跨阶同构-高考数学复习压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题17跨阶同构

【方法点拨】

1.指对形式同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题

2.跨阶同构的几个关键环节：

(1)指对各一边，参数是关键，凑形是难点.

(2)凑形的常用方法：为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改

头换面”，常用的方法有：彳=6味xe'e1n*+'、%V=e21nY+x>—=e-taj+x>lnx+lna=lnox>

X

Inx-1=In—,有时也需要对两边同时加、乘某式等.

e

3.常见同构式：

(1)xlnx与％e"型：xlnx=Inxelnx,xex=;

(2)无+lnx与x+e"型：x+lnx=lnx+^Inx,x+ex=einx+ex.

v.y.

——4—

—1

\—3-y=旄光——3-

y=ex-x

\/—2-

—2-T-1

----i-

—1/函数极值点/

函数极值点)

-3-2-1O*4=:H~~~

-1-

-----'N

(0,1)—2-1T

--3-

-3

―4-—M-

【典型题示例】

例1（2022•江苏天一中学期末•16）已知函数/（%）=〃/In%（〃。0）,若对于任意

xe（O,l）,/（九）＜/+行口。恒成立，则实数〃的取值范围是.

【答案】A

【解析】/(x)<x2+xln6z,即〃e"lnx<%2+1in〃

npxInx

两边同时除以%得-------<%+lna

x

…,Inxx+ln〃Inxx+]naInex+inaInaex

两边同时除以XZ得I=——<———,即Qn——<———=---------=——

xaexaeaeae

InY

设函数g(%)二——，易得g(X)在(。/)单增

X

1ex

所以x<uex,易知〃>0,故一<—

ax

XX

设/z(%)二一,易得一>e

XX

所以一We,故“2—,选A.

ae

例2(2022•江苏省G4(扬州中学、苏州中学、盐城中学、常州中学)高三上学期12

月阶段检测)若不等式2e'—2>—Hn(x+l)+(a+2)x对x£(0,+刃)恒成立，其中e为自然对

数的底数，则实数〃的取值范围为

A.(—co,2)B.(—oo,2]C.(2,+co)D.[2,+co)

【答案】B

【分析】运用同构对不等式进行变形，使得两边“结构相同”，由于式子中含有以ln(x+l)

及关于元的一次式，故应考虑“跨阶同构”，即对不等式变形时，应使得不等式两边一边含

e\另一边含In(x+1).

【解析】对2e*—2>—qln(x+l)+(a+2)x变形得：2ex~ax>2(x+1)~aln(x+1)

一方面，2ex—ax=2^c—aInex,

所以问题转化为2e%—〃Ine*>2(x+1)—aln(x+1)对x£(0,+oo)恒成立

又因为e^Ax+l,设丸x)=2e%—〃x,则危)在(0,+刃)为增函数

故/(%)=2铲一〃三0恒成立，故“W2.

例3已知函数/(%)=ae"T-Inx+lna,若/(%)之1,则。的取值范围是.

【答案】«>1

【解析】由/(%)=ae"T-Inx+lnaN1移项得：aex~l+\na>lnx+l

(说明：将变量移至一边的原则进行变形)

Bp^a+x-l+]na>inx+l,两边同时加(x—1)^^a+x~l+x+lna-l>]nx+x

(说明：系数升指数、按左右结构相同的原则进行变形)

即+(x+lntz-l)>lnx+"

设g(x)=x+e",贝ijgXx)=l+e*>0,所以g(x)单增

所以lna+九一1之Inx,BPx—Inx+lna-1>0

设〃(x)=x-lnx+lna-l,则"(元)=1一L所以〃(x)在(0,1)单减，在(1,+(»)单增，

X

所以=〃⑴=lna-l>0,所以aZl.

点评：

对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两

边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数.

例4设a,b都是正数，若aea+i+(其中e是自然对数的底数)，则()

A.ab>e；B.b>ea+1；C.ab<e；D.b<ea+1.

【答案】B

【解析】由已知aea+i+b<61nb移项整理得aea+i<bln2,

e

为了实现“一边一个变量”，两边同时除以e得aea<2inL

ee

为了实现“两边结构相同”，对左边“降阶”得ae°=e。•lne0

故e。•Ine。V,In，(#)

ee

设/(%)=%•In%,(#)即为/(?。)<

Vtz>0,：.ea>l

V6(lnb—l)>0,b>0,/.lnb>l,故b>e,->1

e

当％>1时，/'(%)=14-lnx>0,/(%)单增

：.ea<即e0+1<b,选R

e

例5已知函数/(x)=a/+ln，——2(a>0),若了(尤)>0恒成立，则实数。的取值

x+2

范围是.

【答案】(e,+8)

【解析】Vf(x)=aex+ln---2>0

%+2

ex+lnfl+lna>ln(x+2)+2

两边加上x得*瓜“+(尤+In«)>In(尤+2)+(x+2)=In(九+2)+eln(x+2)

设g(x)=x+e"则其单增

x+In6Z>ln(x+2),即Ino>ln(x+2)-x

1x+[

令人(x)=ln(x+2)-x,贝ijk'(％)=--------1=----------

x+2x+2

•••/(X)的定义域是(—2,+8)

.,.当xe(—2,—l)时，k'(x)>0,女(x)单增；当xe(—l,+co)时，k'(x)<0,女(x)单减

...当％=—1时，©X)取得极大值即为最大值，且左(x)1mx=左(一1)=1

，In。>左(x)max=左(一1)=1,a〉e即为所求.

例6设实数4>0,若对任意的*6(0,+8),不等式6方一v20恒成立，贝小的取值范

围是•

【答案】E，+8)

【解析】由e&一半之0得e"%>卓，即Axu">Inx'/九”对任意的％e(0,+8)恒成立.

设/(t)=贝行(2%)>/(仇%)对任意的久6(0,+8)恒成立，

又尸(。=tet+/=(《+l)ef,

・••当tv—i时，/(t)<o,/«)单调递减；当「>一1时，r(t)>o,/«)单调递增.画出图

象为

①当X时，tr=Ax>0/《2=ln%>-l,此时函数f(t)单调递增，；♦/(t1)>f(。)，

BP/(Ax)＞/(仇%)，所以4%＞仇%对任意的％e(0,+8)恒成立，・•・/1＞等对任意的％e(0,

+8)恒成立.

设g(x)=等，x>0,则g，(x)=W^,则当0<%Ve时，“(%)>0,g(%)单调递增；当

x>e时，“(%)<0,9(%)单调递减，=<9(e)=，>:

②当0V%V，时，G=2%>0,t2=Inx<-1,

由f(0)=0-e°=0,结合函数f(t)的图象可得/(G)>0>/(t2)，BP/(Ax)>f(lnx)

对任意的Xe(0,+8)恒成立.

综上可得a之，.,.实数a的取值范围是［卜+8).

【解析二】由e"“一铮之0得〃*>竽，即Axu双>Inx1/九”对任意的汽G(0,+8)恒成立.

当％G(0/1］时，总有人%e'%>0,xlnx<0.

只需考虑%>1的情形，亦即Axe'%>Inx■elnx.

设/1(t)=tet(t>0),则尸⑴=tel+e*=(t+l)ef>0,

/(t)在te(0,+8)上为增函数.

由/(Ax)之/(伍二)得，Ax>Inx,即A2处，故4之(空)

x\%max

、r，、Inx…，，、1—Inx

设g(x)=一，X>0,则g'(x)=——2一'

XX

11

9(.x^max=

【解析三】由e"—?之o得>W，XeAx>Inx,即(入％)eXx>%仇》对任意的久G(0,

A.A.

+8)恒成立.

当久e(0,1］时，总有Ax/*>0,xlnx<0.

只需考虑%>1的情形，亦即e",九〃">xlnx.

设f(t)=tlnt(t>l),则［⑴=1+Int>0,

在te(1,+8)上为增函数.

由/(e&)2/(x)得，eAx>%,即22小，故42(处)

x'%max

、「/、Inx…、1—Inx

设g(x)=—,x>0,则g(x)=———,

9(.x^max=9(。)=-f・・4Nj

【解析四】由e"%—华之0得e"%>XeAx>Inx,即(Ax)eXx>%仇》对任意的汽G(0,

+8)恒成立.

当％G(0/1]时，总有人%u">0,xlnx<0.

只需考虑%>1的情形,得(Ax)+In(Ax)>Inx+In(Znx).

设/(t)=t+Znt(t>l),贝好'(t)=1+1>0,

/⑴在IE(1,+8)上为增函数.

由/(尢r)之/工)得，Ax>Inx,即42处，故4之(处)

x'%max

…，、Inx…，，、1—Inx

设g(x)=—,x>0,贝ijg(x)=—m一,

9^)max=9(。)=-j・・4N

例7对于任意实数x>0,不等式-Inx+ln。〉。恒成立，则Q的取值范围是.

【答案】«>—

2e

【解析一】将2ae2*-lnx+lna»0变形为2。/工21112,2^>-ln-(说明：将参数移至一

aaa

边)

两边同时乘x得2xe2xz2ln2(说明：目的是凑右边的结构)

aa

GP2xe2x>-ln-=e^ln-(说明：目的是凑左右两边的结构相同)(#)

aaa

设g(x)=xe",贝ijg'(x)=(l+x)/〉0,g(%)单增

故由(#)得2xNln—,InaNlnjr—2%

a

再令人(元)=ln尤—2x,则〃'(X)=!—2,易知当为(工工以=/zd)=—ln2-l

x2

所以InaN—ln2-l,a>—.

2e

【解析二】将2。/尤_in%+in〃20变形为*2a+2x_[nx+ln〃20,BP+]n2a>\n2x

ein2a+2尤+2x+In>2x+In2x=eln2x+In2x

设g(x)=e"+x,易知g(x)单增

故2尤+ln2aNln2x(以下同解法一，从略).

点评：

(1)为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用

的恒等变形的方法有：%=elnx(x>0),%=lnex{xG/?).

1.xex=ex+lnx；x+Inx=lnxex.

2.-elnx~x；

exx—Inx=In—x.

3.x2e34x=ex+2lnx；x+2lnx=lnx2ex.

4.=x-2lnx.x—2lnx=lnj.

X2eX2

有时也需要对两边同时加、乘某式等.

(2)%lnx与1/为常见同构式：x]nx=kixelnx,xex=e[nxex；x+ln尤与l+/为常见同

inxxlnxx

构式：x+inx=lnx+efx+e=e+e.

【巩固训练】

Inx

L设实数相>0,若对任意的xe(0,+8),不等式e™7——20成立，则实数相的取值范

m

围是()

A.[l,+oo)B.3，+0°]C.[e,+oo)D.L+℃]

m

2.设实数相>。，若对任意的xNe,不等式Vinx-me*20恒成立，则加的最大值是

().

1e

A.—B.—C.eD.2e

e3

3.若e'-。21nx+a对一切正实数尤恒成立,则实数a的取值范围是

A(-oo,-]B.(-°0,l]C,(-°°,2]D.(-8,e]

e

4.已知函数/(x)=e"-alnx,(其中〃为参数)，若对任意%£(0,+oo),不等式/(x)>alna

成立，则正实数〃的取值范围是.

5.对于任意实数x>0,不等式Unx20恒成立，则久的最大值是.

6.关于元的不等式加用28nx+Mx+l)对任意%>0(其中左>0)恒成立，则左的取值范围

是.

7.关于x的不等式％2*^(左+3)工+21111+1对任意%>0恒成立，则左的取值范围是.

8.已知函数/(%)=(xd-i)Inx,g(%)=Tne771%+m若对任意的％e(0，+oo),不等式

2/(%)-gM<。恒成立，则zn的取值范围是.

9.(2022•江苏数学基地校联考-22改编)已知函数")=——huTna,当x>0时，於)》|,

则a的取值范围是.

10.(2022•江苏天一中学)己知关于x的不等式仅上处>[nx在((),”)上恒成立，

X+1

则实数X的取值范围为

【答案与提示】

1.【答案】D

InX

【分析】把不等式e如——NO成立，转化为尔6如〉％111%=*'・111%恒成立，设函数

m

g(x)=x/,进而转化为g(mx)2g(lnx)恒成立，得出如21nx恒成立，构造函数

丸(力1n=x?,利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

InxIny

【解析】因为帆>0,不等式e蛆——20成立，即0侬2——成立，即〃记SNlnx，

mm

进而转化为加xe"11»xlnx=.lnx恒成立，

构造函数g(x)=M,可得g'(x)=e*+x/=(x+l)e?,

当x>0,g'(x)>0,g(x)单调递增,

InV

则不等式e如-----n0恒成立等价于g(mx)>g(lnx)恒成立，即mxNlnx恒成立,

m

进而转化为m>—恒成立，

x

设=可得/l'(x)=^~,

XX

当0<x<e时，"(x)>0,单调递增;

当x>e时，"(x)<0,/i(x)单调递减，

所以当x=e,函数/i(x)取得最大值，最大值为/z(e)=(,

所以m2L，即实数，〃的取值范围是-,+®.故选：D.

eeJ

2.【答案】C

mm

【提示】冗21n%一根"20变形为Inxd%n生,构造函数g(x)=xe"(x>0),等价

X

转化为lnx2—,即加<xlnx,只需znW(xlnx).=e,答案为C.

%\/min

3.【答案】B

【解析】(利用同构)由e*T21nx+。得e>"-aNlnx,两边同时加+x-a21n元+x

即ex-a+(x-a)>etaA+lnx

设/(x)=e*+x,则/(x)=e*+1>0,/(x)=e*+x单增

ex~a+(x-a)>elax+Inx,BPf{x-d)>/(Inx),故x-aNlnx恒成立

aVx—Inx恒成立

设g(x)=x-lnx,易得g(x)1mx=g(l)=l,所以a41.

4.【答案】(°，e)

【解析】构建同构式处理不等式

由/(x)>aIna得J一ina〉Inx,即ex~lna—Ina>Inx，

a

两边同时力口X得ex-lna+x-lna>e'nx+lnx

令g«)=e'+/,则g(x—lna)>g(lnx),

：g«)为单调增函数x-lna>Inx,即lna<x-lnx,

令h(x)=x-Inx,贝i]h'(x)=

x

/.g)在(°』)上单调递减，在(1，+