2020-2021学年北京市石景山区高一下学期期末数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年北京市石景山区高一下学期期末数学试题一、单选题1．复数的模为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：或选【解析】1．复数的四则运算；2．复数的模．2．若α为第四象限角，则（）A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，所以此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以故选：D.方法二：当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根据扇形的面积，利用扇形的面积公式求其半径，再根据扇形弧长公式及周长的求法求周长即可.【详解】若扇形的半径为，而圆心角的弧度数，则，故，∴扇形的周长.故选：C4．以角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点，则（）A． B． C． D．3【答案】C【分析】根据终边上的点求出，再应用两角差正切公式求值即可.【详解】由题意知：，而.故选：C5．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．【详解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y＝sin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y＝sinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选A．【解析】三角函数的性质.6．已知向量的夹角为，则A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得，即，则，解得（舍去）或，故选D.7．欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】计算，得到答案.【详解】根据题意，故，表示的复数在第一象限.故选：.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.8．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B【分析】根据函数变换前后的解析式，结合左加右减、上加下减的原则，即可判断平移过程.【详解】，∴将函数的图像向右平移个单位，可得.故选：B9．已知函数，则的最大值是（）A． B．3 C． D．1【答案】C【分析】利用二倍角余弦公式，结合的值域范围及二次函数的性质，即可求的最大值.【详解】，而，∴.故选：C10．如图所示，边长为1的正方形的顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴上移动，则的最大值是（）A．2 B． C．3 D．4【答案】A【分析】令，由边长为1的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上，可得出，的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．【详解】解：令，由于，故，，，，故，，故，同理可求得，即，,,，的最大值是2，故选：．二、填空题11．函数的最小正周期是__________．【答案】【分析】对给定函数式用二倍角的余弦公式降幂即可得解【详解】由已知得：，其最小正周期为.故答案为：12．已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m=__________.【答案】8.【分析】利用转化得到加以计算，得到.【详解】向量则.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.13．已知，，则的值为．【答案】3【详解】，故答案为3.14．的内角的对边分别为，若，则________．【答案】【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值，即得B角.【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.又0<B<π，∴B＝.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.15．设，其中，，若对一切恒成立，则对于以下四个结论：①；②；③既不是奇函数也不是偶函数；④的单调递增区间是．正确的是_______________（写出所有正确结论的编号）．【答案】①③【分析】利用辅助角公式可得且，根据题设不等式恒成立可得，再由各项的描述，结合正弦函数的性质、函数奇偶性定义判断正误.【详解】由题设，且，∵对一切恒成立，∴，即，则,①，正确；②，而，所以，错误；③，故，即是非奇非偶函数，正确；④因为在上单调递增，所以，令，则等价于上单调递增，错误；故答案为：①③【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式求得，由正弦函数的性质及不等式恒成立有求值.三、解答题16．已知平面上三点A，B，C．，．（1）若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；（2）若中角C为钝角，求k的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由题意可得向量与平行，根据平行的坐标表示即可求出答案；（2）由题意，且向量与不平行，根据数量积的坐标运算即可求出结论．【详解】解：（1）由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，即向量与平行，∴，解得；（2）当角C是钝角时，，∴，解得，又向量与不平行，则，综上：的取值范围是．17．已知，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据角的范围，结合同角的三角函数的平方关系、两角和正弦公式求值即可；（2）由二倍角正余弦公式求、，应用两角差余弦公式求值即可.【详解】（1）∵，，∴．∴；．（2）∵，，∴．18．如图，在中，D为边BC上一点，，，.（1）若，求的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，利用诱导公式求出结果．（2）利用解直角三角形和三角形的面积公式求出结果．【详解】（1）设∠BAD＝α，∠CAD＝β，则，，所以，因为α+β∈（0，π），所以，即．（2）过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，因为，所以，所以；所以．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，解直角三角形的应用，三角形面积公式的应用．19．已知函数.（1）求函数的最小正周期;（2）求函数在区间上的最小值和最大值.【答案】（1）；（2），【详解】试题分析：（Ⅰ）根据三角函数的恒等变换，化简得，即可求解函数的最小正周期；（Ⅱ）由，得，利用正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的最大值与最小值．试题解析：（1）所以周期为.（2）因为，所以.所以当时，即时.当时,即时.20．在中，，，且，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：（1）的值；（2）的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择见解析；（1）；（2）．【分析】选择条件①，由正弦定理得，再由余弦定理可得，再运用面积公式可算出的面积.选择条件②，由正弦定理得，再由余弦定理算得，再运用面积公式可算出的面积.【详解】解：选条件①：．（1）在中，因为，所以．因为，且，，，所以．化简得，解得或．当时，，与题意矛盾．所以，所以．（2