2024-2025学年天津某中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津一中高三（上）开学数学试卷

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.集合力={x|-1<x<3},B={-2,-1,0,2,4},则（CR4）nB=（）

A.{-2,-1,4}B.{-1,2}C.{-2,4}D.0

2.设xeR,贝!J"log?久<1"是+x—6<0"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.函数y=（2x-s讥龙）•2-因的图象可能是（）

4.某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方

图如图所示，则下列说法正确的是（）

A.频率分布直方图中a的值为0.004

B.估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75

C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80

D.估计总体中成绩落在［60,70）内的学生人数为150

5.已知小，71为两条不同的直线，a,0为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.mua,riua,m//pfn//p=>a//p

B.n//m,n1am1a

C.m1a,m1n=>n//a

D.a//S，znua,九u£=m//n

-1

6.已知？。=仞2,b=lg(Zn2),c=In-,贝！Ja,b,c的大小关系是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

7.将函数/(x)=sin2x图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变，再将所得的图象向右平移令个

单位长度，得到函数9(©的图象，则()

A.历(初的最小正周期为513.9(久)的图象关于直线尤=答对称

C.gQ)在(-/向上单调递增D.g(x)的图象关于点向,0)对称

8.抛物线/=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线《一号=1的渐近线相交于4、B两点，若AABF的

周长为4，1,贝阴=()

A.2B.2/2C.8D.4

9.如图，过圆。外一点P'作圆的切线P'4P'B,切点分别为4,B,现将APTIB沿4B折起到APAB,使点P

1BD1

A.2-2-

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.已知i是虚数单位，化简粤的结果为.

11.二项式(/-2)5的展开式中含工的系数为—.

12.已知实数a>0,b>0,a+b=l,则2。+2b的最小值为

13.袋子中装有n个白球，3个黑球，2个红球，已知若从袋中每次取出1球,

N

取出后不放回，在第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为

I，贝切的值为—，若从中任取3个球，用X表示取出3球中黑球的个数，则\X

随机变量X的数学期望E(X)=—.'

14.如图，在边长1为正方形力BCD中，M,N分别是BC,CD的中点，则祠•

AC=，若前=4前+〃丽，贝1」4+“=.力'

15.已知函数/⑶={1nHi'"(J。，则«(!>)=；若/⑺在尤6(a,|)既有最大值又有最小值，则

实数a的取值范围为.

三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题12分)

△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,且73(。？+c?—/)=2bcs讥4.

(I)求角B的大小；

(II)若cosA=],求sin(24—B)的值.

17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—2BCD中，底面48CD为矩形，PD1平面ABC。，AB=4,PD=AD=2,点E在线段

4B上，S.AE=^AB.

(I)求证：CE1平面PBD；

(II)求直线P4与平面PCE所成角的正弦值；

(III)求平面8CE与平面PCE的夹角的余弦值.

18.(本小题12分)

已知函数/(久)—ex+ax(aGR),g(x)=ln(x+1).

(1)当a=1时，求函数在点(0,1)处的切线；

(2)若/(久)>1一9(久)对任意的万£[0,+8)恒成立，求实数a的取值范围.

19.(本小题12分)

已知椭圆C；今+方=l(a>6>0)的禺心率为右焦点为F(2,0).

(1)求椭圆方程；

(2)过点F的直线/与椭圆交于4B两点，线段4B的垂直平分线与直线x=3交于点C,△ABC为等边三角

形，求直线/的方程.

参考答案

1.71

2.A

3.C

4.0

5.B

6.C

7.C

8.X

9.D

10.1+5i

11.-270

12.272

13.2?

14。一目

2**5

15.—1；；[-3,-1]

16.解：(I)由余弦定理炉—a2+c2-2accosB,则a?+c2—b2=2accosB,

又，^(a2+c?—炉)=26cs出4,所以2，^accosB=2bcsin4,BP-\A3acosB=bsinA,

由正弦定理可得4cosB=sinBsinA,因为sinA>0,

所以CcosB=sinB,则=又0<B<兀，所以B=?

(II)因为cos4=I，0<X<y,所以sinA=V1-cos2X=有二

所以sin2a=2sinAcosA=2x1X,cos2A=2cos2A—1=—，

所以sin(24—B)=sin2AcosB—cos2AsinB=X£+：X空=

9292彳，l？o呼

17.(/)证明：PD1平面4BCD,CEu平面

P

ABCD,：.PDICE,•••AB=4,AE=^AB,

4

.■.AE=3,BE=1,.•.黑=黑=2,ARt△

ADBE

CBEsRtABAD,

BD1CE,PD_LCE,PDDBD—D,y

CE_L平面PBD,

(II)解：•••PD1平面力BCD,4Du平面

ABCD,CDu平面ABCD,

：.PD1AD,PDLCD,•••ABC。为矩形，AD1CD,

AD,CD,PD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

则C(0,4,0),P(0,0,2),E(2,3,0),4(2,0,0),

~pc=(0,4,-2),CE=(2,-1,0),

设平面PCE的一个法向量为元=(x,y,z),

则E至=2X7=0,令>1,贝物=2,z=4,

平面PCE的一个法向量为元=(1,2,4),

又西=(2,0,-2)-

设直线P4与平面PCE所成角为8,

.八,，一、।I同画|2-8|742

stnd=\cos<PA，n>1=南通=商不反=年；

(III)vPD_L平面ABCD,取平面BCE的法向量为沅=(0,0,1),

rnrl一疗rn>>—nm—4—4V21

则rcnoQs<m>一哂—-

所以二平面BCE与平面PCE的夹角的余弦值为笔1

18.解：(1)当a=l时，/(%)=?*+%,ff(x)=ex+1,

所以尸(0)=e°+l=2,故/(%)在点(0,1)处的切线为y—l=2%,即2%—y+l=0.

(2)/(%)>1—g(x),即e*+a%+In(%+1)—1>0在%E[0,+8)上恒成立，

设h(%)=ex+ax+ln(x+1)—1,注意到h(0)=0,

11

/iz(x)=ex+a+up令(p(x)—//(%)=e*+a+二p

则“(%)=ex------^在汽G[0,+8)为增函数，且d(0)=0,

(%+1)

所以(//(%)>0恒成立，即0(%)=h'(x)=ex+a单调递增,

其中0(0)=九'(0)=。+2,

若。之一2,则伊(%)=/(%)之0恒成立,此时h(%)单调递增，又%(0)=0,所以h(x)>。恒成立,

即短+a%+In(%+1)—1>0在汽G[0,+8)上恒成立，即结论成立；

若a<—2,则0(0)<0,

又以ln(-a))=〃(ln(-a))=0皿-。)+a+>°，

故由零点存在性定理可知，在(0,ln(—a))内存在久。，使得9(&)=0，

当％E(O,%o)时，0(%)="(%)<0,所以九(%)单调递减，又九(0)=0,

所以当％e(O,%o)时，九(%)v0，即f(%)<1-g(%),不合题意，舍去；

综上：实数a取值范围是[-2,+8).

19.解：(1)由题意可得e=；=*,c=2,解得。=喝，

由Z?2=小一。2,...按=2,则椭圆C的方程为土+斗=1.

(2)当直线为%轴时，易得线段的垂直平分线与直线％=3没有交点，故不满足题意；

当48所在直线的斜率存在且不为无轴时，设该直线方程为y=k(x-2)(/c,力0),A(x1,y1),B(x2,y2),

y=fc(x—2)

联立％2y2,消去y可得(3/+1)%2一]2忆2%+12々2一6=0,

匕+彳=1

22

4=144k4-4(3fc+l)(12fc-6)=243+1)>o,

所以久】+比2=黑'/比2=暮'