数学课后导练：绝对值的三角不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1.若ab〈0，则下列不等式正确的是（)A。|a+b｜>|a—b|B。｜a+b｜<｜a—b|C。|a—b|〈|a|-｜b｜D.|a-b｜<|a｜+｜b|解析：选项A，C，D均不正确，故选B。答案:B2。若|x—m|<2ε，｜y-m|<2ε，则下列不等式中一定成立的是()A。｜x—y｜<2εB。｜x—y|<4εC.|x—y｜〉4εD.|x—y｜>ε解析：｜x-m|<2ε，｜y-m|<2ε｜x—m|+｜y-m｜<4ε|x—y｜<4ε.故选B。答案：B3。若实数a,b满足ab〉0,则①｜a+b|>｜a｜，②｜a+b｜<｜b|；③｜a+b|〈｜a—b|；④|a+b｜〉｜a-b｜这四个式子中正确的是__________.答案：①④4。｜h|〈，｜k｜<a,则|2h-3k|<__________。解析:｜2h—3k|≤2｜h｜+3|k|<2×+3×a=4a。答案:4a5.不等式|2x-log2x｜〈2x+｜log2x｜成立,则x的范围是__________.解析:由于x>0，｜2x-log2x|<|2x｜+|log2x｜,则x·log2x>0log2x〉0x>1.答案:x〉16。已知f（x)=x2+ax+b（a，b∈R)的定义域为［-1,1],记f(x)的最大值为M,求证:M≥。证明：∵f(x）=x2+ax+b，x∈［—1,1］且｜f(x)|≤M，∴M≥｜f(-1）｜，M≥|f(1)｜，M≥｜f（0）｜.∴2M≥｜f(-1）|+｜f=｜1—a+b|+|1+a+b|≥｜2+2b|≥2—2|b｜=2-2|f（0)|≥2—2M∴M≥。7。f（x）=x2-2x+7且｜x-m｜<3。求证：|f(x）—f（m）｜〈6|m|+15.证明：|f（x)-f（m）|=|（x2-2x+7）-(m2—2m=|x2-m2—2（x-m)|=|x-m|·｜x+m-2|〈3|x+m-2|≤3(|x｜+|m|+2），∵|x|-｜m|≤|x—m｜<3,∴｜x|<3+｜m|.由此得3（｜x|+|m｜+2)<6｜m｜+15。∴｜f(x）-f（m)｜〈6｜m｜+15。8。设f（x）=ax2+bx+c,当｜x｜≤1时,总有｜f（x）｜≤1，求证:|f（2)｜≤8。证明:∵0∈［-1，1],∴｜f(0）｜≤1，即|c|≤1.又f(1)=a+b+c,f(-1）=a-b+c，∴|2b|=｜f(1)-f(-1）|≤|f（1）|+|f(—1）|≤2.∴｜b|≤1.又｜2a|=｜f（1）+f（-1）-2≤｜f（1)｜+|f（—1）|+2|c｜≤2+2=4,∴|a|≤2。从而｜f（2)|=|4a+2b+c=｜（a+b+c)+3a+b≤|f(1)｜+3｜a|+｜b｜≤1+6+1=8.综合运用9.｜x1+x2+x3｜≤｜x1|+｜x2|+|x3|中等号成立的条件是__________.解析:|x1+x2+x3｜≤|x1+x2|+|x3｜≤|x1｜+｜x2｜+｜x3｜，当且仅当x1，x2，x3同号时，两个等号同时成立.答案：x1，x2,x3同号10。函数f(x)=｜x—a|+|x-b|的最小值为__________。解析：f(x）=|x-a｜+|x-b|≥｜（x—a）-（x-b）|=｜a—b|.答案:|a—b｜11.已知，求证:｜f(a）-f(b)｜≤|a-b|。证明：｜f（a)-f（b)｜=|-|=｜|≤|｜≤|｜=｜a—b｜。12。求证:.证明:∵|a+b|≤|a｜+｜b｜,∴|a+b｜+（|a｜+｜b|）|a+b｜≤｜a|+｜b|+（｜a｜+|b|）|a+b|。∴|a+b|（1+|a｜+|b|)≤(|a｜+｜b|)（1+|a+b｜）.又∵(1+|a｜+｜b|)（1+｜a+b|）>0,∴。拓展探究13。已知f(x）=ax2+bx+c,对于x∈［—1,1］,总有｜f（x）｜≤1，求证:｜2a+b证明：∵x∈[—1，1］，|f(x）｜≤1,∴｜f（1)｜=|a+b+c|≤1,f（0）=｜c｜≤1,f(—1）=|a—b+c｜≤1.令2a+b=Mf(1）+Nf(0）+Pf即2a+b=M(a+b+c)+Nc+P(a-b+c=（M+P)a+（M-P)b+（