2024-2025学年人教版七年级数学上册同步练习：有理数

第02讲有理数

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握有理数及其有理数的分类，能够熟练的判断有理数的类型

①有理数的认识

以及熟练的对其进行分类。

②有理数的分类

2,能够对有理数熟练的应用。

____________

国思维导图

--------------

有理数的定义

知识点01有理数的定义

1.有理数的相关概念：

有理数：整数与分数统称为有理数。

整数包含正整数、负整数、0

分数包含正分数与负分数。

自然数：o与正整数都是自然数。

非负数包含o与正数。非一整数包含正整数和o

知识点02有理数的分类

1.有理数按定义分类:

正整数

2.有理数按正负分类:

正整数

【即学即练1】

1.把下面各数填在相应的大括号里(将各数用逗号分开)：-18,3.14,0,2024,卫，80%,—,

52

5|,-(-7).

负整数集合{78,-1-51•••}

整数集合{-18,0,2024,-I-51,-(-7)…}

正分数集合{3.14,80%•••)

非负整数集合(0,2024,-(-7)•­■}

有理数{-18,3.14,0,2024,工80%,-I-5|,-(-7)•••}

5

【分析】根据正数，负数，整数，分数，有理数，以及无理数的概念解答即可.

【解答】解：：T-5|=-5,-(-7)=7,3.14=3-^-180%=4,

5U5

.•.这些数可按如下分类，

负整数集合{-18,-|-5|……}

整数集合{-18,0,2024,-|-5|,-(-7)……}

正分数集合{3.14,80%……}

非负整数集合{0,2024,-(-7)……}

有理数{-18,3.14,0,2024,280%,-|-5|,-(-7)........}.

5

故答案为：-18,-|-5|；-18,0,2024,-|-5|,-(-7)；3.14,80%；0,2024,-(-7)；{-

18,3.14,0,2024,卫，80%,-|-51,-(-7).

5

【即学即练2】

2.下列说法正确的是()

A.一个有理数不是正数就是负数

B.分数包括正分数、负分数和零

C.有理数分为正有理数、负有理数和零

D.整数包括正整数和负整数

【分析】根据有理数的分类进行解答即可.

【解答】解：A.有理数包括正数、负数和0,不符合题意；

B.分数包括正分数、负分数，不符合题意；

C.有理数分为正有理数、负有理数和零，符合题意；

D.整数包括正整数，负整数和零，不符合题意；

故选：C.

题型精讲

题型01有理数的认识

【典例1】下列各数中，是有理数的是()

A.&B.TTC.申D.

【分析】整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可.

【解答】解：V2,TT，玉后是无限不循环小数，它们都不是无理数；

3是分数，它是有理数；

7

故选：C.

【变式1】在1.5,-2,-X,-0.7,6,15%中，负分数有()

2

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据负分数的定义判断即可.

【解答】解：负分数有：色，-0.7,共2个，

2

故选:A.

【变式2】下列说法正确的是（）

A.自然数就是非负整数

B.正数和负数统称为有理数

C.零是最小的有理数

D.有最小的正整数，没有最大的负整数

【分析】根据有理数的定义：正数、负数和0统称为有理数，以及0和正整数属于自然数，没有最小的

有理数，最小的正整数是1,最大的负整数是-1即可求解.

【解答】解：/、自然数就是非负整数，是正确的，故符合题意；

8、正数、负数和0统称为有理数，是错误的，故不符合题意；

C、没有最小的有理数，是错误的，故不符合题意；

。、最小的正整数是1,最大的负整数是-1,是错误的，故不符合题意；

故选：A.

【变式3】下列说法正确的是（）

A.所有的整数都是正数

B.整数和分数统称有理数

C.0是最小的有理数

D.零既可以是正整数，也可以是负整数

【分析】根据有理数的分类，绝对值的意义，逐一判断即可解答.

【解答】解：/、所有的整数不都是正整数，还有负整数和0,故/不符合题意；

5、整数和分数统称有理数，故5符合题意；

C、0是绝对值最小的有理数，故C不符合题意；

零既不是正整数，也不是负整数，故。不符合题意；

故选：B.

【变式4】下列说法中正确的是（）

A.一个有理数不是正数就是负数

B.正整数与负整数统称为整数

C.正分数、0、负分数统称为分数

D.正整数与正分数统称为正有理数

【分析】根据整数、负数、正有理数、有理数的定义分别对每个选项进行判断，特别注意0.

【解答】解：有理数0既不是正数也不是负数，故选项/错误；正整数、0、负整数统称整数，故选项8

错误；正分数、负分数统称分数，0不属于分数故选项C错误；正整数、正分数统称正有理数，故选项。

正确.

故选：D.

【变式5】下列说法正确的个数是（）

①0是最小的整数；

②一个有理数，不是正数就是负数；

③若。是正数，则-。是负数；

④自然数一定是正数；

⑤一个整数不是正的就是负的；

⑥一个有理数不是整数就是分数.

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据整数包括正整数，0,负整数可以判断①⑤；根据有理数分为正有理数，0,负有理数可

以判断②；根据相反数的意义可以判断③；根据自然数包括0和正整数可以判断④；根据整数和分数

统称为有理数可以判断⑥.

【解答】解：因为整数有正整数也有负整数，所以0是最小的整数的说法是错误的，故①不正确；

因为0既不是正数也不是负数，但是有理数，所以一个有理数，不是正数就是负数的说法是错误的，故②

不正确；

因为正数的相反数是负数，所以若。是正数，则-0是负数的说法是正确的，故③正确；

因为0是自然数，但0既不是正数也不是负数，所以自然数一定是正数的说法是错误的，故④错误；

因为0是整数，但0既不是正数也不是负数，所以一个整数不是正的就是负的说法是错误的，故⑤错误;

因为整数和分数统称为有理数，所以一个有理数不是整数就是分数的说法是正确的，故⑥正确.

所以说法正确的个数是2.

故选：B.

题型020的认识

【典例11下列关于o的说法中错误的是（）

A.0是绝对值最小的数B.0的相反数是0

C.0是整数D.0的倒数是0

【分析】根据有理数中整数的定义，有理数的分类，绝对值的性质和相反数的定义即可作出选择.

【解答】解：A.正数的绝对值是正数，负数的绝对值是正数，0的绝对值是0,所以0是绝对值最小的

数，此选项说法正确；

A0的相反数是0,此选项说法正确；

C.整数包括正整数，0和负整数，0是整数此说法正确；

D0没有倒数，故0的倒数是0,此说法错误.

故选：D.

【变式1】课堂上老师要求就数“0”发表自己的意见，四位同学共说了下列四句话：①0是整数，但不是

自然数；②0既不是正数，也不是负数；③0不是整数，是自然数；④0没有实际意义.其中正确的个

数是（）

A.4B.3C.2D.1

【分析】分别依据整数的定义、0的性质、和0的意义进行判断即可.

【解答】解：

自然数中包括0,当然0也是整数，所以①③都不正确；

0既不是正数也不是负数，所以②正确；

而在实际生活中0具有实际的意义，如0℃,所以④不正确;

故正确的只有②，

故选：D.

【变式2】下列说法正确的是（）

A.0是正数B.0是负数

C.0不是自然数D.0是整数

【分析】按照有理数的分类填写:

ff正整数

整数|0

、负整数

有理数,

j正分数

分数，

［负分数

【解答】解：0既不是正数，也不是负数,是整数、自然数.

故选：D.

【变式3】零是（）

A.最小的整数B.最小的正数

C.最小的有理数D.最小的非负整数

【分析】根据0的特殊性，利用排除法进行选择.

【解答】解：没有最小的整数，N错误；

没有最小的正数，8错误；

有理数没有最大最小，C错误；

非负整数就是正整数或0,所以0最小，。正确.故选。.

【变式4】下列关于零的说法中，正确的个数是（）

①零是正数；②零是负数；③零既不是正数，也不是负数；④零仅表示没有.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据0的特殊含义，0既不是正数也不是负数，0的意义仅表示没有，得出结果.

【解答】解：既不是正数也不是负数，

故①②错误，

在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还有表示占位的意义，0还表示正整数与负整数

的分界等，故④错误;

故③正确，共1个，

故选：A.

题型03对有理数进行分类

【典例1】把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内：

-11,-9,0,+12,-6.4,-TT,-4%.

5

(1)整数集合：1-11,-9,0,+12…L

(2)分数集合：1工-6.4,-4%

5

(3)非负整数集合：10,+12…卜

(4)负有理数集合：1-11,3-9,-6.4,-4%…/

5

【分析】根据有理数的分类解答即可.

【解答】解：(1)整数集合：｛-11,-9,0,+12…｝;

(2)分数集合：｛且，-6.4,-4%…｝;

5

(3)非负整数集合：｛0,+12-｝；

(4)负有理数集合：｛-11,&,-9,-6.4,-4%-｝.

5

故答案为：(1)-11,-9,0,+12；

(2)'，-6.4,-4%；

5

(3)0,+12；

(4)-11,卫，-9,-6.4,-4%.

5

【变式1】把下列各数分别填入相应的大括号内：

-7,3.5,-3.1415,0,空，0.03,-3工，10,-三，12%

1722

整数集合｛-7,0,10,

正分数集合｛3.5,等，0.03,12%♦••)；

非正整数集合｛-7,3.5,0,迪，0.03,-3工，-A,12%­••｝；

1722

有理数集合｛-7,3.5,-3.1415,0,0.03,-3工，10,-―,12%…

1722

【分析】利用正整数、正分数、非正整数、有理数的定义填空.

【解答】解：整数集合｛-7,0,10,-A•••)；

正分数集合｛3.5,需,0.03,12%…｝;

非正整数集合｛-7,3.5,0,0，0.03,-A,12%-｝；

1722

有理数集合｛-7,3.5,-3.1415,0,—,0.03,-3工，10,-A,12%...｝.

1722

【变式2】把下列各数填在相应的集合中：

15,-工，0.81,-3,空，-3.1,-4,171,0,3.14,IT,IL

27

正数集合［15,0.81,牛,171,3.14,IT,L5--｝；

负分数集合(-3.1•••)；

非负整数集合115,171,0•••)；

有理数集合｛15,0.81,-3,半，-3.1,-4,171，0，3.14,L•

【分析】根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可.

【解答】解：正数集合｛15,0.81,竿171,3.14,n,1.&…｝;

负分数集合｛-/，-3.1…｝;

非负整数集合｛15,171,0-｝；

有理数集合｛15,-0.81,-3,与-3.1,-4,171,0,3.14,I./•｝•

故答案为：15,0.81,丝，171,3.14,IT,L&；-工,-3.1；15,171,0；15,-X0.81,-3,

722

争-3.1,-4,171,0,3.14,1."

17.【变式3】把下列各数分别填入相应的大括号内：

自然数集合｛0.10-1;

整数集合1-7,0,10,1；

正分数集合［3.5,丝0.03…｝；

非正数集合1-7,-3.1415,0,-3,，-0.2A■二微＜^｝；

有理数集合1-7,3.5,-3.1415,0,居，0.03,-3/，10,-0.方，-微…].

【分析】掌握各自的定义：自然数(大于零的整数)；整数(正整数、零和负整数)；有理数(整数和分

数的统称)

【解答】解：自然数集合：｛0，10…｝;

整数集合：｛-7,0,10,-A...);

正分数集合：｛3.5,迫，0.03-｝；

17

非正数集合：｛-7,-3.1415,0,-3工，-0.2©-匡…｝;

22

有理数集合：｛-7,3.5,-3.1415,0,乌0.03,-3工,10,-0.23--=…｝•

172乙

【变式4】把下列各数填入相应的大括号内：-13.5,0,+27，-A,孕，-10,3.14

57

(1)正数集合：彳+27,争3.14……｝

(2)负数集合：173.5,一生70……｝

5

(3)整数集合：[0,+27,-10……｝

(4)分数集合：173.5,-3华，3.14……｝

(5)非负整数集合：f0,+27……｝

【分析】利用正数，负数，整数，分数，以及非负整数定义判断即可•

【解答】解：(1)正数集合：｛+27,爷，3.14……)；

(2)负数集合：｛-13.5,-A,-10……)；

5

(3)整数集合：｛0,+27,-10……)；

(4)分数集合：｛-13.5,-A,丝3.14……｝；

57

(5)非负整数集合：｛0,+27……),

故答案为：(1)+27,丝,3.14；(2)-13.5,-生-10；(3)0,+27,-10；(4)-13.5,-当

755

坐，3.14；(5)0,+27

7

题型04对“非”字的有理数的理解

【典例1］在数-5.2,0,2,2011,-71,3.14中，非负整数的个数是（）

3

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据有理数的分类方法，可得：非负整数包括正整数和0,据此判断出在数-5.2,0,2，

3

2011,-71,3.14中，非负整数的个数是多少即可.

【解答】解：在数-5.2,0,2,2011,-71,3.14中，非负整数的个数是2个：0,2011.

3

故选：B.

【变式1】在+8,0,等4，2023,-5,0.26,11.3中，非负整数有3个.

【分析】非负整数包括正整数和0,据此即可求得答案.

【解答】解：+8,0,2023是非负整数，共3个，

故答案为：3.

【变式2】在有理数-3,0,2,J.,3.7,-2.5中，非负数的个数为（）

35

A.2B.3C.4D.5

【分析】根据大于或等于零的数是非负数，可得答案.

【解答】解：0,2,3.7,共3个，

3

故选：B.

【变式3】在-5,2.3,0,m五个数中，非负有理数共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】有理数即整数和分数，非负有理数即正有理数和0,据此即可求得答案.

【解答】解：2.3,0是非负有理数，共2个，

故选:B.

【变式4】有理数-3,0.618,与-3.14,2.718,-1,0,中，非正数的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根据非正数指的是负数与0解答即可.

【解答】解：有理数-3,0.618,—,-3.14,2.718,-1,0,《中，非正数为-3,-3.14,-1,

25

0,卫，共5个.

5

故选：C.

1.下列各数中，负整数是（）

A.3B.0C.-2D.-2.5

【分析】根据负整数的定义进行判断即可.

【解答】解：3是正整数，0既不是正数也不是负数，-2.5是分数；

-2是负整数；

故选：C.

2.下列四个有理数中，既是分数又是正数的是（）

A.3B.-3工C.0D.2.4

2

【分析】根据大于零的分数是正分数，可得答案.

【解答】解：/、是整数，故/错误；

B、是负分数，故3错误；

C、既不是正数也不是负数，故C错误；

D、是正分数，故。正确；

故选：D.

3.在3.14,殁，0,—,0.1010010001中有理数的个数有（）

73

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据有理数的概念进行求解即可.

【解答】解：在3.14,22,0,—,0.1010010001中有理数的有3.14,22,0,0.1010010001,共4个;

737

故选：D.

4.下列说法正确的是（）

A.0是最小的整数

B.任何数的绝对值都是正数

C.是负数

D.绝对值等于它本身的数是正数和0

【分析】根据有理数、绝对值，即可解答.

【解答】解：/、0是最小的整数，错误，因为整数包括正整数、0和负整数；

8、任何数的绝对值都是正数，错误，因为0的绝对值是0;

C、是负数，错误，例如。=-2时，”=2是正数；

D、绝对值等于它本身的数是正数和0,正确;

故选：D.

5.对于下列各数：-5,0,旦，-0.2,10%,8,其中说法错误的是（）

2

A.-5,0,8都是整数

B.分数有❷，-0.2,10%

2

C.正数有9,10%,8

2

D.-0.2是负有理数，但不是分数

【分析】根据有理数分类的相关知识逐项分析判断即可.

【解答】解：A.-5,0,8都是整数，该说法正确，不符合题意；

B.分数有旦，-0.2,10%,该说法正确，不符合题意；

2

C.正数有且，10%,8,该说法正确，不符合题意；

2

D.-0.2是负有理数，也是分数，本选项说法不正确，符合题意.

故选：D.

6.下列说法中，错误的是（）

A.所有整数都是有理数B.所有小数都是有理数

C.所有分数都是有理数D.TT不是有理数

【分析】整数和分数统称为有理数，据此逐项判断即可.

【解答】解：所有整数都是有理数，则/不符合题意；

无限不循环小数不属于有理数，则B符合题意；

所有分数都是有理数，则C不符合题意；

TT是无限不循环小数，它不是有理数，则。不符合题意；

故选：B.

7.从一批乒乓球中挑选4个球编号后进行称重检查，结果如下（超过标准质量的记为正数，不足的克数记

为负数，单位：g）,其中最接近标准质量的球是（）

编号1234

检查结果+0.02-0.01-0.05+0.04

A.1号球B.2号球C.3号球D.4号球

【分析】本题先求解各数的绝对值后，再比较绝对值的大小即可求得答案.

【解答】解:各数的绝对值分别为：0.02,0.01,0.05,0.04,

:.绝对值最小的是0.01,

:.最接近标准质量的球是2号球.

故选：B.

8.下列说法不正确的是（）

A.有理数包括正数与负数

B.所有的正整数都是整数

C.零既不是正整数，也不是负整数

D.整数和分数统称为有理数

【分析】根据有理数的定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数

统称为有理数.即可作出判断.

【解答】解：A.有理数包括：正有理数、0、负有理数，此选项说法错误，符合题意；

B、C、。选项说法都是正确的，不符合题意的.

故选：A.

9.下列说法正确的是（）

A.正数和负数统称有理数

B.0是整数，但不是正数

C.0是最小的有理数

D.整数包括正整数和负整数

【分析】根据有理数的分类进行判断即可.有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数

和负分数）.

【解答】解：/、正数、负数和0统称有理数.故本选项错误；

2、0既不是正数，也不是负数，但0是整数，故本选项正确；

C、0是最小的整数，不是最小的有理数，故本选项错误；

。、整数包括正整数、负整数和零.故本选项错误；

故选：B.

10.下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分

数统称有理数，其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】根据有理数定义及其分类解答即可.

【解答】解：①没有最小的整数，故①错误，不符合题意；

②有理数包括正有理数、0、负有理数，故②错误，不符合题意；

③非负数就是正数和0,故③正确，符合题意；

④整数和分数统称有理数，故④正确，符合题意；

故选：C.

11.在3,-0.01,0,-2,+8,v，-100中，负分数有1个.

【分析】根据负分数的定义即可得出结论.

【解答】解：在数3,-0.01,0,-2,+8,小，-100中，-0.01是负分数，共1个.

故答案为：1.

12.在-15,工，-0.23,0.51,0,7.6,2,-3,314%中，非负数有6个.

35

【分析】利用有理数的定义判断.

【解答】解：在75,工，-0.23,0.51,0,7.6,2,-3,314%中,

35

非负数有工，0.51,0,7.6,2,314%共计6个.

3

故答案为：6.

13.2.6，-0.010010001,it,-8-1,华，15,300%,其中正整数有a个，有理数有6个，贝i|a+6=

8

【分析】根据有理数的分类及定义求得〃，b的值，将其代入〃+6中计算即可.

【解答】解：2.R,-0.010010001,-8上，骂，15,300%是有理数，共6个，

。47

15,300%=3,是正整数，共2个，

则a—2,6=6,

那么a+6=2+6=8,

故答案为：8.

14.据介绍，我国计划2030年前实现中国人首次登陆月球，开展月球科学考察及相关技术试验.月球表面

没有大气层保温，昼夜温差非常大.面对太阳的一面温度可以达到零上127℃,记作+127℃,背向太阳

的一面温度可以达到零下183℃,记作783℃.

【分析】根据正负数的意义求解即可.

【解答】解：面对太阳的一面温度可以达到零上127℃,记作+127C,背向太阳的一面温度可以达到零

下183℃,记作-183℃.

故答案为：-183.

15.小明和小佳是同班同学.放学后，两人同时从学校大门处向相反方向回家，小明向北走了800加记作

“+800加”，小佳走的路程记作“-600m".这时两人相距1400m.

【分析】根据题意，因为他们行驶的方向相反，所以把两人各自行驶的路程相加即是两人相距的距离.

【解答】解：800+600=1400(m),

答：这时两人相距1400w.

故答案为：1400.

16.把下列各数填到相应的集合中.

1,-1,0.5,+7,0,-TT,-6.4,-9,且，0.3,5%,-26,1.010010001—.

313

正数集合：｛1,—,0.5,+7,旦，0.3,5%,1.010010001...........｝；

313

负数集合：｛-6.4,-9,-26

整数集合：彳1,+7,0,-9,-26…）；

分数集合：｛工，0.5,-6.4,且，0.3,5%…1.

-313

【分析】利用正数，负数，整数以及分数定义判断即可.

【解答】解：正数集合：｛1,A,0.5,+7,&,0.3,5%,1.010010001-｝；

313

负数集合：｛-TT,-6.4,-9,-26｝；

整数集合：｛1,+7,0,-9,-26）；

分数集合：｛工，0.5,-6.4,且，0.3,5%）.

313

故答案为：1,—,0.5,+7,且，0.3,5%,1.010010001-；

313

-it,-6.4,-9,-26；

1,+7,0,-9,-26；

工0.5,-6.4,&,0.3,5%.

313

17.将下列有理数填入图中相应的圈内：

【分析】利用有理数的分类，以及各自的定义即可得到结果.

【解答】解：如图：

18.近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师家买了一

辆新能源汽车.王老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以20初;为基准，超出记为正，不足记

为负），如表：

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

路程（hn）-3-4+20+7+35+23

（1）该汽车行驶路程最多的一天是星期六，这一天的实际行驶路程是55km.

（2）若该新能源汽车每行驶100加1耗电量为15度，每