2025广东省汕尾市高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025广东省汕尾市高考数学模拟试卷

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)

1.(5分)已知非空集合/=-lWxW2m},8={x,2-3x-4W0},且/U8,则实数〃z的取值范围是

()

A.[-1,0]B.[-1,2]C.[0,2]D.[1,2]

2.(5分)已知函数f(x)=x/nx-ad一号/,则"/(x)有两个极值”的一个必要不充分条件是()

A.-l<a<lB.-1<a<0C.-1<a<0D.0<a<!

3.(5分)已知定义在R上的偶函数/(x)满足/(x+3)=-/(x),若/(-1)=2,则/(100)=()

A.-1B.1C.-2D.2

4.(5分)已知向量a,b?两足|。|=2,网=3,a•b=0,则|2a—b|=()

A.V13B.V5C.5D.4

rySl'KLC

5.(5分)在△45。中，内角4,B,。所对的边分别为q,b,c,且42-52=56°,z=等，则---=

JsinB

()

A.2B.4C.6D.8

n

6.(5分)6知各项均为正数的数列{为}的前〃项和为Sn,%=Llgan+lgan+1=lg2,n£N*,则S10

=()

A.511B.93C.72D.41

/2

7.(5分)已知双曲线C：/一v方二l(a>0,Z?>0),直线与双曲线。交于M,N两点,直线y=-

b与双曲线。交于P。两点，若也见=夜|尸°|,则双曲线。的离心率为()

21%<Q

'—'g(x)=|x(x-2)I，若方程f(g(x))+g(x)-a=0的所有

{Inx,x>0,

实根之和为4,则实数。的取值范围是()

A.(1,+8)B.[1,+8)C.(-8,1)D.(-8,1]

二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分)

9.(6分)在区间(0,1)上，若，(x)>1,则下列四个图中，能表示函数y=/(x)的图像的是()

第1页(共18页)

yy

（多选）10.（6分）已知数列｛仇｝满足61=2,bn-bnbn+l=1,记数列｛为｝的前几项积为义,前〃项和为

Tn,贝U()

A.历025=-1

B.T(tn+\-T(tn=~1

C.=l(n>4)

S九—3

D-^2025^2025=-

（多选）11.（6分）如图，棱长为2的正方体/BCD-431cLDi中，点£,F,G分别是棱4D,DD\,CD

的中点，则下列说法正确的有（）

A.直线NiG与直线CiE为异面直线

1

B.直线N1G与平面4DD141所成角的正弦值为百

C.二面角-NC-田的平面角余弦值为1

9

D.过点3,E,尸的平面截正方体的截面面积为5

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.（5分）如图，在正方体/58-出囱。。1中，点”为棱。。的中点，记过点由与垂直的平面为

a,平面a将正方体分成两部分，体积较大的记为修，另一部分的体积为心，则

第2页（共18页）

V

1b

13.(5分)设函数/^)=@-0)历3+6),若应_¥>0,且附>0,则一+一的最小值为___________________.

aba

3476

14.(5分)已知多项式(x+2)(x—l)=+l)+GL2(X+l)+…+a7{x+1)+ct8,贝！］ay+as

四、解答题（本题共5小题，共70分）

15.（13分）数列｛斯｝满足曲=1,即+1=3斯+4,“6N*.

（1）｛所｝的通项公式；

（2）bn=（。2〃+2）10g35+2）,求数列｛为｝的前〃项和以.

16.（15分）已知/'（x）=sin久cos比一gCOS2JC+亨.

⑴求/（X）在［0,会上的单调递增区间；

（2）已知锐角△/BC的内角/,B,C的对边长分别是a,b,c,若/（C）=0,c=2,求△43C的面

积的最大值.

17.（15分）如图，在直三棱柱48C-//C1中，ABLBC,E,尸分别为棱4。，8c的中点.

（1）求证：Ci尸〃平面4BE；

（2）求证：平面平面BCCiBi；

（3）若/B=BC=44i=2,求二面角E-AB-C的余弦值.

18.（17分）2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该

地120家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图：

第3页（共18页）

（1）确定a的值，并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数）；

（2）按专项贷款金额进行分层抽样，从这120家中小微企业中随机抽取20家，记专项贷款金额在［200,

300］内应抽取的中小微企业数为m.

①求m的值；

②从这加家中小微企业中随机抽取3家，求这3家中小微企业的专项贷款金额都在［200,250）内的概

率.

°50100150200250300专项贷款金额/万元

/y2--^/2、

19.（17分）已知椭圆C：3+逅=1（其中a>b>0）的离心率为77,左右焦点分别为尸1（-1,0）,F?

a"配2

（1,0）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点为作斜率为左的直线与椭圆C交于不同的4,2两点，过原点作的垂线，垂足为。.若

点。恰好是人与4的中点，求后的值.

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2025广东省汕尾市高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1.（5分）已知非空集合/={冲力-8={X|X2-3X-4W0},且/U2,则实数机的取值范围是

A.[-1,0]B.[-1,2]C.[0,2]D.[1,2]

【解答】解：8={x|x2-3x-4W0}={x|-1WXW4},

因为非空集合N={x|〃z-l〈xW2%},AUB,

rn—1<2m(m>—1

所以2zn<4,所以所以0WMW2,

,m-1>—1Im>0

所以冽的取值范围为：[0,2].

故选：C.

2.（5分）已知函数人支）=久仇久—a/—则V（x）有两个极值”的一个必要不充分条件是（）

111

A.-\<a<\B.-4<a<0C.-2VaVOD.0VaV讶

【解答】解：f（x）的定义域为（0,+8）,则，（％）=lnx+l-2ax-xf

因为/（x）有两个极值，所以/（x）=0有两个不等的实数解,

由/(x)=lnx+\-2ax-x=0,得a=",

人,、lnx+1—x

令g(%)=—7?—,y=

2x(i—1)—2(Znx+l—%)——Inx

则g3

(2%)22%2'

当0<x<l时，g'(x)>0,当％>1时，g'(x)<0,

所以g（x）在（0,1）上递增，在（1,+8）上递减,

因为。（久）=小圻=带+/+，g⑴=0,

_1

所以当x—O时，g（x）--8,当苫一+8时，g（尤）7―-

所以g（x）的图象如图所示,

第5页（共18页）

O\

下「吧一一

1

由图可知当-2VaVO时，y=a的图象与gG)的图象有两个不同的交点，即/(x)有两个极值，

因为｛a|-/VaVO｝是的真子集，

所以“/G)有两个极值”的一个必要不充分条件是-

故选：A.

3.(5分)已知定义在R上的偶函数/(x)满足/(x+3)=若/(-1)=2,则/(100)=()

A.-1B.1C.-2D.2

【解答】解：•••函数/(x)满足/(x+3)=-/(x),

：.f(x+6)=-/(x+3)=/(x),

函数/(x)的周期为6,

又,：f3为偶函数，

：.f(1)=/(-1)=2,

1V(100)=/(6X16+4)=/(4)=-/(1)=-2.

故选：C.

T—TTT—T7

4.(5分)已知向量a,b满足|。|=2,\b\=3,a•b=0,则|2。一切=()

A.V13B.V5C.5D.4

TTTT

【解答】解：因为|a|=2,网=3,a-b^O,

TT->->TT

所以|2a—b\2=4a2—4。.b-\-b2—25,

TT

所以|2a—b|=5.

故选：C.

Sl'KLC

5.(5分)在△45。中，内角4,B,。所对的边分别为q,b,c,且q2-b2=5bc,A=则-.二=

JsinB

()

A.2B.4C.6D.8

【解答】解：因为a2-b2=c2-2bccosA=c2+bc=5bc,

第6页（共18页）

sinC

所以c=46,所以一式=4.

sinB

故选：B.

n

6.(5分)已知各项均为正数的数列｛斯｝的前n项和为无,%=1,lgan+lgan+1=lg2fnN*,则Sio

=()

A.511B.93C.72D.41

n

【解答】解：:国册+lgan+1=lg2,

・・Iga九a九+i—

n

・・ctnctn+i=2,

Q2=2,Q3=2,44=4,45=4,。6=。7=8,Q8=〃9=16,410=32,

则810=1+2(2+4+8+16)+32=93.

故选：B.

7.（5分）已知双曲线C靛一方二l（a>0,6>0）,直线与双曲线。交于M,N两点,直线y=-

6与双曲线。交于P,。两点，若心见=鱼|尸°|,则双曲线。的离心率为（）

/y2%2公

【解答】解：将歹=。代入/一记=1，得了■一记=L

即/=。2+4=吗@1,

b乙b乙

解得第N=一XM=*'b2+7,

所以|MN|二竿"2+出,

%2y2%2

将y=-b代入—记=1，得-J=2,即/=2〃2,

解得久P=—XQ—V2a,

所以|PQ|=2V2a,

因为|MN|=d^|PQ|,所以|皿2=2|尸02,

4a2

所以《+a2)=16a2,=3,

所以双曲线C的离心率为e=

故选：A.

第7页（共18页）

2Xy<o

'—g(x)=|x(x-2)I，若方程f(g(x))+g(x)-a=0的所有

{Inx,x>0,

实根之和为4,则实数。的取值范围是()

A.(1,+8)B.[1,+°°)C.(-8,1)D.(-°°,1]

【解答】解：令f=g(x),

当a—1时，方程为f(?)+t-1=0,即/(f)=1-3

作出函数y=/(t)及y=1-t的图象，

由图象可知方程的根为/=0或f=l,即|x(x-2)|=0或|x(x-2)|=1,

作出函数g(x)=|x(x-2)|的图象，结合图象可得所有根的和为5,不合题意，故错误;

当a=0时，方程为/■(力+f=0,HP/(O--t,

由图象可知方程的根即|x(x-2)尸怎(0,1),

结合函数g(x)=|x(x-2)|的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4,满足题意，故/错误.

故选：C.

二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分)

第8页(共18页)

9.（6分）在区间（0,1）上，若，（x）>1,则下列四个图中，能表示函数y=/（x）的图像的是（）

【解答】解：根据题意，在区间（0,1）上，若，（X）>1,

在函数/（X）上任意一点切线的斜率都大于1,

分析选项，/符合这个特点.

故选：A.

（多选）10.（6分）已知数列｛加｝满足加=2,bn-bnbn+i=i,记数列｛6"｝的前〃项积为S”前〃项和为

Tn,则()

A.62025=-1

B.Tf>n+\T(m~1

裂一=l(>4)

c.n

3九一3

D・72025s2025

,,1

【解答】解：已知数列｛为｝已足加=2,bn-M«+1=1，可得6"+1=1-瓦,

1111

则力2=1一万=2，=1一瓦=—L匕4=1一耳=2=61，

所以数列｛仇｝是以3为一个周期的周期数歹

对于/项,62025=63=-1,A项正确;

对于8项,76"+1-Tf,n=bf>n+X=b\=2,B项错误;

1

对于C项,任意相邻三项均在一个周期内，则"-2%-也=2x/x（-1）=一1,。项错误;

7n9q12n12025

对于。项,72025=yX(2+讶—1)=2'$2025=[2XX(-1)]3=-1,所以T2025s2025=一

存T语

—2025,。„项正确.

第9页（共18页）

故选：AD.

（多选）11.（6分）如图，棱长为2的正方体/8CD-/1B1C15中，点£,F,G分别是棱/£>,DDx,CD

的中点，则下列说法正确的有（）

A.直线4G与直线Ci£为异面直线

1

B.直线NiG与平面/DDi/i所成角的正弦值为百

1

C.二面角G-NC-81的平面角余弦值为百

9

D.过点3,E,9的平面截正方体的截面面积为］

【解答】解：对于4,连接/Ci,AC,则ZCC1/1为矩形，则ZC1〃/C1,

而点£,G分别是棱ND,CD的中点，HEG//AC,：.EG//A\Cx,

则出，E,G,G四点共面，故直线NiG,GE不是异面直线，/错误；

对于8,由于平面故NG4D即为直线/1G与平面NDDi/i所成角,

2

而。G=l,A1D=2V2,所以&G=JAD+G£>2=J（2V2）+1=3,

nr1-1

故siTiZ«GZ］。-ArB正确；

对于C,连接3。交/c于点。，连接DO,BiO,

因为DDi_L平面/BCD,/Cu平面/BCD,

故/C_LOD1，5LACLBD,DDi^BD=D,DD\,BDu平面。。囱,

故NC_L平面。1031,

即ZDiOBi为二面角D\-AC-B\的平面角,

又。1/=2近，小。=/。=22+(V2)2=V6,

22

D1O+B1O-(D1B1)2_12-8_1

故COSNII正确;

DOB=IxT=3'C

对于。，连接/Di,则M〃/。1,ADi//BCi,

1

：.EF//BC\,EF—BQ,

第10页（共T8页）

则梯形所C8即为过点8,E,歹的平面截正方体的截面,

而EB=FC1=4,EF=V2,£B=2A/2,

故等腰梯形EFCxB的高为J（代尸—（吗也J=挈，

,1I-/-3V29

故等腰梯形EFC\B的面积为5x（V2+2-\/2）x—^―=

9

即过点3,E,尸的平面截正方体的截面面积为5,。错误.

故选：BC.

AC1

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.（5分）如图，在正方体N2CD-/i2iCb0i中，点M为棱C。的中点，记过点为与/M垂直的平面为

V17

a,平面a将正方体分成两部分，体积较大的记为V,另一部分的体积为VA＞则:•

%7

【解答】解：如图，分别取。C,2C中点E,F,又点M为棱CG的中点,

则易得：.E,F,Bi,£）i四点共面,

第11页（共18页）

一

又tanZMBC=tanZFB\B=小1

:./MBC=NFBiB,又NFBiB+/BFBi=9Q°,

AZMBC+ZBFBi=90°,：.BiF±BM,

又AM在右侧面内的射影为BM,

：.根据三垂线定理可得AMLBxF,

同理可得又B\F,。出匚平面£7吆1。，

平面EFBiDi,，平面a即为平面EFBiDi,

又平面a将正方体分成两部分，体积较小的体积为三棱台EFC-D1B©的体积，

设该正方体的棱长为2,

111Fi7

则VA=VEFC_D1B1C1=fx(|xlxl+^x2x2+J|x2)x2=^

又该正方体的体积为23=8,

平面a将正方体分成两部分，体积较大的体积%=8-•1=¥，

17

.y~

••以—17—7•

_17

故答案为：—•

1b

13.(5分)设函数/(x)=(X-Q)In(x+b),若/(x)20,且/>0,则:+一的最小值为

aba

2V2+2.

【解答】解：由题意可知：/(x)的定义域为(-6,+8),

令％-a=0,解得％=4;令In(x+b)=0,解得x=l-b；

则当(-6,1-b)时，In(x+b)<0,故x-aWO,所以1-6-aWO；

当xE(1-b,+°°)时，In(x+b)>0,故所以1-b-aNO,

故1-6-a=0,即a+b=1,

,,i1b(a+b)2ba2+2ab+b2ba2b「

当ab>0时，则一+—=-—―+—=-----;----+-=-+—+222迎+2,

abaabaababa

当且仅当q=2—鱼，6=近一1时，等号成立.

故答案为：2V2+2.

476

14.(5分)已知多项式(X+2>(%—I)=at(x+I)+a2(%+l)4--Fa7(x+1)+他，则〃7+以=32.

【解答】解：根据题意,多项式(％+2)3(%—1)4=a^(x+I)7+。2(%+1)6+…+。7(第+1)+

37

设t=x+\,则(t+l)(t—2)4=att+a2t6+—卜a7t+a8,

第12页（共18页）

令t=0,

贝iJ（0+1）3（0-2）4=16=。8,

又（什1）3的展开式中一次项为C就=33常数项为1,

则（「2）4的展开式中一次项为《（-2）3t=-323常数项为16,

贝IJ07=3X16-32=16,。7+。8=16+16=32.

故答案为：32.

四、解答题（本题共5小题，共70分）

15.（13分）数列｛即｝满足ai=l,即+1=3即+4,"6N*.

（1）｛斯｝的通项公式；

（2）bn=（。2"+2）log3（即+2）,求数列｛6”｝的前〃项和6.

【解答】解：（1）数列｛an｝满足＜71=1,即+1=3即+4,

整理得％+i+2=3(%+2),nGN*,又见+2=3,

即皿出

=3（常数）,

%i+2

所以数列｛斯+2｝是以3为首项，3为公比的等比数歹!J.

故%+2=3-371-1=3n,

整理得册=3"-2.

n

(2)由于0n=3—>2,所以。=(a2n+2)Zog3(an+2)=M•9%

所以=1-9+2-92+-+n-9n①，

23n+1

9Tn=l-9+2-9+--+n-9②,

①-②得：-87\=(91+92+…+9n)—ri•9n+1=9(窘1)_n.9"+1,

诉I、IT_加9计19计1—9

所以—864,

16.(15分)已知/(久)=sinxcosx-V^cos2%+学

⑴求/(x)在［0,会上的单调递增区间；

（2）已知锐角△NBC的内角/,B,C的对边长分别是a,b,c,若-C）=0,c=2,求△48C的面

积的最大值.

F511+COS2K-y/3

【解答】解：(1)因为f(%)=sinxcosx-43COS2X+号=V3*-------+—

=^-sin2x—第cos2x=sin(2x—号)，

第13页（共18页）

函数的单调递增区间满足：—5+2/C7T42%—称工5+2/CTT(左EZ),

解得/C7T—%+ku(左EZ),

71

因为xE[O,5],

令k=0,得一森工工<>^,

人,117F1771

令k=l,得三-<X<0

所以/(X)在xe[0,会上的单调递增区间是[0,驾];

(2)由(1)可得f(C)=sin(2cT)=0,

所以2c—g--kit(k&Zj),得C=dH—keZ,

在锐角△/△(』，可得C屋，

百

由余弦定理。2=。2+62-2Q6COSC22Q6-2。6・飞-=(2—V3)ab,当且仅当时取等号，

又因为c=2,

可得ab<4(2+V3),

所以S^ABC=^absinC=^ab<2+V3,

故△48C的面积的最大值为2+百.

17.(15分)如图，在直三棱柱/3C-4B1C1中，ABLBC,E,尸分别为棱4。，8C的中点.

(1)求证：CF〃平面/2E；

(2)求证：平面/3£_L平面8CC181；

(3)若/2=2C=44i=2,求二面角£-48-C的余弦值.

【解答】解：(1)证明：取48的中点

因为9分别为棱3c的中点，

所以板〃/C,MF=%C,

又NC〃/Ci,AC=AiCi,E为4C1的中点,

第14页(共18页)

所以MF〃EC1,MF=EC\,

所以四边形MFNE是平行四边形，

所以MEWC1R

XCiFCffiABE,AffiC®ABE,

所以CiF〃面4BE.

(2)证明：因为三棱柱NBC-/L81cl为直三棱柱，

所以2历_1面48。，

又ABu面ABC,

所以

又AB上BC,BB\CBC=B,BCC\B\,BCc.\^BCC\B\,

所以48上面2CC121，

又A8u面/BE,

所以面/2£_1面2。。囱，

(3)取/C的中点G,连接EG,

因为M为Z8的中点，

所以MG〃8C,

又AB上BC,

所以MG_L48,

又直三棱柱的几何特征可得£GJ_面ABC,

又ABu面/3C,

所以£G_L48,

又MGCEG=G,MGc®EMG,EGu面EMG,

所以/8_1面£儿心，

又EMu面EMG,

所以ABLEM,

所以二面角E-/B-C的平面角为NENG,

因为AB—BC—AAi—2,

所以MG=1,EG=2,

在RtAEGAf中，ME=y/EG2+MG2=Vl2+22=V5,

第15页(共18页)

1_V5

所以cos/£A/G=方=亏'

V5

所以二面角E-AB-C的余弦值为

18.（17分）2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该

地120家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图:

（1）确定。的值，并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数）;

（2）按专项贷款金额进行分层抽样，从