北京市某中学2024-2025学年高二年级上册9月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二（上）月考数学试卷（9

月份）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.（4分）已知直线经过点（-3,-2）,（1,2）,则下列不在直线上的点是（）

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(2,1)

2.（4分）直线ax+打+c=0同时要经过第一、二、四象限，则a,b,c应满足（）

A.aZ?>0,be<0B.ab<0,bc>0

C.ab>Q,be>0D.ab<0,be<0

3.(4分)已知G=(2,1,—3),3=(—1,2,3),6=(7,6,㈤，若3,己共面，则2等于()

A.-3B.3C.-9D.9

4x+2y+1=0

4.（4分）若关于X,歹的方程组《[2x+町+1=0("'无解‘则"()

万

A.2B.J2C.lD.—

2

5.（4分）如图底面为平行四边形的四棱锥尸—N5CD,EC=2PE,若丽=》方+了就+z万，则

x+y+z=()

5

D.-

33

6.（4分）"加=2"是"直线4:（机-3）%+制7+1=0与直线/2:机x+（机-l）y-2=0互相垂直”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（4分）设直线的方程为x—ysin。—2=0,则直线的倾斜角a的范围是（）

71713兀兀兀、（兀3兀

A.[0,7l]

B.—，兀C.5D.piriPT

424T

8.（4分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cos6»,sinO）到直线x-my-2=0的距离.当加变化时，d

的最大值为（）

A.lB.2C.3D.4

9.（4分）如图，三棱锥Z—5CD中，AB=BC=AC=DB=DC,且平面48C与底面5co垂直，E

为BC中点,EF//AD,则平面幺。8与平面Z8/夹角的余弦值为（）

A-fB•半鸣W

10.（4分）“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素

描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一

条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相

对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”有两个底面边长为2,高为

4正的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图②所示的空间直角坐标系，则（)

图①I舱

A.GE=272

B.点C的坐标为（-2,2,2世）

C.O,E,F,幺四点共面

Ji

D.直线CE与直线DG所成角的余弦值为注

6

二、填空题（每小题5分，共30分）

II.（5分）已知己=（2,—1,3）,3=（—4,2,x）,且则工=.

12.（5分）过点（-1,3）且平行于直线x-2y+3的直线方程为

13.（5分）若1=（2,3,-1）,3=（—2,1,3）,则以23为邻边的平行四边形面积为.

14.（5分）己知Z（2,1,3）,B（2,—2,6）,C（3,3,6）,则向量正在冠上的投影向量坐标为.

15.（5分）若直线/:±+}=1伍＞0）〉0）经过点（1,2）,则直线在x轴和V轴的截距之和的最小值是

ab

16.（5分）在正三棱柱N5C—44。中，25=44]=1,点尸满足丽=生而+〃画，其中

2e[0,1],//e[0,1],则下列说法中，正确的有.（请填入所有正确说法的序号）

①当2=1时，AABf的周长为定值；

②当〃=1时，三棱锥尸-4BC的体积为定值；

③当彳=1时，有且仅有一个点尸，使得4尸，8尸；

2

④当〃=（时，有且仅有一个点尸，使得48,平面48H.

三、解答题（共50分）

17.（12分）己知的顶点分别为N（2,4）,5（7,-1）,C（-6,l）.

（1）求8C边的中线4D所在直线的方程；

（2）求8C边的垂直平分线的方程.

18.（12分）在平行六面体4BCD—481GA中，=2,AD=\,

/BAD=ZBAA{=ZDAA[=60°.

（2）求4到直线8c的距离；

（3）动点尸在线段卬上运动，求万•丽的最小值.

19.（12分）如图，正方形ZVDE的边长为2,B,C分别为ZM,的中点.在五棱锥尸—4SCDE

中，E为棱尸E上一点，平面N8尸与棱PD,PC分别交于点G,H.

p

兀

（2）若上4,底面N8C0E,且尸/=/£,直线8c与平面48厂所成角为一.

6

（i）确定点厂的位置，并说明理由；

（ii）求线段?女的长.

20.（14分）设正整数〃23,集合N=｛a|a=（冷/,…,天）,4eR,左=1,2,,对应集合/中的任

意元素。=（七,》2,…％）和6=（%,必，…匕），及实数X，定义:当且仅当演=然（左=1,2,…,〃）时

a=b;a+i>=（x1+%,％+外,…Z+尤）；几。=（尢1%/，…几天）.若幺的子集台=｛%，%，%｝满足：当且

仅当4=办=4=0时，4%+4%+4%=（°，°，…，°），则称8为/的完美子集.

（1）当〃=3时，已知集合

=｛（1,0,0）,（0,1,0）,（0,0,1）｝,B2=｛（1,2,3）,（2,3,4）,（4,5,6）｝,分别判断这两个集合是否为/的完美子

集，并说明理由；

（2）当〃=3时，已知集合8=｛（27%,7%,机—1）,（机,2%机—1）,（7%,7"-1,2机）｝.若8不是幺的完美子集，

求加的值；

（3）已知集合B=｛al,a2,a3｝^A,其中为=（知,如,…x加）（i=1,2,3）.若2|xj>|xu|+|x2/|+晶|对任

意i=l,2,3都成立，判断8是否一定为N的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.

2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二（上）月考数学试卷（9

月份）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.D

y—（—2）x—（―3）

【解答】解：由直线的两点式方程，得直线的方程为.;<=I;二,即x-y+l=o,

2-1-2）1-（勺

将各个选项中的坐标代入直线方程，

可知点（-2,-1）,（-1,0）,（0,1）都在直线上，点（2,1）不在直线上.

故选：D.

2.【答案】A

【解答】解：由于直线办+力+c=0同时要经过第一、二、四象限，故斜率小于0,在丁轴上的截距大于

0,

a八

——<0

故<“，故。6>0屈<0,

-->0

Ib

故选：A.

3.【答案】C

【解答】解:a=（2,l,-3）,6=（-l,2,3）,c=（7,6,A）,

•「a.b.c共面,

-'-^a=mb+nc，则(2,1,—3)=(—机+In,2m+6n,3m+Ari),

一加+7〃=2

/.<2m+6n-1,解得加=——，〃=一，

.44

3加+X”=-3

解得4二一9.

故选：C.

4.【答案】C

4x+2y+l=0/、

【解答】解：..・关于X，V的方程组c-,八（aeR无解,

2x+"+1=0、7

/.直线4x+2y+1=0与直线2x+即+1=0平行,

2a1

「•一二一，一,

421

解得a=1.

故选：C.

5.【答案】A

【解答】解：由题意，DE^DC+CA+AE=AB-AC+AP+PE

=AB-AC+AP+-PC=AB-AC+AP+-（AC-AP}=^B--JC+-AP,

33、,33

又因为瓦=+y衣+zN,

22

所以x=l,y=一三,2=不，

33

所以x+y+z=l.

故选：A.

6.【答案】A

【解答】解：由题意两条直线垂直时，则机（机-3）+掰（掰-1）=0,即2m2—4m=0，

解得加=0或加=2,

所以"加=2"是"直线4:（机一3）x+绚+1=0与直线4:机x+（加-1）了一2=0互相垂直”的充分不必

要条件.故选：A.

7.【答案】C

7T

【解答】解：当sine=0时，则直线的斜率不存在，这时直线的倾斜角为一，

2

当sin。W0时，则直线的斜率左=」一，

sin。

当0<sin"，1时，则左这时直线的倾斜角为:，曰1，

当-L,sin9<0,贝ij左«-?一1],这时直线的倾斜角为1万,彳，

综上所述：直线的倾斜角的范围为[学

故选：C.

8.【答案】C

yjm2+lsin(e-a)-2

【解答】解：由题意d=1os'jsin'-2|

A/12+m2ylm2+1

/.当sin(。一a)=-1时,

/.d的最大值为3.

故选：c.

9.【答案】B

【解答】解：如图，连接

因为4B=BC=AC=DB=DC,E为BC中点、,

所以4E_LBC,DE_LBC,

又平面ABC1底面BCD,平面ABCn底面BCD=BC,AEu平面ABC,

所以NEL平面5C。，故切,£8,E4两两垂直,

以£为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

设/8=2,由EF〃/。，

可得幺(0,0,6),£>(6,0,0),8(0,1,0),尸卜G,0,G),

则加=(o,i,—G),力=(G,o,—6),*=卜6,0,。卜

设平面ABD的一个法向量为比=(x,y,z),

m-AB=y-az=0

则有《令x=l,得y=g,z=l,则应=

in-AD=V3x-拒z=0

设平面ABF的一个法向量为历=(a,b,c),

n-AB=b-V3c=0

则有《，令c=l,得a=0,b=也,得方=(0,百,1卜

n-AF=—y[ia=0

__m-n42A/5

则cos<m,n>=7^^=--7==

\m\\n\2xV55

则平面ADB与平面ABF夹角的余弦值为工.

5

故选：B.

10.【答案】C

【解答】解：由题意正方形/3CQ的对角线AD=2夜，

则G（2,2,2行）,£（0,2,3行），

则GE=7（2-0）2+（2-2）2+（272-372）2=瓜,故A错误;

因为GZ=gx4&=2&，则0卜2,2,2啦），故8错误；

对于C,Z（0,4,2a）,尸（0.2,也），

则厉=（0,4,2行），砺=（0,2,3后）"=（0,2©,

所以况=2砺，

又O为三个向量的公共起点，所以。,£,尸,幺四点共面，故C正确;

由DE=正，得。（―1,3,3收），

则屈=（2,0,回，虎=（3,-1,-可

—•——■6+0-2yfl

贝Ijcos<CE,DG>=二：,

J6x2433

所以直线CE与直线DG所成角的余弦值为注，故D错误.

3

故选：C.

二、填空题（每小题5分，共30分）

11.【答案】见试题解答内容

【解答】解：因为5=（2,—1,3）,3=（—4,2,x）,且）〃B，

所以存在实数X使得

2=—4A

a=Ab即<—1=22

3=Ax

解得x=-6.

故答案为-6.

12.【答案】见试题解答内容

【解答】解：设要求的直线方程为：x-2y+m=0,

把点（一1,3）代入上述方程可得：-1—2x3+机=0,解得加=7.

要求的直线方程为：x-2j+7=0,

故答案为：x-2v+7=0.

13.【答案】见试题解答内容

【解答】解：设向量I石的夹角为0,

v5=(2,3,-1),=(-2,1,3)-

.cos9=展"=2x(—2)+3xl+(—l)x3=_2

"同啊722+32+(-l)2J(-2)2+l2+327，

由同角三角函数的关系，得sin，=Jl—cos?，=9,

7

以扇3为邻边的平行四边形面积为S=|司•忸卜也，=旧义旧义孚=6君，故答案为：675.

14.【答案】^0,--.

【解答】解:因为/(2,1,3),5(2,—2,6),C(3,3,6),

所以就=(1,2,3),方=(0,—3,3),

所以".方=-6+9=3，

AC-ABAB3(0,-3,3)L11)

所以向量/C在诟上的投影向量坐标为干斤,司=电.不厂=10，—

故答案为：^o,--

15.【解答】解：・直线/:二+上=l(a〉0/>0)经过点(1,2)

ab

121

—I——I,

ab

a+b—^a+bj\F-]=3H-----1-3+2^/2,当且仅当b-ypla时上式等号成立.

\ab)ab

■■直线在x轴，V轴上的截距之和的最小值为3+272.

故答案为：3+272.

16.【解答】解：由题意得：加=4分心+〃西乂，0,1],〃且0,1],所以尸为正方形5cC4内一点,

①当2=1时，丽=苑+〃函，即而=〃瓯,〃6[0,1],

所以尸在线段CG上，所以△487周长为48]+ZP+男尸，

如图1所示，当点尸在4,巴处时，B^+AP^B^+AP,,故①错误；

②如图2,当〃=1时，即而=/L五+瓦瓦，即瓦A=%^,Xe[O,l],

所以尸在81G上，Vp-AIBC=]S^AIBC•h，

因为51G〃5C5]G<Z平面4BCU,BCU平面45C,所以点尸到平面4BC距离不变，即力不变,

故②正确；

1—.1—.-.

③当彳=—时，即BP=—BC+juBB,,如图3,

22

河为4G中点，N为8C的中点，尸是“N上一动点，

易知当〃=0时，点尸与点N重合时，由于A48C为等边三角形，N为8c中点，

所以ZNJ_5C,又AA]LBC,AA]CAN=A,

所以5N,平面NAM4,

因为4Pu平面ZMW4，则尸，

当〃=1时，点尸与点M重合时，可证明出4〃，平面BCCdi，

而Wu平面5CG4，则即4尸，8尸，故③错误；

1—.—.1—.

④，当〃=5时，即第=450+588],如图4所示，。为A81的中点，£为CG的中点，

则尸为£>£上一动点，易知45,

若48,平面Ng尸，只需45,男产即可，

取用。1的中点厂，连接同尸，皮"

又因为4尸，平面BCC.B,,所以N/，必I,

若45，/珞，只需男尸，平面4所，即用尸，必即可，

如图5,易知当且仅当点尸与点E重合时，用尸，用故只有一个点尸符合要求，使得48,平面

典尸,故④正确.

故答案为：②④.

三、解答题（共50分）

17.【答案】⑴8x-3j-4=0；

(2)26x-4j-13=0.

【解答】解：（1）设8C中点。的坐标为（%,外）,

皿7—61-1+1八

则/==3，%=(一=0，

•.•8C边的中线/£（过点2（2,4）,£>1；,o］两点,

4-02^],即8%_3,_4=0；

AD所在直线方程为了一°=

2--

2

(2)♦.•8C的斜率左=412

7+613

13

：.BC的垂直平分线DE的斜率k=—

x2

直线DE的方程为J-O=y（xI,即26x—4y—13=0.

18.【答案】(1)V5;

(2)2；

(3)---.

4

【解答】解：(1)AB=AAl=2,AD=1,ZBAD=ZBAAX=ZDAA,=60°,

因为西=函+诟+函=—方+砺+而，

所以|西|=方+通+怒丁=^AB2+AD'+AA2-2AB-AD-2A^~-

1(1+2AD-AA,

而益•诙=|而||而|cos60°=2xlxg=l,

AB-AAX=|AB|•|^!|cos60°=2x2x~=2,

=|ZD|.|24；|COS60°=lx2x1=l,

所以|BDy|=^4+1+4—2x1—2x2+2xl=s/s,

即AD】的长度为君；

(2)因为NZ)=Z4cos60°=2x」=l,

2

所以4。AD,AD//BC,

所以

在中，BD=ylAD2+AB2-2ADABcos600=^l+4-2xlx2x1=73,

所以幺加+姐=452，

即BD1BC,

又因为4。c8。=。，

所以5C，平面45。，

而4台u平面4Ao,

所以

即AXB为4到直线BC的距离，

而AAX=AB=2,AxAB=60°,

所以三角形为等边三角形，即45=2,

即4到直线的距离为2;

（3）设而=4西，

则万.而=刀.卮=（无+而+加）•斤=（九斤一通一方）•几斤=卜系一通一次）二港

=[（2-1）28-2Z^-2D]-2（AB-Z^）

=2（A-1）AB2-（A-l）AB-AA^AAA^AB+AAA^-AD-AB+AD-^

=2^（2-1）X22-（22T）河•|同cos60。+Xx2?—画.画cos60。+|ZD|-|Z^|COS600

=24（2-l）-（22-l）x2x2x1+42-lx2x1+lx2x1=4分—22=41/l—,

当4=工时，

4

这时AP-CP的最小值为-』.

4

19.【答案】(1)证明见解答；

(2)(1)尸为尸£中点；(2)2.

【解答】(1)证明：在正方形©WDE中，AB//DE,

又AB史平面PDE,DEu平面PDE,

所以48〃平面尸£)£,

又48u平面46FG,平面4&FGC平面尸。£=人7,

则AB//FG；

7T

(2)解：(1)当厂为尸£中点时，有直线8C与平面45厂所成角为一,

6

证明如下：由24,平面48CDE,可得pJ.4E,

建立空间直角坐标系N-•砂z,如图所示:

则1(0,0,0),3(1,0,0),C(2,1,0),尸(0,0,2),

又少为PE中点，则尸(0,1,1)，元=(1,1,0),方=(1,0,0),箫=(0,1,1),

设平面48尸的一个法向量为五=(x，N，z),

n-AB=0x=0

则有〈—.，即〈人，令Z=l,则丁=一1,

n-AF=01N+z=0

则平面/跖的一个法向量为力=(O,T/)，

设直线BC与平面ABF所成角为a,

„,.।-6万IIn|11

则sina=cos<n,BC>=-----——产=一,

\n^BC\V2xV22

JT

故当厂为中点时，直线8C与平面ABF所成角的大小为一.

6

(2)设点〃的坐标为(M,v,w),

因为点〃在棱PC上，所以可设两=/正(0<4<1),

即(瓦,匕w-2)=2(2,1,-2),所以M=22,v=2,w=2-22,

因为为=（O,-1,1）是平面45PGH的法向量，

_

所以万•4//=0，即（0,151）,（22,2,2-22）=0,

2（422）—►f424｝

解得）=