数学课后导练：排序不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。a,b,c∈R+,则的最小值为(）A。 B。 C。1 D。2解析：不妨设a≥b≥c>0，则,则≥；≥;两式相加得≥.答案：A2.y=3sinx+的最大值为()A。40 B.41 C.42 D。43解析:y=3sinx+=3sinx+4|cosx｜≤［32+（4）2］（sin2x+cos2x）=41。故选B.答案:B3。设a1,a2,a3为1,2，3的一个排列，则+的最小值为(）A。 B. C。 D。2解析：设b1,b2,b3是a1,a2，a3的一个排列，且b1〈b2〈b3,则+≥+=2，故选D。答案：D4.设a1，a2，a3为正数a1′，a2′，a3′的某一排列，则++的最小值为__________.解析：不妨设a1≥a2≥a3，取两组数a1,a2,a3和，，,则++=3,于是++≥3。答案:35。试比较1010×1111×1212×1313和1013×1112×1211×1310的大小.解：∵10<11<12<13,且lg10<lg11〈lg12<lg13，应用排序不等式得10lg10+11lg11+12lg12+13lg13>13lg10+12lg11+11lg12+10lg13,即lg(1010×1111×1212×1313）〉lg（1013×1112×1211×1310)，即1010×1111×1212×1313>1013×1112×1211×1310(等号不成立）。6。证明，其中a1,a2，a3∈R。证明:由柯西不等式得（a1+a2+a3）2=（a1·1+a2·1+a3·1）2≤（a12+a22+a32）·（12+12+12）=（a12+a22+a32）×3，∴≤a12+a22+a32。7.a,b,c∈R+，求证:aabbcc≥（abc）.证明：不妨设a≥b≥c〉0，则lga≥lgb≥lgc，则alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algc,alga+blgb+clgc≥clga+algb+blgc，则3（alga+blgb+clgc)≥(a+b+c）（lga+lgb+lgc）,即lgaabbcc≥lgabc。则aabbcc≥（abc）.8。a1,a2,a3，a4与b1,b2,b3，b4都是1，2，3，4的一个排列,则+++的最小值为__________。答案:49。已知a，b，c∈R+，则++的最小值为__________.答案：3综合运用10。设xi，yi(i=1，2，…,n）是实数,且x1≥x2≥…≥xn,y1≥y2≥…≥yn，z1，z2,…，zn是y1，y2，…，yn的一个排列.求证：=.证明:将原不等式展开整理得.∵,∴只需证.而上式左边为乱序和，右边为同序和，即由排序不等式得证.11.设a1,a2，…,an为两两各不相同的正整数，求证：≥。证明：设b1，b2,…，bn;a1，a2,…,an的从小到大的有序排列即b1≤b2≤…≤bn，因为bi是互不相同的正整数,则b1≥1,b2≥2，…,bn≥n。又因为1〉>>…>，所以由排序不等式得a1++…+(乱序)≥b1++…+（倒序)≥1++…+，即≥成立.拓展探究12。设a,b，c∈R+,求证：a+b+c≤++≤++。证明:不妨设a≥b≥c,则≥≥，a2≥b2≥c2〉0.由排序不等式有a2·+b2·+c2·≤++,a2·+b2·+c2·≤++