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第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年南通市海安市十三校联盟九年级(上)第一次月考数学试卷一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中,不是中心对称图形的是(

)A.等边三角形 B.平行四边形 C.正方形 D.圆2.若将抛物线y=2x2向上平移3个单位,所得抛物线的解析式为(

)A.y=2x2+3 B.y=2x2−33.“清明时节雨纷纷”这个事件是(

)A.必然事件 B.确定性事件 C.不可能事件 D.随机事件4.下列各式中,y是x的二次函数的是(

)A.y=3x B.y=x2+(3−x)x

C.y=(x−15.二次函数y=−(x+1)2+2图象的顶点所在的象限是A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.关于x的一元二次方程x2+mx−8=0的根的情况是(

)A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根 D.没有实数根7.已知抛物线y=ax2−2ax+3(a>0),A(−1,y1),B(2,y2),C(4,yA.y1<y2<y3 B.8.设函数y=a(x+m)2+n(a≠0,m,n是实数),当x=1时,y=1;当x=6时,y=6.则A.若m=−3,则a<0 B.若m=−4,则a>0

C.若m=−5,则a<0 D.若m=−6,则a>09.已知抛物线y=−x2+mx的对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0(t为实数)在1<x<5A.t>−5 B.−5<t<3 C.3<t≤4 D.−5<t≤410.若实数x,y,m满足x+y+m=6,2x−y+m=3则代数式−2xy+1的值可以是(

)A.6 B.5 C.4 D.3二、填空题:本题共8小题,共30分。11.抛物线y=−5x2的开口______.(填“向上”或“向下”12.若二次函数y=x2−bx+b−2的图象经过原点,则b=13.在平面直角坐标系中,A点坐标为(3,4),将OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′,则点A′的坐标是______.14.二次函数y=x2−2x+1在−5≤x≤315.已知m、n是方程x2−3x−1=0的两个根,则m216.古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥,赋诗“半钩留照三秋淡,一练分波平镜明”于此,并题“卢沟晓月”,立碑于桥头.卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线,桥拱在水面的跨度OA约为22米,若按如图所示方式建立平面直角坐标系,则主桥拱所在抛物线可以表示为y=−13121(x−11)2+k,则主桥拱最高点P与其在水中倒影17.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且−2≤x≤1时,y的最大值为2118.如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E是AB边上一动点,连接ED,将ED绕点E顺时针旋转90°到EF,连接DF,CF,则DF+CF的最小值是______.三、解答题:本题共8小题,共64分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

选择适当的方法解下列方程:

(1)(x−3)2=4;

(2)20.(本小题8分)

关于x的一元二次方程x2+3x+m−1=0的两个实数根分别为x1、x2.

(1)求m的取值范围;

(2)若2(x21.(本小题8分)

现有甲、乙、丙三个不透明的盒子,甲盒中装有红球、黄球各1个,乙盒中装有红球、黄球、蓝球各1个,丙盒中装有红球、蓝球各1个,这些球除颜色外无其他差别.现分别从甲、乙、丙三个盒子中任意摸出一个球.

(1)从甲盒中摸出红球的概率为______;

(2)求摸出的三个球中至少有一个红球的概率.22.(本小题8分)

每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上.

(1)以原点O为对称中心,在图中画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1;

(2)请画出△ABC绕C点顺时针旋转90°的△A23.(本小题8分)

已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)函数y与自变量x…−2−10123…y…50−3−4−30…(1)二次函数图象所对应的顶点坐标为______;

(2)当x=4时,y=______;

(3)与x轴的交点______;

(4)当函数值y>0时,x的取值范围______.24.(本小题8分)

小李在景区销售一种旅游纪念品,已知每件进价为6元,当销售单价定为8元时,每天可以销售200件,市场调查反映:销售单价每提高1元,日销量将会减少10件,物价部门规定:销售单价不能超过12元,设该纪念品的销售单价为x(元),日销量为y(件),日销售利润为w(元).

(1)求y与x的函数关系式;

(2)求日销售利润w(元)与销售单价x(元)的函数关系式,当x为何值时,日销售利润最大,并求出最大利润.25.(本小题8分)

已知抛物线y=ax2+3ax+c(a≠0)与y轴交于点A.

(1)当a=1,c=−4,求该抛物线与x轴交点坐标;

(2)若a=−2,点P(m,n)在二次函数抛物线y=ax2+3ax+c的图象上,且n−c>0,试求m的取值范围;

(3)若点A的坐标是(0,2),当−2c<x<c时,抛物线与26.(本小题8分)

【操作发现】(1)如图1,在等边△ABC中,点B,C在直线MN上,E为BC边上的一点,连接AE,并把线段AE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF,连接CF,则线段CF与BE的数量关系是______,线段CF与直线MN所夹锐角的度数是______;

【类比探究】(2)如图2,在等边△ABC中,点B,C在直线MN上,若E为BC延长线上的一点,连接AE,并把线段AE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF,连接CF,上述两个结论还成立吗?请说明理由;

【拓展应用】(3)如图3,在正方形ABCD中,点B,C在直线MN上,E为直线MN上的任意一点,连接AE,并把线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,连接CF.若正方形的边长为2,连接DF,当DF=10时,求线段BE的长.

参考答案1.A

2.A

3.D

4.C

5.B

6.A

7.B

8.C

9.D

10.D

11.向下

12.2

13.(4,−3)

14.36

15.−2

16.26

17.2

18.619.解:(1)开方,得x−3=2或−2,

解得:x1=5,x2=1;

(2)∵a=1,b=−2,c=−8,

b2−4ac=4+32=36>0,

∴x=2±6220.解:(1)∵方程x2+3x+m−1=0的两个实数根,

∴△=32−4(m−1)=13−4m≥0,

解得:m≤134.

(2)∵方程x2+3x+m−1=0的两个实数根分别为x1、x2,

∴x21.(1)12;

(2)画树状图如下:

共有12种等可能的结果,其中摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种,

∴摸出的三个球中至少有一个红球的概率为101222.(1)如图,△A1B1C1即为所求.

(2)如图,△A23.(1)(1,−4);

(2)5;

(3(−1,0)和(3,0);

(4)x<−1或x>3.

24.解:(1)根据题意得,y=200−10(x−8)=−10x+280,

故y与x的函数关系式为y=−10x+280(6≤x≤12);

(2)根据题意得,w=(x−6)(−10x+280)=−10(x−17)2+1210,

∵−10<0,

∴当x<17时,w随x的增大而增大,

当x=12时,w最大=960,

答:当x为25.解:(1)当a=1,c=−4时,y=x2+3x−4,

令y=0,则x2+3x−4=0,

解得x1=−4,x2=1,

∴抛物线与x轴交点坐标为(−4,0),(1,0);

(2)∵y=ax2+3ax+c,

∴抛物线对称轴为直线x=−32,

将x=0代入y=ax2+3ax+c得y=c,

∴抛物线经过(0,c),

由抛物线对称性可得抛物线经过(−3,c),

∵x<−32时,y随x增大而减小,x>−32时,y随x增大而增大,且n−c>0,

∴−3<m<0.

(3)∵点A的坐标是(0,2),

∴c=2,

∴y=ax2+3ax+2,

∴−4<x<2时,抛物线与x轴只有一个公共点,

当x=−4时,y=4a+2,

∴直线x=−4与抛物线交点坐标为(−4,4a+2),

当x=2时,y=10a+2,

∴直线x=2与抛物线交点坐标为(2,10a+2),

①当抛物线顶点在x轴上时,Δ=9a2−8a=0,

解得a=0(舍去)或a=89;

②当a>0时,若点(−4,4a+2)在x轴上或x轴下方,点(2,10a+2)在x轴上方,

则26.(1)如图1,过点E作EK//AC交AB于点K.

∵△ABC是等边三角形,

∴∠ACB=∠CAB=∠ABC=60°,AB=BC,

∵EK//AC,

∴∠BEK=∠ACB=60°,∠BKE=∠CAB=60°,

∴△BEK是等边三角形,

∴BK=BE,

∴AK=EC,

∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠ABC+∠EAK,∠AEF=∠ABC=60°,

∴∠EAK=∠FEC,

在△EAK和△FEC中,

AE=EF∠EAK=∠FECAK=EC,

∴△EAK≌△FEC(SAS),

∴EK=CF,∠AKE=∠ECF=120°,

∵BE=EK,

∴CF=BE,∠FCN=60°,

CF=BE;60°.

(2)CF=BE,线段CF与直线MN所夹锐角的度数为60°仍成立.

理由:如图2,连接AF,由旋转可知:EA=EF,∠AEF=60°,

∴△AEF为等边三角形,

∴∠FAE=60°,AE=AF.

∵△ABC为等边三角形,

∴∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,则∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠ACE

∴∠BAE=∠FAC,

∴△ABE≌△ACF,

∴CF=BE,∠ABC=∠ACF=60°,

∴∠FCN=180°−∠ACF−∠ACB=60°,

即线段CF与直线MN所夹锐角的度数为60°;

(3)①当点E在线段BC上时,如图3,连接DF,过点F作FH⊥CD交于点H,作FG⊥MN交MN于点G.

设正方形CGFH的边长为x,则BE=FG=CH=FH=x,

∴DH=CD−CH=2−x.

在△D

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