25高三上·广东·开学考试）如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，OA=BF=3,AD=3，点G(1)证明：EG//平面DAF(2)求点H到平面DAF的距离．2.（2021·广西柳州·一模）如图△ABC的外接圆O的直径AB=2，CE垂直于圆O所在的平面，BD//CE，CE=2，BC

(1)证明：BM⊥(2)当M为DE的中点时，求点M到平面ACD的距离.1.（2024·天津和平·二模）如图，三棱台ABC−A1B1C1中，△(1)证明：CC1∥(2)求直线A1D与平面(3)求点D到平面A12.（24-25高三上·福建·开学考试）如图所示，在四棱锥V−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，∠ABC=90°，侧面VBC⊥

(1)求证：EB⊥(2)求二面角B−(3)求点C到平面VAD的距离.3.（2024·黑龙江·二模）如图，已知正三棱柱ABC−A1B1

(1)证明：MN//平面A(2)求点P到直线MN的距离．4.（2024·贵州·模拟预测）在三棱锥ABCD中，AC⊥平面BCD，P是AB上一点，且3AB=4BP，连接CP与DP，(1)过Q点的平面平行于平面ACD且与BC交于点M，求BMCM(2)若平面PCD⊥平面ABC，且AC=2BC=2CD考点九、点线、线线距1.（2024·吉林·模拟预测）如图所示，半圆柱OO1与四棱锥A−BCDE拼接而成的组合体中，F是半圆弧BC上（不含B,C）的动点，(1)求证：CG⊥(2)若DF//平面ABE，求平面FOD与平面GOD(3)求点G到直线OD距离的最大值.2.（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1(1)求四棱锥D1(2)若点P在棱D1C1上，且P到平面B1DE的距离为261.（2024·天津河西·模拟预测）如图，在棱长为a的正方体OABC−O'A'B'(1)求证：A'(2)当三棱锥B'−BEF的体积取得最大值时，求平面B'EF2.（2024·广东广州·模拟预测）如图所示的空间几何体是以AD为轴的14圆柱与以ABCD为轴截面的半圆柱拼接而成，其中AD为半圆柱的母线，点G为弧CD(1)求证：平面BDF⊥平面BCG(2)当AB=4，平面BDF与平面ABG夹角的余弦值为155时，求点E到直线3.（23-24高三下·天津南开·阶段练习）如图，棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，∠DAB=

(1)证明：OF//平面BC(2)求二面角D−(3)求点F到直线DA4.（2024·山西吕梁·一模）如图，在四棱锥P−ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD

(1)线段PB上是否存在一点Q使得QC⊥CD，若存在，求出(2)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，求异面直线PB与CD之间的距离．考点十、空间中的动点问题1.（24-25高三上·四川达州·开学考试）如图，在三棱柱ABC−A1B1

(1)求证：AB1⊥(2)设点P满足A1P=λA1C0≤λ2.（22-23高三下·江苏连云港·阶段练习）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A

(1)求正四棱柱ABCD−A1(2)是否存在点G，使得二面角G−EF−B的大小为1.（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB,E为线段PB(1)证明：AE⊥(2)求实数λ的值，使得平面AEF与平面PDC所成角的余弦值最大．2.（2025·浙江·模拟预测）在正四面体ABCD中，P是△ABC内部或边界上一点，满足AP=λ(1)证明：当DP取最小值时，DP⊥(2)设DP=xDA3.（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，E,F

(1)求证：BD1//(2)线段AB上是否存在点M，使得直线D1M与平面A1EF所成的角的正弦值为34.（2025·广东深圳·一模）如图，PD⊥平面ABCD，AD(1)求证：EF//(2)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为π6，求QN1．（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）如图，AB是圆的直径，平面PAC⊥面ACB，且AP⊥AC．(1)求证：BC⊥平面PAC(2)若AB=2,2．（2024·天津红桥·二模）在如图所示的几何体中，PA⊥平面ABCD，PA//QD，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=60°，∠(1)求证：直线PB//平面DCQ(2)求直线PB与平面PCQ所成角的正弦值；(3)求平面PCQ与平面DCQ夹角的正弦值．3．（2024·天津·二模）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC(1)求证：A1F//(2)求平面ACC1A(3)求点A1到平面BDE4．（2024·天津·二模）如图，DA⊥平面ABC，AB⊥AC，AD∥CE，AB=AC(1)证明：EM⊥(2)求平面DBC与平面ABC夹角的余弦值；(3)设N是棱BC上的点，若EN与CD所成角的余弦值为3010，求BN5．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知四棱台ABCD−A1B1C1D1，下底面ABCD为正方形，AB(1)求证：A1E//(2)求平面ABC1D(3)求E到平面ABC6．（2024·天津河西·一模）已知三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=2PA=2AC=4，N为AB上一点且满足

(1)求证：CM⊥(2)求直线SN与平面CMN所成角的大小；(3)求点P到平面CMN的距离．1．（24-25高三上·天津蓟州·开学考试）如图，PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB(1)求证：EF//平面CPM(2)求平面QPM与平面CPM夹角的正弦值；(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为π6，求N到平面CPM2．（23-24高三上·天津·期中）如图，PD垂直于梯形ABCD所在平面，∠ADC=∠BAD=90°,F为PA(1)求证：AC//平面DEF(2)求平面ABCD与平面BCP的夹角的余弦值；(3)求点F到平面BCP的距离．3．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，已知棱AB,AD,AP两两垂直，长度分别为1，2，2，若DC=(1)求实数λ值；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)求平面PBD与平面PCD夹角的余弦值.4．（23-24高三下·天津·阶段练习）如图，已知多面体ABC−A1B1C1，A1A，B1B，C

(1)求证：AB1⊥(2)求直线AC1与平面(3)求点A到平面A15．（2024·天津·模拟预测）四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，且AB=4，AD=3(1)求平面EFM与平面ABCD夹角余弦值；(2)求平面EFM与直线PB夹角正弦值；(3)平面EFM与PA交于N点，求AN的长．6．（23-24高三下·天津·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD(1)求证：PA//平面EBD(2)求DF与平面EBD所成角余弦值；(3)求平面DEF与平面ABCD的夹角余弦值．7．（2024·天津滨海新·二模）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，侧面PAB⊥平面ABCD，PA=AB(1)求证：EF//平面PAB(2)若异面直线EF与