2020-2021学年广东省部分重点学校高一下学期期末数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年广东省部分重点学校高一下学期期末数学试题一、单选题1．设集合，，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据不等式的解法，求得，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，即，又由，可得.故选：B.2．复数，在（）A． B． C． D．4【答案】C【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再求出其共轭复数，从而求出其模；【详解】解：因为，所以所以，所以故选：C3．若，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用诱导公式得到，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据二倍角正弦公式计算可得；【详解】解：因为，所以，又，所以，因为，所以，所以故选：D4．已知向量，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量，可得因为，可得，解得.故选：C.5．某棋牌室有名爱好棋牌的棋友，技能分为高级、中级和初级三个等级，中级人，从棋牌室中抽取一名棋友，若抽取高级棋友的概率是，则抽到初级的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求得初级棋友的人数，由古典概型概率公式计算可得结果.【详解】由题意知：高级棋友有人，初级棋友有人，从棋牌室中抽取一名棋友，抽到初级的概率是.故选：C.6．若，则的最小值为（）A． B． C．5 D．4【答案】B【分析】利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的最小值．【详解】解：，（当且仅当时等号成立）故选：B．7．函数的零点所在区间为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函数，分别求得区间端点的函数值，结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解.【详解】由题意，函数，可得函数为单调递增函数，可得，，，，，所以，所以函数的零点所在区间为.故选：C.8．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【详解】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，可得【解析】空间线面平行垂直的判定与性质二、多选题9．已知函数①，②函数，则下列正确的有（）A．①②周期相同，最大小值相同 B．①由②向左平移个单位长度得到C．①由②向右平移个单位长度得到 D．①由②向左平移个单位长度得到【答案】AC【分析】求得两个函数的最小正周期和最值即可判断A正确；利用函数图象平移即可判断出其他选项.【详解】解：两个函数的周期都为，最大值为1，最小值为-1，最大小值相同，故A正确；由，则①由②向右平移个单位长度得到，故C正确，将②向左平移个单位长度得到，不能得到①，B错误；将②向左平移个单位长度得到，不能得到①，D错误；故选：AC.10．下列式子中成立的是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由对数函数、指数函数和幂函数的单调性依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于A，在上单调递减，，A错误；对于B，在上单调递增，，B正确；对于C，在上单调递减，，C错误；对于D，，D正确.故选：BD.11．下列函数表示相同函数的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据相等函数的定义判断即可；【详解】解：对于A：显然不是相等函数，故A错误；对于B：定义域为，且定义域也为，且函数解析式一致，故是相等函数，故B正确；对于C：因为，所以与是同一函数，故C正确；对于D：与显然不是相等函数，故D错误；故选：BC12．下列说法中，正确的是（）A．任意单位向量的模都相等. B．若，是平面内的两个不同的点，则C．若向量，，则 D．零向量与任意向量平行【答案】AD【分析】根据单位向量、向量共线的定义判断即可；【详解】解：对于A：根据单位向量的定义可知任意单位向量的模都相等，故A正确；对于B：与互为相反向量，故B错误；对于C：若时，与不一定共线，故C错误；对于D：零向量与任意向量平行，故D正确；故选：AD三、填空题13．若，，则.【答案】【分析】将式子中的角变成，然后利用两角差的正切公式求解即可.【详解】.故答案为：【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式，解题的关键是把要求的角转化成已知角的和与差，属于基础题.14．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为_____．【答案】4【分析】利用平均数、方差的概念列出关于的方程组，解方程即可得到答案．【详解】由题意可得：，设，，则，解得，∴故答案为4．【点睛】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，属于基础题．15．若正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为_______________.【答案】【分析】利用等体积法即可.【详解】如图，.故答案为：.16．如图是某学生进入高中以来14次周练的数学成绩茎叶图，这14次周练数学成绩的极差和中位数依次是_____________.【答案】35、95【分析】根据熟记的极差和中位数的定义，结合茎叶图的数据，即可求解.【详解】由茎叶图中的数据可得，成绩的最高分为，最低分为分，所以数据的极差为；根据数据中位数的定义，可得数据的中位数为.故答案为：；.四、解答题17．已知，，.求（1）；（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知求，结合向量数量积的运算律，即可求；（2）由，利用向量数量积的运算律求值即可.【详解】（1），∴.（2）.18．如图，在三棱锥中，，点是线段的中点，平面平面.（1）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由；（2）求证：.【答案】（1）存在，点是线段的中点，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）取线段的中点，利用是△的中位线，得，再由线面平行的判断定理可得答案.（2）由，得，由面面垂直得平面可得答案.【详解】（1）在线段上存在点，使得平面，点是线段的中点.下面证明平面：取线段的中点，连接，∵点是线段的中点，∴是△的中位线，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）证明：∵，∴，∴，∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴.19．某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计学校900名学生中，成绩属于第四组的人数；（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数（保留两位小数）.【答案】(1)3人；（2）288人；（3）众数15.5，中位数15.74.【详解】试题分析：每个小长方形的面积即为改组的频率再根据公式可求得（1）、（2）中的问题．（3）众数就是出现次数最多的数，在频率分布直方图中众数就是最高矩形的中点．中位数两边的直方图的面积相等．直方图的总面积为1.试题解析：（1）样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为；（2）学校900名学生中，成绩属于第四组的人数为；（3）由图可知众数落在第三组，所以众数为，第一二组的频率为，第一二三组的频率为，所以中位数一定落在第三组，设中位数为x，则，解得【解析】频率分布直方图20．在中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积S.【答案】（1）2；（2）.【分析】（1）由题设条件化简得，得到，结合正弦定理，即可求解.（2）由（1）和余弦定理得到，求得，再由，求得，结合面积公式，即可求解.【详解】（1）因为，可得，所以，所以可得，因为，可得，由正弦定理可得，即.（2）由（1）知，由余弦定理，可得，即，解得，所以，因为，又因为，所以，所以的面积为.21．已知向量，函数.（1）若且，求的值；（2）求的最小正周期；（3）若，，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由，求得，得到，即可求解；（2）由，结合周期的计算公式，即可求解；（3）由（2）和题设条件，求得，，利用基本关系式，求得的值，结合两角和的余弦公式，即可求解.【详解】（1）由题意，向量，函数，因为，即，可得，所以，又因为，可得，所以.（2）由，所以函数最小正周期为.（