数学课后导练：第二讲第三节圆的切线的性质及判定定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。下列直线中能判定为圆的切线的是(）A.与圆有公共点的直线B。垂直于圆的半径且与圆有公共点的直线C.过圆的半径的外端的直线D。到圆心距离等于这圆半径的直线解析：A.与圆有两个公共点叫相交。B.垂直于圆半径且与圆的公共点不一定是半径外端.C.缺少垂直条件.D。根据切线定义,正确。答案:D2。AB是⊙O切线,在下列条件中,能判定AB⊥CD的是()A。AB与⊙O相切于C点B。CD过圆心OC。AB与⊙O相切于点C,CD过圆心D。CD也是⊙O的切线解析:根据性质定理,C正确。答案:C3。如图2—3—8，AC切⊙O于D，AO延长线交⊙O于B,BC切⊙O于B，若AD∶AC=1∶2，则AO∶OB等于（）图2—3-8A。2∶1B。1∶1C。1∶2解析：连结OD、OC.∵AC切圆于D，∴OD⊥AC。∵BC切圆于B，∴AB⊥BC.在Rt△OCD和△OBC中,∴△OBC≌△ODC。∴BO=OD.又∵AD∶AC=1∶2，∴AD=CD.∴AC∶BC=2∶1.∴∠A=30°.∴AO∶OD=2∶1.∵OD=OB,∴AO∶OB=2∶1.答案：A4。如图2—3—9,AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线,AC交⊙O于D，AB=6，BC=8，则BD等于(）图2—3-9A。4B。4.8C解析：∵BC切圆于B,∴AB⊥BC。∴∠ABC=90°.∴AC==10。∵AB是⊙O直径，∴∠BDA=90°.∴∠ABC=∠ADB.又∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB.∴=.∴BD==4.8。答案：B5。如图2-3—10,AB为⊙O直径，MN切⊙O于C，AC=BC,则sin∠MCA等于()图2—3-10A.B.C。D。解析:连结OC，∵MN切圆于C，∴OC⊥MN，即∠MCA+∠ACO=90°。∵AB是直径，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°.∵OB=OC,∴∠B=∠OCB。∴∠MCA=∠B.又在Rt△ABC中，AB=AC，∴sinB==.∴sin∠MCA=。答案:D综合运用6。如图2—3—11，BC为⊙O的直径，B为OP的中点,∠AOC=120°.求证：AP为⊙O的切线.图2-3—11证明：连结AB，∵∠AOC=120°，∴∠AOB=60°。∵OA=OB,∴△AOB为等边三角形。∴AB=OB。又∵B为OP中点,∴AB=OB=BP.∴△OAP是直角三角形，∠OAP=90°.∴OA⊥PA.∴AP为⊙O的切线。7.如图2—3—12,AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过E作直线与AF垂直,交AF延长线于D，且交AB延长线于C点。求证：CD与⊙O相切于点E。图2—3-12证明:连结OE,∵OA=OE,∴∠1=∠2。又∵AE平分∠BAF,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴OE∥AD。∵AD⊥CD,∴OE⊥CD。∴CD与⊙O相切于点E.8.如图2-3-13,直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°，E为AB上一点,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD。求证:以AB为直径的圆与CD相切。图2—3—13证明:过E作EF⊥CD,F为垂足,∵DE平分∠ADC,EA⊥AD，∴AE=EF。同理,BE=EF，即E到CD的距离等于以AB为直径的圆的半径。∴以AB为直径的圆与CD相切.9.如图2-3—14，在△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于D，过D作⊙O的切线交AC于E.求证：DE⊥AC.图2-3—14证明：连结OD、AD，∵AB为⊙O直径，∴AD⊥BC.∵AB=AC,即△ABC为等腰三角形，∴AD为BC边中线,即BD=DC。又OA=OB，∴OD为△ABC中位线.∴OD∥AC.∵DE切⊙O于D,∴OD⊥DE.∴DE⊥AC。拓展探究10。如图2-3-15，已知△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CAE=∠B。图2-3—15(1)求证：AE与⊙O相切于点A。(2）当AB不是直径时，其他条件不变，结论还成立吗?若成立，请证明;若不成立,请说明理由。(1）证明：∵AB是直径,∴∠C=90°.∴∠B+∠BAC=90°.又∵∠B=∠CAE，∴∠BAC+∠CAE=90°.∴AB⊥AE.∴AE与⊙O相切于点A.(2)解析：当AB不是直径时，结论仍然成立,如图2—3—16,2—3—17分两种情况，证明方法相同.图2—3—16图2-3-17证明:连结AO,并延长AO交⊙O于点D,∵AD是直径，∴∠D+∠DAC=90°.又=，∴∠B=∠D。∵∠B=∠CAE,∴∠CAE+∠DAC=90°。∴OA⊥AE.∴AE与⊙O相切于点A。备选习题11。在Rt△ABC中，斜边AB=12,一直角边AC=6，如果以C为圆心,作圆与AB相切,那么⊙C的半径长为____________。解析:如图,过C作CD⊥AB，D为垂足,那么D为切点.图2-3—18在Rt△ABC中,∵AB=12,AC=6,即AC=AB,∴∠B=30°,∠A=90°—∠B=60°.∴CD=AC·sinA=6×.答案:12。如图2—3—19,AB为⊙O直径，D为AB延长线上一点，DC切⊙O于C点,∠DAC=30°,OD=30cm,则⊙O半径长为______________cm,AC=______________cm.图2—3-19解析:连结OC，∵OA=OC，∴∠ACO=∠DAC.∴∠COD=∠ACO+∠DAC=60°.∵CD是⊙O切线,∴OC⊥CD。∴∠OCD=90°.∴∠ODC=30°.在Rt△OCD中,OC=OD=15cm，CD=cm。又∵∠A=∠D=30°,∴AC=CD=cm。答案：15cmcm13.如图2-3—20，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点A,BC⊥OP于C，OA=3cm,OP=4cm，则AC=_____________cm.图2—3-20解析：连结OB,∵PB切⊙O于B,∴OB⊥PB，OA=OB。又BC⊥OP,∴OB2=OC·OP.∴OC==。∴AC=OA—OC=3-=cm.答案:14.如图2-3—21,BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE,垂足为C,连结OD，且∠AOD=∠APC。求证:AP是⊙O切线.图2—3—21证明：连结OP,∵PD⊥BE,∴∠OCD=90°。∴∠ODC+∠COD=90°.∵OD=OP，∴∠ODC=∠OPC。∵∠COD=∠APC，∴∠OPC+∠APC=90°.∴∠APO=90°，即AP⊥PO.∵P在⊙O上,∴AP是⊙O的切线。15。已知菱形ABCD的对角线交于O，⊙