第24讲 数列的概念（教师版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第24讲数列的概念（9类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第19题,15分由递推数列研究数列的有关性质等比数列通项公式的基本量计算求等比数列前n项和裂项相消法求前n项和2023年天津卷，第19题,15分等差数列与等比数列综合应用等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和写出等比数列的通项公式2023年天津卷，第5题,5等比数列通项公式的基本量计算利用等比数列的通项公式求数列中的项2022年天津卷，第18题,15分等差数列通项公式的基本量计算等比数列通项公式的基本量计算错位相减法求和分组(并项)法求和2021年天津卷，第19题,15分等差数列前n项和的基本量计算由定义判定等比数列错位相减法求和数列不等式恒成立问题2020年天津卷，第19题,15分等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和等比数列通项公式的基本量计算分组(并项)法求和2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为15分【备考策略】1.理解、掌握数列的概念2.能掌握数列的通项公式与递推公式3.具备数形类比递推的思想意识，会借助函数求解数列的最值与单调性4.会解数列中的规律问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出数列求解数列的通项公式与求和问题。知识讲解知识点一．数列的有关概念1.数列：按照确定的顺序排列的一列数2.数列的项：数列中的每一个数3.通项公式：如果数列{an}的第n项an4.递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式5.数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即知识点二.数列的分类1.项数：（1）有穷数列：项数有限（2）无穷数列：项数无限2.项与项间的大小关系：（1）递增数列：an＋1>an（2）递减数列：an＋1<an（3）常数列：an＋1＝an（4）摆动数列：从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列（其中n∈N*）知识点三.数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．知识点四.数列常用的结论1．已知数列{an}的前n项和Sn，则a2．在数列{an}中，若an最大，则an≥an−1an≥an+1(n≥2，n∈N*)；若an最小，则知识点五.数列的两种常用表示方法（1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．考点一、数列的周期性1.（·湖南·高考真题）已知数列an满足a1=0，aA．0 B．−C．3 D．3【答案】B【分析】计算出an的前四项的值，可得出an+3=【详解】因为数列an满足a1=0，aa3=a2−由上可知，对任意的n∈N+，an+3故选：B.2.（2024·陕西安康·模拟预测）在数列an中，an>0,a1A．2 B．1 C．3 D．5【答案】A【分析】根据递推公式得出an+3=a【详解】由an+12+an+2即(an+3−an)(a故选：A.1.（2024·河北·模拟预测）已知首项为2的数列an满足4an+1−5an+1an−2A．40 B．41 C．42 D．43【答案】B【分析】通过计算得到an为一个周期为4的数列，从而计算出S【详解】由题意得a1=2，4a同理4a3−54a4−54a5−5故an为一个周期为4的数列，且a故S40=10a故n的最小值为41.故选：B2.（2024·山东济宁·三模）已知数列an中，a1=2A．−2 B．−1 C．1 D．2【答案】C【分析】利用数列的递推公式求出数列的周期，即可求解.【详解】由a1a3a4a5a6a7a8⋯⋯则{a所以a2024故选：C3.（2024·陕西榆林·三模）现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】列举出部分数字观察其周期即可得解.【详解】报出的数字依次是1,2,2,4,8,2,6,2,2,4,8,2,6⋯，除了首项以外是个周期为6的周期数列.去掉首项后的新数列第一项为2，因为2023=337×6+1，所以原数列第2024个被报出的数应该为2.故选：A.4.（2024·辽宁·模拟预测）数列an中，a1=4，a2=3A．14 B．34 C．3 【答案】A【分析】根据递推公式代入检验可知数列an【详解】因为a1=4，a2令n=2，可得a3=a2a令n=4，可得a5=a4a令n=6，可得a7=a6a可知数列an所以a1000故选：A.考点二、数列的单调性1.（2024·贵州·模拟预测）已知数列an满足an=A．k<0 B．k<1 C．k>0 D．k>1【答案】B【分析】根据条件，利用递增数列满足an+1【详解】因为an=由an+1−an=1−k(n+1)n故选：B.2.（2024·天津南开·二模）设数列an的通项公式为an=A．−3,+∞ B．−2,+∞ C．−2,+∞【答案】A【分析】由递增数列定义可得an+1【详解】由题意可得an+1−a即b>−2n−1，又n≥1，−2n−1≤−3，故b∈−3,+故选：A.1.（2024·北京西城·三模）对于无穷数列{an}，定义dn=an+1A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由递增数列的性质，分别判断充分性和必要性即可.【详解】{an}为递增数列时，有d{dn}为递增数列时，不一定有d所以“{an}故选：D.2.（2024·江西·模拟预测）已知数列an满足an=n−aa∈R，则“A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当a≤1时an=n−a≥0，则所以an+1−an=n+1−a−当a=54时an=n−所以当数列an是递增数列，a可以大于1所以“a≤1”是an故选：B3.（2024·四川雅安·模拟预测）已知数列an满足an+2=3an+1−2an，a1【答案】−【分析】根据an+2=3an+1−2an可得a【详解】因为an+2=3a又因为an单调递增，所以a所以数列an+1−an是以所以an+1所以2−λ·2n−1则λ的取值范围为−∞故答案为：−∞4.（2024·河南信阳·模拟预测）在数列an中，a1=(1)记bn=a(2)记Sn为an的前n项和，若Sn【答案】(1)证明见详解(2)−2,+【分析】（1）根据递推公式结合等比数列定义分析证明；（2）由（1）可得an=n+1【详解】（1）因为2an+1=则b1=a所以数列bn是以首项为12，公比为（2）由（1）可知：bn=a所以S=n可知Sn若Sn+12n所以实数λ的取值范围为−2,+∞考点三、数列的最值1.（2020·北京·高考真题）在等差数列an中，a1=−9，a5=−1A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【答案】B【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差d=a则其通项公式为：an注意到a1且由T5<0可知由TiTi−1由于a1故数列Tn中的正项只有有限项：T2=63故数列Tn中存在最大项，且最大项为T故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.2.（·辽宁·高考真题）已知数列an满足a1=33,【答案】21【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以ann=33n【详解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+33．从而a设f（n）=33n+n−1则f（n）在(33，+∞)上是单调递增，在因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值．又因为a55=所以ann故答案为21【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．1.（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在递增数列an中，a1=π6，sinanA．12 B．32 C．−1【答案】C【分析】由题意依次确定数列的前9项的值，结合三角函数诱导公式，即可得答案.【详解】由题意在递增数列an中，a1=则cosan+1=则a2=π3+2k又cosa3=sina结合题意取a3同理cosa4=sina结合题意取a4同理cosa5=sina结合题意取a5同理cosa6=sina结合题意取a6=2π3+4π，同理可得故an前9项和的最小值+=59可得sinS故选：C2.（24-25高三上·山西大同·期末）等比数列an中，Sn为其前n项和，a1=1，且A．12 B．49 C．16【答案】D【分析】先根据等差中项及等比数列得通项求出公比，再根据等比数列的前n项和公式求出Sn，判断出数列S【详解】设公比为q，由4a1,2又数列an为等比数列，所以得4a1所以Sn令bn则bn+1所以数列2n所以当n=1时，Sn故选：D.3.（2024·山东济南·二模）已知an是各项均为正整数的递增数列，an前n项和为Sn，若Sn=2024A．63 B．64 C．71 D．72【答案】C【分析】因为Sn=2024是定值，要使当n取最大值时an也取得最大值，an需满足前m(m=n−1)项是首相为1，公差为1的等差数列，通过计算am的前63项和与Sn=2024【详解】因为Sn=2024是定值，要使当n取最大值时an也取得最大值，an需满足各项尽可能取到最小值，又因为an是各项均为正整数的递增数列，所以a1=1，a2=2，a3=3当m=63时，T63当m=64时，T64又因为2024−2016=8<63，所以n的最大值为63，此时a1=1，a2故选：C.4.（2024·天津和平·二模）已知数列an满足12a1+122a2+⋯+12nan=nn∈【答案】2n【分析】当n=1时求出a1，当n≥2时，12a1+122a【详解】因为12当n=1时，12a1当n≥2时，12两式相减得12nan=1经检验当n=1时an=2因为an=2所以Rn=65当且仅当2n=64所以数列Rn的最大项为第3故答案为：2n；3考点四、an与S1.（2024·山东济南·三模）若数列an的前n项和Sn=n(n+1)A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根据an与S【详解】a6故选：C.2.（2024·贵州遵义·二模）已知数列an的前n项和Sn=A．16 B．17 C．18 D．19【答案】D【分析】根据给定条件，利用an=S【详解】依题意，a1=S所以a1故选：D1.（2024·内蒙古呼和浩特·二模）数列an的前n项和为Sn=3−2A．1681 B．21181 C．827【答案】B【分析】由Sn,an的关系可得【详解】因为Sn=3−2an，所以，两式相减得，an=2an−1−2因为S1=3−2a所以数列{an}则S5故选：B．2.（2024高三·全国·专题练习）已知数列an的前n项和为Sn，an+1=Sn【答案】n⋅【分析】根据已知式子应用an+1【详解】因为an+1=Sn又因为a1=2,则因此数列Sn则Sn所以Sn故答案为：n·23.（2024高三·全国·专题练习）在数列an中，a1=13，前n项和S【答案】a【分析】当n≥2时，由已知的等式可得Sn−1=n−12n−3a【详解】由于数列an中，a1=13所以当n≥2时，Sn−1两式相减可得：an所以n−12n−3n−12n−3所以2n−3a所以an所以a=1a1因此an故答案为：a4.（2024高三·全国·专题练习）已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=【答案】a【分析】利用数列的前n项和Sn与a【详解】S当n=1时，a1当n≥2时，an所以数列an的通项公式为a故答案为：an考点五、累加法求通项公式1.（2024·重庆·三模）已知数列an的前n项和为SA．276 B．272 C．268 D．266【答案】A【分析】令n=1得S2=1，当n≥2时，结合题干作差得Sn+1【详解】∵a1=当n=1时，S1+S当n≥2时，Sn−1+S∴S故选：A2.（2024·河北保定·三模）设bn是公差为3的等差数列，且bn=an+1A．21 B．25 C．27 D．31【答案】D【分析】由bn=an+1+【详解】由bn=an+1+从而a21故选：D1.（2024·陕西咸阳·三模）在数列an中，a1=1，aA．43 B．46 C．37 D．36【答案】C【分析】由递推公式an+1=an+2n−1用累加法公式a【详解】法一：由题得an=a所以a7法二：由题a1=1，所以a7故选：C.2.（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知数列an满足：a1=1，an=an−1A．Sn=nn+1 B．Sn=【答案】B【分析】由叠加法求出数列an通项公式，再代入bn=1a【详解】由an=an−1+nn≥2得a2=a叠加得an=a1+2+3+4+由题可知a1=1也适合上式，故所以bn=1an则数列bn前n项的和Sn=b1+b2故选：B.3.（2024·全国·模拟预测）已知数列an满足a1=3,a2=15，且an+2A．2016 B．2017 C．4032 D．4034【答案】A【分析】根据递推关系可证数列an+1−an是等差数列，进而利用累加法求出通项【详解】由an+2−2aa2−a则an+1−an=12+a4−a故当n≥2时，an则当n≥2时，an=4n2−1，又a∵1∴4034∴=2017×1−又2016<2017×1−14049故选：A.4.（2024·广东深圳·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2+3n，若首项为1A．10122023 B．20252024 C．20232024【答案】D【分析】已知数列an的前n项和为Sn，做差法计算数列an的通项公式，代入1bn+1【详解】解：∵Sn=当n=1时，a1=4，符合所以数列an的通项公式为a∵1bn+1即1b1b……1bn−1b即bn设数列bn的前n项和为Tn，则故选：D考点六、累乘法求通项公式1.（2024·西藏·模拟预测）已知数列an对任意k∈N*满足aA．21012 B．21013 C．22024【答案】A【分析】由ak⋅ak+1=【详解】解：由ak⋅a所以ak+2所以a2024a2022⋅又因为a1⋅①②两式相乘，得a1故选：A．2.（2024·全国·模拟预测）已知数列an满足an+1an=A．28 B．220 C．225【答案】C【分析】根据题意，由累乘法代入计算，即可得到结果.【详解】由题意，得a2a1=1由累乘法，得a2即a8又a1=1，所以故选：C．1.（2024高三下·全国·专题练习）在数列an中，a1=13，前nA．12n−12n+1 B．3n−22n+1 C．2−【答案】A【分析】根据数列递推式，得Sn−1=n−1【详解】由于数列an中，a1=13∴当n≥2时，Sn−1两式相减可得：a∴2n+1a所以an因此an故选：A.2.（23-24高三上·河南·期中）在数列an中，an>0，a1=1A．414 B．15 C．223 【答案】B【分析】依题意对an+12+a【详解】因为an+12+an2a所以a1132=因为an>0，所以故选：B.3.（2024·四川泸州·三模）已知Sn是数列an的前n项和，a1=1，n【答案】n+1【分析】借助an与S【详解】当n≥2时，n−1an=n+1S则Sn−S则有anan−1=2n+1则an当n=1时，a1=1，符合上式，故故答案为：n+1⋅4.（2024高三下·全国·专题练习）已知数列{an}中，【答案】an=n【分析】利用条件，再写一式，两式相减，可得an+1an【详解】∵nan+1=2(∴当n≥2时，(n−1)an=2(①-②得：nan+1−(n−1)∴an+1∴an=a∴an=n故答案为：an=n考点七、数列恒成立1.（24-25高三上·全国·单元测试）已知等差数列an的前n项和为Sn，且对任意的n≥2，都有n+1A．14,+∞C．−15,+【答案】C【分析】根据已知条件及an与Sn之间的关系，利用等差数列的前【详解】由n+1nS又an为等差数列，则S故5an2所以Δ=4a1即1−54m+1≤0，解得所以m的取值范围是−1故选：C．2.（24-25高三上·广东·开学考试）设数列an的前n项和为Sn,A．λ>0 B．λ>−12 C．λ>−1 【答案】D【分析】根据递推关系可得an+1−an为等比数列，即可结合累加法求解an=2【详解】由an+2+2an3所以数列an+1−a则an进而数列an是以2为公比，1为首项的等比数列，可得S不等式2+λS即2n设bn=n当n≥1时，bn+1−b所以bn所以2+λ>12，解得故选：D．1.（23-24高三上·四川雅安·期中）已知数列an满足0<a1<1，an+1=6A．0,5 B．0,5 C．0,10 D．0,15【答案】C【分析】根据0<a1<1求得t≥0；根据an<5求得t≤10；在结合当t∈【详解】因为an>0，所以an+1因为0<a1<1，所以t≥0整理得t<15−a因为an<5，所以当t∈0,10时，由a得−an2故t的取值范围是0,10.故选：C【点睛】本题主要考查的是数列与不等式结合的问题，根据不等式的性质，可求得t的取值范围，再根据t取这个范围时，不等式成立来确定t的范围.比较数列的大小（或求数列的单调性）时，可考虑差比较法来进行求解.2.（2023高三·全国·专题练习）若数列an满足a1=A．0.5 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】由递推关系变形可得an+1−an=【详解】依题意得a1=1若m>2，则an+1得a2−a1≥m−2于是有an−a当n≥2−a因此数列an中将存在大于2的项，这与a所以m>2不符合题意．若m=2，则an+1−a由a1=1又an+1−2=12a而a1−2<0，于是an综合以上可知实数m的最大值为2，故选：C3.（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，2an+1=3SnA．−3,2 B．−3,2 C．−3,2 D．−3,2【答案】B【分析】根据给定的递推公式求出Sn，再按n为奇数、偶数分类求解即可得t【详解】由2an+1=3Sn，得an=整理得Sn=−2Sn−1+1，即S于是S1−13=23因此Sn−13=23当n为奇数时，1+2n3⋅t<2当n=1时，(3−31+2当n为偶数时，1−2n3⋅t<2n，即所以实数t的取值范围为−3,2.故选：B4.（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，数列bn的前n项和为Tn，且an+1A．1 B．32 C．76【答案】C【分析】根据给定条件，求出数列an+1的通项，再利用等比数列前n项和公式求出【详解】数列an中，a1=1，an+1=Sn即an+1=2an+1因此数列an+1(n≥2)是首项为3，公比为2的等比数列，a则b1=1a1+1=而T1=b1=12故选：C【点睛】思路点睛：给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是利用Sn+1−Sn=a考点八、递推数列问题1.（2025·广东·一模）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设an为斐波那契数列，a1=1,a2=1,an=A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】利用给定条件结合对数的性质构造an【详解】由题知n是log2故log2取指数得1+5同除2n得，1+故151+5根据an是递增数列可以得到a于是原不等式转化为an而a5=5,a故选：A2.（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，满足an+1A．a3a4和a5a6 B．a4a5和a6【答案】D【分析】由an+1=Sna【详解】依题意，由an+1=Sna当n=1时，a2Sn对于A，a3=a1+1，a则a3a4=2a2a1,3a1对于B，a7=a5+1=因为数列每一项都不为0，a1<0且不为负整数，a4a5对于C，a10=a则a5a6=3a3a1,5a1对于D，a12=a2+5=6当3a1为负整数时，a6故选：D.1.（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知函数fx=3x−13x+1，数列anA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据函数解析式判断函数奇偶性，判断函数的单调性，根据已知的条件推得数列的周期，从而计算的出结果；【详解】由题意可知：fx的定义域为R且fx+f−x可知fx为定义在R上的奇函数，且f因为y=3x在R上单调递增，可知fx综上所述：fx在R因为fa2+f可得a3+a由an+3=ann∈且2024=3×674+2，所以i=12024故选：B.2.（2024·安徽马鞍山·模拟预测）数列{an}共有9项，且a1=1 ，A．28个 B．36个 C．45个 D．56个【答案】A【分析】根据题目该数列相邻两项之差dn=2或−2，因为a1=1 ，a9=9已确定，所以只需先判断a1到a9相邻两项之差有几个2和几个−2【详解】设an+1−an=dn可设d1，…，d8中有a个2和b个则a9=a1+即d1，…，d8中有6个2和2个−2，因此这样的数列{a故选：A3.（2024·天津·模拟预测）数列an各项均为实数，对任意n∈N∗满足an+3=A．a1=1，c=1 B．aC．a1=1，c=0 D．a【答案】B【分析】根据定义列方程组，判断a2【详解】由题知，an又an+3=an，所以对于A，若a1=1，c=1，则a2a若a2=0，则a2又a3由周期性可知，当a1=1,a对于B，若a1=2，c=2，则4−a又a22−即a3对于C，若a1=1，c=0，则解得a2=a对于D，若a1=2，c=0，则解得a2=a故选：B【点睛】关键点睛：本题解题关键在于根据定义列方程组，判断a24.（2024·四川乐山·三模）峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名．其中“九十九道拐”景点约有2000级台阶，某游客一次上1个或2个台阶，设爬上第n个台阶的方法数为an①a5=8；②3an+1=an−1其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④．【分析】依题意得出an+2=an+【详解】根据一次上1个台阶或2个台阶，爬上第n个台阶的方法数为an可得an+2=an+所以a3=3，a4=5，因为33an+1=由①有a6=13，a7=21，则显然不满足a1+a因为a1a2a32=an−1累加可得a1所以i=12000ai故答案为：①②④考点九、数列中的规律1.（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则aA．10 B．55 C．89 D．99【答案】C【分析】根据给定条件，求出数列{an}【详解】依题意，an=an−1+an−2（n∈N∗所以a3=3,a故选：C2.（24-25高三上·广东深圳·开学考试）三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（

）A．6种 B．10种 C．11种 D．12种【答案】B【分析】设在第n(n≥2)次传球后有a【详解】设在第n(n≥2)在前n次传球中，每次传球都有2种可能，故在前n次传球中共有2n故在第n次传球后，球不在丙手中的情况有2n只有在这些情况时，在第n+1次传球后，球才会被传回给丙，即an+1=2n−a5故选：B1.（2024·四川·模拟预测）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为1,4,8,13，则该数列的第18项为（

）A．188 B．208 C．229 D．251【答案】A【分析】记该二阶等差数列为an，bn=an+1【详解】记该二阶等差数列为an，且该数列满足a1=1,由题意可知，数列bn为等差数列，且b所以等差数列bn的公差为d=b2所以b1=a所以a18故选：A2.（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（

）A．366 B．422 C．450 D．600【答案】C【分析】根据题意，得到数列an的偶数项的通项公式为a【详解】由题意，大衍数列的偶数项为2,8,18,32,50,⋯，可得该数列an的偶数项的通项公式为a所以此数列an的第30项为a故选：C.3.（2024·浙江绍兴·二模）汉诺塔（TowerofHanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具.如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子，A柱子从下到上按金字塔状叠放着n个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为Hn，例如：H(1)=1，H(2)=3A．H(3)=5 B．H(n)为等差数列C．H(n)+1为等比数列 D．H【答案】C【分析】由题意可得H(3)=7，判断A；归纳得到Hn=2【详解】由题意知若有1个圆盘，则需移动一次：若有2个圆盘，则移动情况为：A→C,A→B,C→B，需移动3次；若有3个圆盘，则移动情况如下：A→B,A→C,B→C,A→B,C→A,C→B,A→B，共7次，故H(3)=7，A错误；由此可知若有n个圆盘，设至少移动an次，则a所以an+1=2an−1+1故an=2则H(n)不为等差数列，B错误；又Hn=2n−1，则HH7故选：C4.（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”a、“股”b与“弦”c之间的关系为a2+b2=c2（其中a≤bA．145 B．181 C．221 D．265【答案】C【分析】由给定的勾股弦数组序列中，an=2n+1n∈N∗，c−b=1，得a2=【详解】因为a2+b在给定的勾股弦数组序列中，c−b=1，所以a2易得勾股弦数组序列中“勾”的通项公式为an所以an故“弦”的通项公式为cn=2n所以第10个勾股弦数组中的“弦”等于2×10故选：C．1．（2024·天津·二模）已知数列an为不单调的等比数列，a2=14,aA．34 B．78 C．98【答案】C【分析】根据等比数列的概念求公比及通项公式，再利用指数函数的单调性求最大项即可.【详解】由题意可知q2=a又an为不单调的等比数列，所以q=−12故bn若要求bn的最大项，需n为偶数，则b根据指数函数的单调性可知当n=2时，b2=9故选：C2．（23-24高三上·天津和平·期末）已知数列an为等比数列，Sn为数列an的前n项和，aA．9 B．21 C．45 D．93【答案】C【分析】利用an=Sn−Sn−1【详解】由an=1整理得Sn又a1=1故数列Sn+3是以所以Sn+3=6×所以S4故选：C.3．（23-24高三上·天津·期中）设Sn是数列an的前n项和，已知a1=1且A．9 B．27 C．81 D．101【答案】B【分析】n≥2时，an=2S【详解】n=1时，a2n≥2时，an作差得an+1−a所以数列an所以a4故选：B.4．（22-23高三上·湖南娄底·期末）已知Sn为等差数列an的前n项和，a3A．157 B．C．114 D．【答案】B【分析】先根据等差数列的求和公式和通项公式求出首项与公差，求出等差数列an的通项公式，代入a【详解】设等差数列an的首项为a1，公差为因为a3所以a3=3，所以则3d=a所以a3所以等差数列an的通项公式为：a所以an当且仅当n=56n⇒n=2所以当n=7或n=8时取最大值为77故选：B.5．（22-23高三上·天津静海·阶段练习）设命题P：已知定义在(0,+∞)的可导函数f(x)，其导函数f'x=xlnx−x，存在k∈R，使得A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据给定条件，分别求出k的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，∀x1,x2令g(x)=f(x)−kx，即有g(x1)≥g(所以函数g(x)在(0,+∞)上递增，故g'令ℎ(x)=f'(x)=xlnx−x当0<x<1时，ℎ'(x)<0，当x>1时，即ℎ(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，ℎ(x)于是命题P为真：k≤−1，数列{an}是递增数列，则∀n∈N∗故2n+3>k在n属于正整数集上恒成立，于是有k<5，因此命题Q为真：k<5，显然当k≤−1时，k<5成立，反之当k<5时，k≤−1不一定成立，则Q是P的必要不充分条件，B正确.故选：B6．（21-22高三上·天津河西·期中）已知数列an中，a1=−1，an=2an−1+3，则通项公式【答案】2n−3【分析】设实数λ满足an+λ=2(an−1+λ)【详解】设实数λ满足an+λ=2(an−1+λ)⇒an=2an−1+λ，则λ=3，所以an+3=2(故答案为：2n−31．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列an满足a1+2A．53 B．85 C．127【答案】D【分析】利用递推关系求出an【详解】当n=1时，a当n≥2a1a1两式相减可得：nan=2又n=1时，a1=2，所以a所以an=3,n=12n,n所以bn设数列anT=3故选：D.2．（2024·全国·模拟预测）已知Sn为正项数列an的前n项和．若Sn+2aA．7 B．15 C．8 D．16【答案】B【分析】本题可通过题中的一般项an与前n项和Sn的关系式，利用公式an+1=Sn+1−Sn【详解】因为Sn所以2an+1=因为an>0，所以an所以数列an所以an+1=a所以S5=a所以an=2故选：B．3．（2024·四川宜宾·二模）在数列an中，已知a1=2,a2A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】用n+1去换an+2+a【详解】由题意得an+2=an+1−两式相加可得an+3=−an又a1=2，a2所以数列an的前2024项和S故选：A.4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等比数列an的前n项和为Sn，且an+1=A．4n−13C．4n−1 【答案】A【分析】根据an,Sn关系求出【详解】因为an+1=Sn+1，所以当因为数列an是等比数列，所以a由a2=S1+1=所以an=2n−1所以数列an2的前n项和为故选：A．5．（23-24高三上·天津西青·期末）已知an是等比数列，Sn是数列an的前n项和，2A．3 B．18 C．54 D．152【答案】C【分析】当n≥2时，2Sn−1=an−2，两式相减可得an+1an=3【详解】当n≥2时，2两式相减可得：2Sn−2Sn因为an是等比数列，所以a又令n=1时，2a1=a所以an是以a1=2所以a4故选：C.6．（23-24高三下·天津·阶段练习）著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n个不同的元素