2024-2025学年湖南省高一（上）期中数学模拟试卷（提高卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省高一（上）期中数学模拟试卷（提高卷）一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意0<x1<x2，均有x2f(xA.(−∞,−2)∪(2,+∞) B.(−2,2)

C.(−2,0)∪(0,2) D.(−2,0)∪(2,+∞)2.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=ex−e−x2A.(−∞,13) B.(13,+∞)3.函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=9x+1x−2a+6，若f(x)≥a−2对一切x≥0成立，则实数a的取值范围是A.(−∞,23] B.[−2,2] C.[−2,+∞)4.已知函数f(x)=2x2−1，g(x)=ax，x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}，若M(x)的最小值为−12，则实数A.0 B.±1 C.±2 二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。5.函数f(x)的定义域为D，若存在区间[m,n]⊆D使f(x)在区间[m,n]上的值域也是[m,n]，则称区间[m,n]为函数f(x)的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是(

)A.f(x)=x B.f(x)=x2−2x+2

6.已知连续函数f(x)满足：①∀x，y∈R，则有f(x+y)=f(x)+f(y)−1，②当x>0时，f(x)<1，③f(1)=−2，则以下说法正确的是(

)A.f(0)=1

B.f(4x)=4f(x)−4

C.f(x)在[−3,3]上的最大值是10

D.不等式f(3x27.定义域和值域均为[−a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是(

)

A.方程f[g(x)]=0有且仅有三个解 B.方程g[f(x)]=0有且仅有三个解

C.方程f[f(x)]=0有且仅有九个解 D.方程g[g(x)]=0有且仅有一个解8.下列说法正确的是(

)A.函数f(x)=ax−1−2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,−2)

B.若不等式ax2+2x+c<0的解集为{x|x<−1或x>2}，则a+c=2

C.函数f(x)=x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。9.古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.若以斜边BC为直径的半圆面积为π，则以AB，AC为直径的两个半圆的弧长之和的最大值为______．10.已知函数f(x)=x2+4x,x≥22|x−a|,x<2，若对任意的x111.已知函数f(x)=(m−2)xm是幂函数，若f(k2+3)+f(9−8k)≤0四、解答题：本题共11小题，共132分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。12.(本小题12分)

已知函数f(x)=ax2+bx+cx2+4是定义在R上的奇函数，且f(2)=14．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)判断并证明f(x)在(−2,2)上的单调性；

13.(本小题12分)

已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)−1，且当x>0时，f(x)>1．

(1)求证：f(x)是R上的增函数；

(2)若f(xy)=f(x)−f(y),f(2)=1，解不等式f(x)−f(14.(本小题12分)

已知函数f(x)=x+ax2+4是定义在[−2,2]上的奇函数．

(1)求实数a的值；

(2)判断f(x)在[−2,2]上的单调性，并用定义证明；

(3)设g(x)=kx2+2kx+1(k≠0)，若对任意的x115.(本小题12分)

如果存在常数t，对于任意x∈R，都有f(x+t)≥tf(x)成立，那么称该函数具有“t变换”．

(1)判断函数f(x)=x，g(x)=|x|是否具有“t变换”，并说明理由．

(2)已知ℎ(x)=x2+tx具有“t变换”，求t的值．

(3)如果F(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，F(x)=x2−2ax且F(x)16.(本小题12分)

已知函数f(x)=bx+cx2+a是定义在区间[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1，f(12)=45．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)判断并证明函数f(x)在区间17.(本小题12分)

已知函数f(x)=x+4x−1．

(1)当x∈[1,3]时，求f(x)的值域；

(2)若关于x的方程1618.(本小题12分)

已知函数f(x)=x|x−2|−a+1，g(x)=x2−ax−1，m∈R，且函数f(x)有三个零点．

(Ⅰ)求a的取值范围；

(Ⅱ)若对任意的x1∈[m,m+2]，总存在x219.(本小题12分)

已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)−g(x)=21−x．

(1)求f(x)，g(x)；

(2)若ℎ(x)=|12[f(x)+g(x)]−1|，且方程[ℎ(x)20.(本小题12分)

我们知道，函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数．

(1)已知函数φ(x)=x2−2x+a(ex−1+e−x+1)，求该函数图象的对称轴方程；

(2)若函数g(x)的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，g(x)=x2−21.(本小题12分)

已知f(x)是定义在区间[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a，b∈[−1,1]，a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b>0．

(Ⅰ)判断函数f(x)在[−1,1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；

(Ⅱ)若f(x)≤m2−5mt−5对所有x∈[−1,1]，22.(本小题12分)

已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)−g(x)=21−x．

(1)求f(x)，g(x)；

(2)若方程mf(x)=[g(x)]2+2m+9有解，求实数m的取值范围；

(3)若ℎ(x)=|12[f(x)+g(x)]−1|参考答案1.D

2.A

3.B

4.B

5.ABD

6.ACD

7.AD

8.BD

9.2π

10.[0,4)

11.6

12.解：(1)因为f(x)=ax2+bx+cx2+4是定义在R上的奇函数，

所以f(0)=c4=0，所以c=0，

所以f(x)=ax2+bxx2+4，所以f(−x)=ax2−bxx2+4，

又因为f(−x)=−f(x)，所以ax2−bx=−ax2−bx，

所以a=0，所以f(x)=bxx2+4，

又因为f(2)=14，所以2b8=b4=14，解得b=1，

所以f(x)=xx2+4；

(2)f(x)在(−2,2)上为单调递增函数，证明如下：

证明：任取x1，x2∈[0,2)，使x1<x2，

则f(x1)−f(x2)=x1x12+4−x2x22+4

=x1(x22+4)−x2(x12+4)13.解：(1)证明：设x1，x2∈R，且x1<x2，

则x2−x1>0，即f(x2−x1)>1，

所以f(x2)−f(x1)=f[(x2−x1)+x1]−f(x1)=f(x2−x1)+f(x1)−1−f(x1)=f(x2−x1)−1>0，

所以f(x14.解：(1)因为函数f(x)=x+ax2+4是定义在[−2,2]上的奇函数，所以f(0)=a4=0⇒a=0；

所以f(x)=xx2+4，经检验，该函数为奇函数；

(2)f(x)在[−2,2]上单调递增，

证明如下：任取−2≤x1<x2≤2，

f(x1)−f(x2)=x1x12+4−x2x22+4=x1(x22+4)−x2(x12+4)(x12+4)(x22+4)=(x1x2−4)(x2−x1)(x12+4)(x2215.解：(1)因为f(x)=x，所以f(x+t)=x+t，

由f(x+t)⩾tf(x)，得x+t⩾tx，

显然当t=1时，上式恒成立，所以f(x)=x具有“t变换”．

因为g(x)=|x|，所以g(x+t)=|x+t|，

由g(x+t)≥tg(x)，得|x+t|⩾t|x|，显然当t⩽0时，上式恒成立，

所以g(x)=|x|具有“t变换”．

(2)因为ℎ(x)=x2+tx具有“t变换”，所以ℎ(x+t)⩾tℎ(x)对∀x∈R恒成立，

即(x+t)2+t(x+t)⩾t(x2+tx)对∀x∈R恒成立，

即(1−t)x2+(3t−t2)x+2t2⩾0对∀x∈R恒成立，

①当1−t=0时，即t=1时，上式化为2x+2⩾0，不恒成立．

②当1−t≠0时，有1−t>0,Δ=(3t−t2)2−8t2(1−t)⩽0⇒t<1,t2(1+t)2⩽0⇒t=0或t=−1．

综上，当t=0或t=−1时，函数ℎ(x)=x2+tx具有“t变换”．

(3)根据题意，当x⩾0时，F(x)=x2−2ax，

由奇函数的对称性可知，当x<0时，F(x)=−x2−2ax，

①当a⩽0时，F(x)在R上单调递增，显然满足条件．

②当a>0时，可得函数图象如图所示：

由图可知，此时F(x)在R上不单调，

若需满足F(x+1)⩾F(x)，可先求出图象中不单调部分所对应的横向的最大距离．

设函数f(x)与直线y=m最左侧交点为C，最右侧交点为D，

由x2−2ax=m(0⩽m⩽a2)16.解：(1)由题意可知f(0)=0，所以c=0，

又f(1)=1，f(12)=45，所以a=1，b=2，

所以f(x)=2xx2+1；

(2)函数f(x)在区间[−1,1]上是增函数，理由如下：

任取−1≤x1<x2≤1，

则f(x1)−f(x2)=2x1x12+1−2x2x22+1=2(x1−x2)(1−x1x2)(x17.解：(1)由双勾函数的性质可知，函数f(x)在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，

又f(1)=4，f(2)=3，f(3)=103，

∴f(x)的值域为[3,4]；

(2)设|3x−1|=n，又3x+1−3=3(3x−1)≠0，则n>0，

|3x−1|=n如图所示：

方程16f(|3x−1|)+t|3x+1−3|=12t有3个不等实数根，即16(n+4n−1)+t18.解：(Ⅰ)由题意设ℎ(x)=x|x−2|=x2−2x,x≥2−x2+2x,x<2=(x−1)2−1,x≥2−(x−1)2+1,x<2，

要使函数f(x)有三个零点，即ℎ(x)=a−1有三个不同的交点，

作出函数ℎ(x)和y=a−1的图象，如图所示：

由图象得0<a−1<1，解得1<a<2，

故a的取值范围为(1,2)；

(Ⅱ)∵对任意的x1∈[m,m+2]，总存在x2∈[32,2]，使得f(x1)<g(x2)成立，

∴f(x)max<g(x)max，

∵g(x)=x2−ax−1=x2−1−a+1x−1=x+1+1−ax−1=x−1+1−ax−1+2，

由(Ⅰ)得函数f(x)有三个零点，即1<a<2，则−1<1−a<0，

∴g(x)在[32,2]上递增，

∴g(x)max=4−a，

又f(x)=x|x−2|−a+1=−(x−1)2+2−a,x<2(x−1)2−a,x≥2，

①若m+2<1，即m<−1，则f(x)19.解：(1)因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，

由f(x)−g(x)=21−x①，

得f(−x)−g(−x)=21+x，

即f(x)+g(x)=21+x②，

①+②可得f(x)=2x+2−x，

①−②可得g(x)=2x−2−x；

(2)由(1)ℎ(x)=|12[f(x)+g(x)]−1|=|2x−1|，

方程[ℎ(x)]2−2k⋅ℎ(x)+k−14=[ℎ(x)−12][ℎ(x)−2(k−14)]=0，

可得ℎ(x)=12或ℎ(x)=2(k−14)，

即|2x−1|=12或|2x20.解：(1)因为φ(x)=(x−1)2−1+a(ex−1+e−(x−1))，

因为φ(1+x)=x2−1+a(ex+e−x)，

令ℎ(x)=φ(x+1)，则该函数的定义域为R，

ℎ(−x)=(−x)2−1+a(e−x+ex)=x2−1+a(e−x+ex)=ℎ(x)，

所以，函数ℎ(x)=φ(x+1)为偶函数，

因此，函数φ(x)=x2−2x+a(ex−1+e−x+1)图象的对称轴方程为x=1．

(2)①因为函数g(x)的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，g(x)=21.解：(Ⅰ)函数f(x)在[−1,1]上是增函数．

设−1≤x1<x2≤1，

∵f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，

∴f(x2)−f(x1)=f(x2)+f(−x1).

又−1≤x1<x2≤1，∴x2+(−x1)>0，

由题设f(x2)+f(−x1)x2+(−x1)>0有f(x2)+f(−x1)>0，

即f(x1)<f(x2)，

22.解：(1)根据题意，

∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，

且f(x)−g(x)=21−x①，

∴f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，

∴f(−x)+g(−x)=21+x，即f(x)+g(x)=21+x②；

由①+②解得f(x)=2x+2−x，