2025届高考考数学复习讲义：圆的知识点及常考题型分析

2025届高考考数学圆的知识点及常考题型分析复习讲义

一、圆的相关知识

1圆的标准方程：(X-。尸+(丁-6)2=，，其中圆心为(a,份,半径为r。

例：圆的方程(X-2)2+('+3)2=5,其中圆心为(2,—3),半径为百。

2点M(x。,光)与圆(x—a)2+(y—6)2=，的关系的判断方法：

(1)(七一疗+仪一行〉/,点在圆外；(2)(40-。)2+(%->)2=’,点在圆上;

(3)(x0—a)~+(y0—瓦)2V厂，点在圆内。

3圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0

DrF,力2+一4斤其中圆心为(―。

转为圆的标准方程为：(*+万)2+(丁+万)2=-----------T，—g)

4圆的特殊方程

(1)圆心在坐标原点的圆的标准方程：x-+y2=r\

例：圆心在坐标原点，且半径为1的圆的标准方程：x2+y2=1o

222

(2)圆心在x轴的圆的标准方程：(x-a)+y=r0

例：圆心在(2,0),且半径为3的圆的标准方程：(%一2)2+/=9。

(3)圆心在y轴的圆的标准方程：x2+(y-b)-=r2,

22

例：圆心在(0,3),且半径为2的圆的标准方程：x+(y-3)=4o

(4)圆与y轴相切的圆的标准方程：(x—af+ly—b)2=/,

例：圆心在(2,3),且y轴相切的圆的标准方程：(x—2)2+(y—3)2=4。

(5)圆与x轴相切的圆的标准方程：。-4+⑶-份2=〃，

例：圆心在(2,3),且x轴相切的圆的标准方程：(*-2)2+(丁一3)2=9。

22

(5)圆与两坐标轴都相切的圆的标准方程：(x+a)+(y+a)=a-o

例：圆与两坐标轴都相切，且半径为2的圆的标准方程：(x土2『+(y±2)2=4。

(6)圆过坐标原点的圆的标准方程：(x-a)2+(y-4=，=/+/。

例：圆过坐标原点，且圆心在(3,4)的圆的标准方程：(x-3)2+(丁-4)2=25。

5用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.

设直线/：Ax+By+C=O,圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=O,圆的半径为「，圆心(_2,一£)到直线的距

22

离为d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

(1)当•时，直线/与圆C相离；(2)当d=r时，直线/与圆C相切；

(3)当时，直线/与圆C相交；(4)当时，直线/与圆C有交点。

当直线与圆相交时，弦长=2,产一。

例：已知直线/:3x—4y—1=0与圆。：产+/―2x+4y—3=0相交于A5两点，求|A4的值

解：第一步：将圆转化为标准形式：(x-1)?+(>+2)2=8,

|3+8-1|

第二步:圆心到直线的距离d==2,第三步：|第q=2/2—/=27^=4。

V25

当直线与圆相切时，(圆心到直线的距离等于半径)

例：已知直线/:3x-4y-根=0与圆C:犬+>2-2x+4y—4=0相切，求用的值

解：第一步：将圆转化为标准形式：(x-+(>+2)2=9,

|3+8—ot|

第二步:圆心到直线的距离d==3,|ll-m|=15,解得根=/■或m=26。

4

当直线与圆相离时，(圆心到直线的距离大于半径)

例：圆C:犬+丁一2x+4y+4=0上的点到直线/:3x—4y+4=0的距离的最大值与最小值

解：第一步：将圆。转化为标准形式：(x-Ip+(>+2)2=1,

|3+8+4|

第二步:圆心到直线的距离d==3,

V25

第三步：圆上的点到直线的距离最大值为d+r=4,圆上的点到直线的距离最小值为=2。

圆与圆的位置关系

两圆的位置关系.

一、设两圆的连心线长为d,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:

圆0：(x—a)"+(y—6)2=弓一,圆C：(x—机厂+(y—〃)~=弓？，

两圆圆心距：\OC\=d=^(a-m)2+(b-n)2(两点间的距离公式)

(1)当〃>〃+2时，圆G与圆。2相离；(2)当d=4+2时，圆C］与圆C2外切;

(3)当|八-r2Kd<4+2时，圆Ci与圆C2相交;

(4)当d=|弓一之|时，圆C］与圆。2内切；(5)当d<|〃—2|时，圆Ci与圆C2内含;

二、看两圆的公切线数

（1）两圆有4条公切线,说明两圆相离。（2）两圆有3条公切线，说明两圆外切。

（3）两圆有2条公切线,说明两圆相交。（4）两圆有1条公切线，说明两圆内切。

（5）两圆有0条公切线,说明两圆内含。

两圆外切时，d=rl+r2

例：若圆V+y2=l与圆（X—。）2+（1一4）2=16有3条公切线，则正数。=（）

解：第一步：两圆的圆心分别为（0,0）,（a,4）,d=J（a-0）2+（4-0）2=J/+16,

第二步：两圆有3条公切线，说明两圆外切，（〃=彳+2）心+16=1+4=5,

a2=9,a=+3,由题意得a=3。

两圆相离时，d>r1+r2

2

例：已知圆。1：?+/=16和圆02：?+/-6mx-8/7；y+16m=0有且仅有4条公切线，则实数m的取值范围是？

解：第一步：圆。2转化为标准形式：（x-3m）2+（y—4〃z）2=9"/，

第二步：两圆的圆心分别为（0,0）,（3加,4加），々=4,马=3帆，d=（3m-0）2+（4m-0）2=5帆，

第三步：两圆有4条公切线，说明两圆相离，（d>{+马）5|/n|>3|m|+4

2|/n|>4,|/n|>2,由题意得力>2或加<-2。

两圆相交时，|a-r2Kd<彳+G。

例：圆。：/+9-4=0与圆。：/+/-4x+4y-12=0的公共弦长为

解：第一步：圆。：X2+/=4,圆C：（x—2）2+（y+2）2=20,

两圆的圆心分别为(0,0),(2,—2),d=7(2-0)2+(-2-0)2=272,126—2|<d<2+2布，说明两圆相交。

第二步:两圆一般式作差，4x—4y+8=0,化解x—y+2=0。

第三步:圆0的圆心到直线x—y+2=0的距离d

第四步：弦长q=2jA—/=2j4—2=2后。

例题分析：

2若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为（）

解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a,a）,则半径为a,a>0.

故圆的方程为（x-a）2+（y-a）2=a2,再把点（2,1）代入，求得〃=5或1,

故要求的圆的方程为（x-5）2+（y-5）2=25或（x-1）2+（3；-1）2=1.

故所求圆的圆心为（5,5）或（1,1）；

故圆心到直线2x-y-3=o的距离d=5-5-3|=_g^_或d=12X1-1-3I=2V§-;

獭2+125獭2+/5

3已知圆f+y2-6x=0,过点（1,2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）

解：由圆的方程可得圆心坐标C（3,0）,半径r=3；设圆心到直线的距离为d,则过。（1,2）的直线与圆的

相交弦长履2|=2，r2_d2,当d最大时弦长以为最小，当直线与。所在的直线垂直时d最大，这时d=|CD|=

7(3-1)2+(2-0)2=2近,所以最小的弦长|A2|=24呼_氏眄)2=2.

二、例题精析

【考点一、求圆的标准方程】

【例题1】圆心为(1,-1)且过原点的圆的方程是()

A.(尤+1)2+(y-1)2=[B.(x+1)2+(y+1)2=1

C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(尤-1)2+(y-1)2—2

分析：已知圆心，先求出圆的半径，可得圆的方程.

答案：C

解析：圆心为(1,-1)且过原点的圆的半径为可(-0)2+(_1_0)2=6,

故圆心为(1,-1)且过原点的圆的圆的方程为(x-1)2+(j+1)2=2,故选：Co

【例题2】经过原点和点(3,-1)且圆心在直线3x+y-5=0上的圆的方程为()

A.(%-5)2+(y+10)2=125B.(x+1)2+(y-2)2=5

2

C.(X-1)2+(y-2)2=5D.(X《)+丫2=普

222,

分析：设圆心C(a,5-3a),<^a+(5-3a)(a-3)+(5-3a+l)求得。的值，可得圆心和半径,

从而求得圆的方程.

答案：D

解析：设圆心CQ,5-3a),则由所求的圆经过原点和点(3,-1),

即7a2+(5-3a)2=V(a-3)2+(5~3a+l)2)

求得。=$,可得圆心为也，0),半径为42+(53)2=1-

333

故圆的方程为(尤-5)2+y2=空.故选：Do

3-9

【例题3】下列方程中表示圆心在直线y=x上，半径为&,且过原点的圆的是()

A-(x-l)2+(y-l)2=V2B-(x-l)2+(y+l)2=V2

C.(X-1)2+(y+1)2=2D.(X-1)2+Cy-1)2=2

分析：假设圆的标准方程，根据题意列出方程求解圆心和半径即可.

答案：D

解析：因为圆心在y=x上，所以设圆心为(a,a),因为圆的半径为五,

所以设圆的标准方程为(x-a)2+2=2,因为该圆过原点，

所以(-a)?+(-a)2=2,解得a—+1,所以圆心为(1,1)或(-1,-1),

当圆心为(1,1)时，圆的标准方程为(X-1)2+(y-1)2=2,。对；

当圆心为(-1,-1)时，圆的标准方程为(尤+1)"+(y+1)2=2.故选：Do

【方法和总结】：确定圆的标准方程：(x-。)2+(>-勿2=/，其中圆心为伍,3,半径为r,确定圆心

与半径。

【考点二、圆成立的条件】

【例题4】若方程/+/+2日-4y+后+k-2=0表示的曲线是圆，则实数上的取值范围是()

A.(-6,-8)B.[-6,+8)C.(-8,6]D.(-8,6)

分析：将圆的一般方程配方后得(x+Z)2+(y-2)2=6根据圆的半径大于0求解即可.

答案：D

解析：由方程/+;/+2依-4y+F+笈-2=。可得(x+左)2+(y-2)2—6-k,

则当曲线表示圆时，有r=J藐〉0,解得左<6,故选：Do

【例题5】已知:+y+2丘-4y+^+A-2=0表示的曲线是圆，则发的值为()

A.(6,+8)B.[-6,+8)C.(-8,6)D.(-8,6]

分析：方程配方后得5+左)2+(J-2)2=6-左，根据圆的半径大于0求解.

答案：C

解析：由方程7+;/+2区-4y+M+A-2=0可得(x+k)~+(y-2)2=6-k,

所以当rf/6-k>0时表示圆,解得左<6.故选：C.

【例题6】已知方程/+)2+2彳-2ay+2a+4=0表示一个圆，则实数a取值范围是()

A.(-8,-1]U[3,+8)B.[-1,3]

C.(-8,-1)u(3,+8)D.(-1,3)

分析：根据题意，将圆的方程化为标准形式，根据/>0建立关于a的不等式，解之即可得到本题的答案.

答案：C

解析：圆的方程化为标准形式，可得(龙+1)2+(厂a)2=/_2a-3,

所以/=/-2a-3>0,解得a<-l或a>3,即实数a取值范围是(-8,-1)u(3,+°°).故选：C。

【方法和总结】：圆的一般方程转化为标准方程，半径大于0。

【考点三、部分圆的应用】

【例题7】点集Q={(x,y)I(x+y-1)(yf/l-x2)=0}表示的曲线总长度等于()

A.2冗+2&B.TT+4C.n+2V2D.4-oo

分析：根据题意整理得尤+厂1=0,/+9=1(后0),且-IWXWI,结合直线，圆的方程分析求解.

答案：C

解析：由题意可知：解得

22

因为(x+y-1)(y-V1-x)=0'则x+y-1=0或y-^l-x=0，

若x+y-l=O,且-1W尤W1,表示以(-1,2),(1,0)为端点的线段，

此时表示的曲线总长度为J(_b1)2+(2-0)2二乐;

若y-jn=0,整理得/+/=1(y》O),表示以0(0,0)为圆心，半径为1的上半圆,

此时表示的曲线总长度为/x2兀X1=7T；

综上所述：点集。表示的曲线总长度等于冗+2^.故选：C»

【例题8】方程|x-1|=，卜(”1)2表示的曲线是(

A.一个圆B.两个半圆C.两个圆D.半圆

分析：化简曲线方程，即可判断曲线的形状.

答案：A

解析：方程|x-1|=｛卜(y+l)2,两边平方，可变为(x-1)2+(y+1)2=1,

方程表示的曲线为以(1,-1)为圆心，半径为1的圆，故选：Ao

【例题9】过点P(4,0)引直线，与曲线yW4-x2+2相交于A，B两点,则直线/的斜率范围为()

A.(q,0)B.[4,0]C.[4,-1)D.(4,-1]

OOOo

分析：设直线方程为>=左(X-4),曲线y=J7I+2即/+(厂2)2=4(y\2),作出图形，可求直线/的

斜率范围.

答案：D

解析：由已知可得/+(y-2)2=4(y22),它表示以(0,2)为圆心，2为半径的上半圆弧，

设直线/方程为(x-4),即质-厂4左=0,作出图形，由图象可得直线/的斜率应满足ZPD<%WAPE,

记直线产。与/+(厂2)2=4(y22)相切于点。，得2』芒4kL,解得k=_l或左=0(舍去).

A/V+i3

又E（2,2）,kpr=??=~lf所以[故选：D。

3

-4-3-2-1023N力

【方法和总结】：明确圆的标准方程和特征，利用圆的相关知识解决。

【考点四'过已知三点求圆的方程】

【例题10］已知直角梯形ABCZ),且A(1,1),B(3,1),C(3,3),D(2,3),则过其中三点的圆的方程

可以为()

A.(x-2)2+y2—3B.(尤-2)2+y2—2

C.(x-2)2+(j-2)2=2D.(尤-3)2+(j-2)2=2

分析：直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项.

答案：C

解析：对于A，由于点A(1,1),B(3,1)的坐标都不满足圆的方程(x-2)2+y2=3,

即圆(尤-2)2+/=3不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意；

对于8,由于点C(3,3),D(2,3)的坐标都不满足圆的方程(x-2)2+y2=2,即圆(x-2)2+/=2不可

能过四个点中的三个点，故8不符合题意；

对于C,首先利用点A(1,1),B(3,1),C(3,3)的坐标求出满足圆的方程(x-2)2+(y-2)2=2,D

(2,3)的坐标不满足圆的方程(x-2)2+(y-2)2=2,即圆(尤-2)2+(j-2)2=2过四个点中的三个点，

故C符合题意；

对于。，由于点A(1,1),B(3,1)的坐标都不满足圆的方程(x-3)2+(厂2)2=2,即圆(x-3)2+(y

-2)2=2不可能过四个点中的三个点，故。不符合题意.故选：C。

【例题11］已知圆C经过原点O(0,。)，A(4,3),8(1,-3)三点，则圆C的方程为()

A.-4尤-3y=0B.d+y2-尤+3y=0

C.x2+y2-5x-5=0D.jc+y1-7尤+y=0

分析：利用待定系数法，求出圆C的方程.

答案：D

解析：设圆的方程为/+/+Ox+Ey+F=0.:圆C经过三个点O(0,0),A(4,3),B(1,-3),

7=0

/.<16+9+4D+3E+F=0-解得D=-7,E=l,尸=0,即圆C的方程/+/-7x+y=0.故选：£>0

l+9+D-3E+F=0

【例题12】经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的面积S=()

A.TiB.2nC.3nD.4ir

分析：首先利用三点的坐标求出圆的方程，进一步利用圆的面积公式求出结果.

答案：D

解析：设圆的一般式方程为：x1+y1+Dx+Ey+F^0,

由于：圆经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的坐标，

'1-D+F=O

故：<9+3D+F=0，解得：D=-2,E=0,F=-3.故圆的方程为：?+/-2x-3=0,

l+4+D+2E+F=0

整理得：(x-1)?+y2=4,所以：S—4n.故选：D。

【方法和总结】：这种题型设圆的一般方程比圆的标准方程简单。

【考点五、点与圆的位置关系】

【例题13】若点(1,1)在圆/+y2-x-a=。的外部，则。的取值范围为()

A.(-A,1)B.(A,1)C.(-8,1)D.(1,+8)

44

分析：根据二元二次方程表示圆的条件，列式算出然后根据点(1，1)在圆的外部，列式算出

4

1,再求交集即可得到本题的答案.

答案：B

解析：方程/+;/-尤-。=0表示圆，所以(-1)2+()2-4(-a)>0,解得a>二，

4

因为点(1,1)在圆/+/-x-a=0的外部，

所以将点(1,1)代入圆方程的左边，得P+p-1_心0,解得

综上所述，-l<a<l,实数。的取值范围为(二，1).故选：A。

44

【例题14】若点P(2,3)在圆C：/+y2+2x-2y+a=0外，则。的取值范围是()

A.(-11,+8)B.(-11,2)C.(-8,2)D.(-8,+°°)

分析：结合点在圆外的代数关系式与圆的一般方程的定义即可.

答案：B

解析：由于点尸(2,3)在圆C：/+/+2尤-2y+a=0外，

J2+3+2-2-2-3+a>0解得7K2,即。的取值范围是(-11.2).故选:B.

,22+(-2)2-4a>0

【例题15】已知点A(4,0),圆C：(x-a)2+(厂0)2=1,若圆C上存在点P使得抬=3,则实数a的最小

值是()

A.-1B.1C.0D.2

分析：根据题意，分析P所在的轨迹为圆，设其轨迹为圆A,分析可得圆C与圆A有公共点，由圆与圆的位

置关系分析可得答案.

答案：C

解析：根据题意，点A(4,0),若以=3,则点尸的轨迹是以A为圆心，3为半径的圆，

设该圆为圆A,

圆C：（x-a）2+（y-a）2=1,若圆C上存在点尸使得B4=3,则圆C与圆A有公共点，

则2W«（a_4）2+/W4,解得。即。的取值范围为［0,4］,

故。的最小值为0.故选：C。

【方法和总结】：点”（毛,%）与圆（%-。/+⑶-6）2=r的关系的判断方法：

（1）（X。—a）?+（y。—6）~＞广，点在圆外；（2）（%—a）~+（%—＞）2=厂，点在圆上；

（3）（X。-a）?+（y0—Z?）~＜广，点在圆内。

【考点六、圆的对称性问题】

【例题16】圆/+/+4X-1=0关于点（0,0）对称的圆的标准方程为（）

A.x2+y2-4x-1=0B.x2+（y-2）2=5

C.?+/+8x+15=0D.（x-2）2+/=5

分析：先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于（0,0）的对称点即可得到对称的圆的

标准方程.

答案：D

解析：由题意可得圆的标准方程为（龙+2）2+/=5,所以圆心为（-2,0）,半径为遥，

因为点（-2,0）关于点（0,0）的对称点为（2,0）,所以所求对称圆的标准方程为（x-2）2+y=5.

故选：Do

【例题17】若圆（x-a）2+（y+1）2=3关于直线5x+4y-a=0对称，贝!］a=（）

A.-1B.1C.3D.-3

分析：由题意可得圆心（a,-1）在直线5x+4y-。=0上，把圆心坐标代入直线的方程，可得。的值.

答案：B

解析：由圆（x-a）2+（y+1）2=3的方程可知：圆心坐标（a,-1）,

由题意可得圆心（a,-1）在直线5x+4y-a=0上，故5a-4-a=0,解得。=1.故选：瓦

【例题18］已知圆/+y=4与圆?+/-8.r+4v+16=0关于直线/对称，则直线/的方程为（）

A.2x+y-3=0B.x-2y-8=0C.2x-y-5=0D.x+2y=0

分析：根据对称可知/是圆Cl和圆C2圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可.

答案：c

解析：圆C］：x2+y2=4,圆心Cl（。，0），半径ri=2,

22

02.x+y-8x+47+16=0,圆心。2（4,-2）,半径r2=2,由题意知，/是圆C1和圆C2圆心连线的垂直

平分线，VCi（0,0）,C2（4,-2）,C1C2的中点（2,-1）,

圆心C1C2连线的斜率为k「=」■，则直线/的斜率为2,故/的方程：y+l=2（X-2）,即2x-y-5=0.

故选：C.

【方法和总结】：圆的对称问题主要有圆关于点对称和关于直线对称。

【考点七、圆与直线相切的问题】

【例题19】：过点p（3，-1）与圆。：/+/=4相切的直线的倾斜角为（）

A.B.22Lc.—D.—

6363

分析：判断点P在圆。上，计算OP的斜率，再求切线的斜率和倾斜角.

答案:B

解析：因为点2（-五，-1）在圆O：/+。=4上，且op的斜率为kop=・+=/=■

-V3V3

所以切线的斜率为左=-6，倾斜角为空.故选：B.

k0P3

【例题20】：过点M（2,-1）且与圆/+y2=5相切的直线方程为（）

A.x-2y+5=0B.x+2y+5=0C.lx-y-5=0D.2x+y+5=0

分析：先判断出点M在圆上，进而求出切线斜率即可得到答案.

答案：C

解析：因为2?+（-1）2=5,所以点M在圆上，而kc-二L=_l,所以切线斜率为2,

KOM22

所以切线方程为：y+l=2（x-2）,即2尤-y-5=0.故选：C.

【例题21］：过点尸（1,1）作圆E：/+9-公+2尸0的切线，则切线方程为（）

A.x+y-2=0B.2x+y-3=0C.x-2y+l=0D.2x-y-1=0

分析：由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得尸点在圆上，求出直线PE的斜

率，得到过尸点的切线的斜率，再求出过尸点的切线方程.

答案：C

解析：由圆E：-4x+2y=0的方程，可得圆心坐标为E（2,-1）,将尸（1,1）的坐标代入圆的方程，

可得1+1-4+2=0,则尸在圆上，又kPE=±L=-2,所以过P点与圆相切的直线的斜率为工，

2-12

所以过P点的切线方程为y-1=/（x-1）,即x-2y+l=0,故选：C。

【方法和总结】：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径。

【考点八、圆外一点作圆的切线，夹角问题】

【例题22】过点(-2,0)与圆/+/=1相切的两条直线的夹角为a,则cosa=()

A.1B.亚C.返D._A

2222

分析：根据题意可知圆心为。(0,0),半径r=l,设过A(-2,0)的直线与圆相切于点8,在中利

用锐角三角函数的定义求出/0A8的大小，从而算出角a的值，进而可得答案.

答案：A

解析：圆/+y2=l的圆心为。(0,0),半径r=l.

过点A(-2,0)的直线与圆相切于2、C两点，所以。BLAB,OCLAC.

在RtZ\A08中，A0=2,02=1,

所以sin/OAB=2殳=」，可得NOAB=2L,即工_=_ZL,a=Z",可得cosa=—.

0A262632

【例题23】过点(0,-2)与圆-4x-1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=()

A.1B.2/ILC.D.返

444

分析：圆的方程化为(x-2)2+/=5.求出圆心和半径，利用直角三角形求出sin旦，再计算COS&和sina

22

的值.

答案：B

解析：圆/+9-4尤-1=0可化为(x-2)2+/=5,则圆心C(2,0),半径为「=返；

设P(0,-2),切线为E4、PB,则尸。=五口”=2加,

△以C中，sin—所以cos_2_=J[__1=乂|^,

22V2_2V182V2

所以sina=2sin-^~cos-^~=2义=、'羔，.故选：B.

222V22V24

【例题24】直线Zi和公是圆/+y2=2的两条切线.若/1与b的交点为(1,3),则与/2的夹角的正切值等于.

分析：设/1与/2的夹角为20,由于/1与/2的交点A(1,3)在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sin0

的值，可得cos。、tan。的值，再计算tan20.

答案：A

3

解析：设与/2的夹角为20,由于/1与12的交点4(1,3)在圆的外部,且点A与圆心0之间的距离为0A=

圆的半径为r=J^,sing=，；.cose=,tan0=A>tan20=―2tan8——__'_=3，

V10V1021-tan26-3

4

故答案为：1.

3

【方法和总结】：由半径与切线构造直角三角形，然后用勾股定理。

【考点九、与切点之间距离有关的应用】

【例题25］已知圆M：(x-4)2+y2=4,点P为直线x-y=0上的动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别

为A,B,则|AB|的最小值为()

A.2V3B.V2C.2V2D.V3

分析：由圆的切线性质可知PBLBM,ABLPM,由面积相等和勾股定理可得|A8|=4J1———

71PMi2

由M到直线X-y=0的距离即为IPM的最小值即可求得.

答案：C

解析：因为E4,PB是圆〃的切线，切点分别为A,B,所以PB±BM,AB±PM,

所以四边形APBM的面积为2SAPAM=2XyXIAPIX|AM|=J*|AB|X|PM|)

所以IARI_21AplX|AM|=4|AP|=4山PM|2-|AM|2=||PM|2-4=匕4

|AB|-1PM1e而一N1-W

当|PM取得最小值时，|45|有最小值,

当PM垂直于直线x-y=O时，|PM最小，且

所以㈤一5盛产=4X浮桃故选：心

【例题26】已知。M：/+y-2x-2y-2=0,直线/：2x+y+2=0,P为/上的动点，过点尸作。加的切线E4,

PB,切点为A,B,当1PM・|AB|最小时，直线42的方程为（）

A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+l=0D.2x+y+l=0

分析：由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得日|PM・|AB|=W|PH|2-4,说明要使|PM，|A8|最

小，则需IPM最小，此时PM与直线/垂直.写出PM所在直线方程，与直线/的方程联立，求得P点坐标，

然后写出以为直径的圆的方程，再与圆M的方程联立可得AB所在直线方程.

答案：D

解析：化圆M为（x-1）2+（y-1）2=4,圆心A/（1,1）,半径r=2.

：S四边形P砸4|PH|，|AB1=2弘。=|-=2照|=W|PM|2_4.

二要使最小，则需|PM最小，此时PM与直线/垂直.

由直线/：2x+y+2=0,可得直线PM的斜率为工，

2

（」1

直线PM的方程为y-1=工（x-1）,BP联立.丫工'巧，解得p（-1,0）.

222l2x+y+2=0

则以PM为直径的圆的方程为x2+（y］）2=*

’22

联立,x：+y-2x-2y-2=0；相减可得直线.的方程为2x+y+i=o.故选：D.

,x2+y2-y-l=0

【例题27】已知。M：?+/+2x-4y+l=0,直线/：x-y-1=0,尸为/上的动点.过点P作。M的切线E4,

PB,切点分别为A,B,当1PMi•|AB|最小时，直线A8的方程为（）

A.x-y+l=0B.x-y-2=0C.x+y+2=0D.x+y+l=0

分析：由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得|PM」A8|=2,|PM|2一4,所以最小转化

为1PM最小，此时PM与直线/垂直，求出PM所在直线方程，与直线/的方程联立，求得尸点坐标；然后写

出以加为半径的圆的方程，再与圆M的方程相减可得公共弦AB所在直线方程.

答案：A

解析：OA/的标准方程为（x+1）2+（厂2）2=4,其圆心为Af（-1,2）,半径为2.

因为加加另出川.席|=25H斓=出人|・向|=2出人|=2\而乃二’

所以当IPM最小时，|PMrAB|最小，此时PM与直线/垂直，所以直线的方程为y-2=-（x+1）,

V—W—1=0（V—1

即尤+y-l=O.联立,y，解得|.

x+y-l=0,[y=0,

所以点P的坐标为P（l,0）,|PM|={（-1-1）2+（2-0）2=2加'

在Rt△"M中，lAPlWlPM12TAM|2=2,同理|BP|=2.

以P为圆心，|AP|为半径的OP的方程为（尤-1）2+y2=4,即/+/-2x-3=0,

则线段AB为与。尸的公共弦，两圆方程相减得x-y+l=0,即直线A8的方程为尤-y+l=0.故选：A.

【方法和总结】：对角互补，四点共圆。

【考点十、直线与圆的相交问题】

【例题28】圆（x-2）2+y2=4与直线x-y-2+&=0相交所得弦长为（）

A.1B.V2C.2V3D.2/2

分析：求出圆心到直线的距离，代入弦长公式，即可求解.

答案：C

解析：由圆（尤-2）2+/=4的圆心坐标为（2,0）,半径r=2,圆心（2,0）至U直线x-y-2+&=0的距离

所以弦长为：2斤彳=2反1=2«.故选：C.

d=I2-0-W2|=?

【例题29】直线2x-y+l=0与圆W+y2=2交于A、B两点，则弦的长（）

A.鼠2B.岖C,272.口.班

5555

分析：利用点到直线的距离公式及勾股定理即可求解.

答案：B

解析：圆/+y2=2的圆心坐标为（0,0）,半径为r=V2«圆心到直线2尤-y+l=0的距离为d=|2><0~1^0+1

正+㈠产

=在，所以|AB|=2'r2_d2.故选：Bo

5

【例题30】以点（1,1）为圆心的圆C截直线y=x+2所得的弦长为则圆C的半径为（）

A.1B.V2C.2D.V5

分析：根据题意求圆心到直线的距离，结合垂径定理求半径.

答案：D

解析：由题意可知：圆心（1,1）到直线x-y+2=0的距离I用,所以圆C的半径为

V2

r=7（V3）2+d2=V5-故选：D.

【方法和总结】：圆心到直线的距离小于半径，说明直线与圆相交，当直线与圆相交时，弦长=2，尸一>2.

【考点十一、直线与圆的外置关系】

【例题31】M（尤o,yo）为圆x2+y2—a2（a>0）内异于圆心的一点，则直线xor+yoy=a2与该圆的位置关系为（）

A.相切B.相交

C.相离D,相切或相交

分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为M为圆内一点，所以M到圆心的距离小于圆的半径，利用两点

间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d,根据求出的

不等式即可得到d大于半径厂，得到直线与圆的位置关系是相离.

答案：C

解析：由圆的方程得到圆心坐标为（0,0）,半径r=a,由M为圆内一点得到：JxJ+y02V°，

2

I-aI,2

则圆心到已知直线的距离d=J［।->且-=a=r,所以直线与圆的位置关系为：相离.故选：C。

a

【例题32］圆jr+y2-2x+4y=0与2以-y-2-2t=0（正R）的位置关系为（）

A.相离B.相切

C.相交D,以上都有可能

分析：观察动直线2fx-y-2-2f=0（teR）可知直线恒过点（1,-2）,然后判定点（1,-2）在圆内，从

而可判定直线与圆的位置关系.

答案：C

解析：直线2tx-y-2-2/=0恒过（1,-2）,而J+（-2）2-2X1+4X（-2）=-5<0

.,.点（1,-2）在圆尤2+『-2x+4y=0内，则直线2£r-y-2-2f=0与圆r+yZ-Zx+UnO相交

故选：C.

【例题33］圆/+尸-4x+6y=0与直线2mx+y+2-加=0（机6R）的位置关系为（）

A.相离B.相切

C.相交D.以上都有可能

分析：根据题意，将直线方程变形为m（2x-1）