2025年高考数学专项复习训练：空间点、直线、平面之间的位置关系【八大题型】原卷版+解析版

专题7.2空间点、直线、平面之间的位置关系【八大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1平面的基本性质及推论】..................................................................4

【题型2点共线、点(线)共面、线共点问题】.....................................................5

【题型3等角定理】...............................................................................6

【题型4平面分空间问题】........................................................................7

【题型5截面问题】...............................................................................7

【题型6异面直线的判定】........................................................................9

【题型7异面直线所成的角】.....................................................................10

【题型8空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】.............................................11

►考情分析

1、空间点、直线、平面之间的位置关系

考点要求真题统计考情分析

(1)借助长方体，在直观认

空间点、直线、平面之间的位置关

识空间点、直线、平面的2022年新高考I卷：第9题，

系是高考的热点内容.从近几年的高考

位置关系的基础上，抽象5分

情况来看，主要分两方面进行考查，一

出空间点、直线、平面的2022年上海卷：第15题，5

是空间中点、线、面关系的命题的真假

位置关系的定义分

判断；二是异面直线的判定和异面直线

⑵了解四个基本事实和2023年上海卷：第15题，5

所成角问题；常以选择题、填空题的形

一个定理，并能应用定理分

式考查，难度较易.

解决问题

►知识梳理

【知识点1平面的基本事实及推论】

1.四个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论

(1)四个基本事实及其表示

①基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.

②基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

④基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

(2)四个基本事实的作用

基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.

基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.

基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.

基本事实4：①判断两条直线平行.

(3)基本事实1和2的三个推论

推论自然语言图形语言符号语言

经过一条直线和这条直线

点A比Q04与力共面于

推论1外一点，有且只有一个平/V

面.平面％且平面唯一.

经过两条相交直线,有且只aC\b=P0a与b共面于

推论2

有一个平面.

平面%且平面唯一.

经过两条平行直线，有且只直线al1b台直线a,b共

推论3

有一个平面./_J

面于平面Q,且平面唯一.

2.等角定理

(1)自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

(2)符号语言：如图⑴⑵所示，在N/O8与中，OA//O'A',OB//O'B',则乙4。3=/4。5

【知识点2共面、共线、共点问题的证明方法】

1.共面、共线、共点问题的证明

(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.

(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.

(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

【知识点3平面分空间问题】

1.平面分空间问题

一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢？

(1)两个平面有两种情形：

①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；

②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).

(1)(2)

(2)三个平面有五种情形：

①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；

②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；

③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；

④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；

⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).

(1)(2)(3)(4)(5)

【知识点4空间点、线、面之间的位置关系】

1.空间中直线与直线的位置关系

(1)三种位置关系

我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种:

(北而百纬J相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；

＜八［平行直线：在同一平面内，没有公共点.

［异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

(2)异面直线的画法

为了表示异面直线。力不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.

2.空间中直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下:

位置关系图形表示符号表示公共点

直线在平面内有无数个公共点

直线与平面相交aC\a—A有且只有一个公共点

-------a

直线与平面平行aIIa没有公共点

3.空间中平面与平面的位置关系

(1)两种位置关系

两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下:

位置关系图形表示符号表示公共点

口

两个平面平行all。没有公共点

口

两个平面相交三aC\B=a有一条公共直线

(2)两种位置关系

平行平面的画法技巧

画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.

4.异面直线所成的角

(1)定义：已知a,b是两条异面直线，经过空间任意一点。作直线d//a,b'Hb,把"与〃所成的角叫做

异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：.

【方法技巧与总结】

1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.

2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于异面直线所

成的角，也可能等于其补角.

►举一反三

【题型1平面的基本性质及推论】

【例1】(2024•全国•模拟预测)给出下列四个结论:

①经过两条相交直线，有且只有一个平面；

②经过两条平行直线，有且只有一个平面；

③经过三点，有且只有一个平面；

④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面.

其中正确结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【变式1-1]（2024•全国•模拟预测）下列说法正确的是（）

A.三点确定一个平面B.四边形确定一个平面

C.三角形确定一个平面D.一条直线和一个点确定一个平面

【变式1-2]（23-24高三下•云南昆明•阶段练习）已知a,£是两个不同的平面，则下列命题错误的是（）

A.若aC0=I,AEcrjlXEP，则A€1

B.若N,B,C是平面a内不共线三点，AEp,B60,则CW。

C.若直线aua,直线bu£,则a与6为异面直线

D.若2是两个不同的点，a且Bea,则直线ABua

【变式1-3]（23-24高一下•河南安阳•阶段练习）下列命题正确的是（）

A.过三个点有且只有一个平面

B.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面

C.四边形为平面图形

D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

【题型2点共线、点（线）共面、线共点问题】

【例2】（2024•吉林•模拟预测）在长方体4BCD-4再也1。1中，直线&C与平面4当小的交点为M,0为线段

当小的中点，则下列结论错误的是（）

A.4M。三点共线B.M,O/i,B四点异不共面

C.四点共面D.四点共面

【变式2-1]（23-24高一下•江苏•阶段练习）下列选项中，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，则这四个点

不共面的是（）

【变式2-2]（2024・重庆・二模）如图所示，在空间四边形48co中，E,尸分别为AB,4D的中点，G,H分

别在BC,CD上，且36:6。=。”:47=1:2,则下面几个说法中正确的个数是（）

@E,F,G,a四点共面；②EG〃FH;③若直线EG与直线尸〃交于点P,则P,A,C三点共线.

A.0B.1C.2D.3

【变式2-3]（2024•四川南充•三模）如图,在直三棱柱2BC-4止15中,AC1BC,AC=BC=AA1,E、

F、G、X分别为4B、BBi、CCi、47的中点，则下列说法中错误的是（）

A.41clG”

B.E、F、G、H四点共面

C.设BC=2,则平面EFCi截该三棱柱所得截面的周长为1+遮+2通

D.EF、GH、441三线共点

【题型3等角定理】

【例3】（23-24高一•全国•课后作业）给出下列命题：

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等;

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补.

其中正确的命题有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【变式3-1]（23-24高一下•全国•课后作业）已知4B〃PQ,BC//QR,N4BC=30。，则NPQR=（）

A.30°B.30°或150。

C.150°D.30°或120°

【变式3-2]（23-24高一・全国•课前预习）在三棱锥尸一/2C中，PB1BC,E,D,尸分别是PA,AC

的中点，贝吐。跖=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【变式3-3]（2024•全国•模拟预测）两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三

角形（）

A.全等B.相似

C.仅有一个角相等D.无法判断

【题型4平面分空间问题】

【例4】（2023•广东广州•模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，贝切不可能是（）

A.4B.5C.6D.7

【变式4-1]（23-24高二上•四川乐山•阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（）

【变式4-2]（23-24高一下•浙江•期末）空间的4个平面最多能将空间分成（）个区域.

A.13B.14C.15D.16

【变式4-3]（2024•四川内江•三模）三个不互相重合的平面将空间分成几个部分，贝仙的最小值与最大值之

和为（）

A.11B.12C.13D.14

【题型5截面问题】

【例5】（2023•四川南充•一模）如图，正方体4BCD-力iBiCiDi的棱长为2,E,尸分别为BC,CQ的中点,

则平面4EF截正方体所得的截面面积为（）

A.B-iC.9D.18

【变式5-1］（2024•全国•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体48CD-41/射。1中，£为棱8c的中点,

用过点E,G的平面截正方体，则截面周长为（）

A.3V2+2V5B.9C.2V2+2V5D.3V2+2V3

【变式5-2］（2024•上海黄浦•二模）如图，已知P,Q,R分别是正方体4BCD-4/也必的棱力B,BC和。必的

中点，由点P,Q,R确定的平面£截该正方体所得截面为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【变式5-3］（2023・天津和平•三模）已知正方体4BCD—4中传1。1的棱长为6,点E,F分别在棱外冬，

上，且满足瑞=器=1点。为底面4BCD的中心，过点E,F,。作平面EF。，则平面EF。截正方体

ABC。-4181。%所得的截面面积为（）

A.8V22B.6V22C.4V22D.2V22

【题型6异面直线的判定】

【例6】（2024•上海•模拟预测）如下图，P是正方体力BCD-&B1C1D1面对角线必射上的动点，下列直线中,

始终与直线BP异面的是（）

A.直线DDiB.直线BiCC.直线D.直线4C

【变式6-1］（23-24高一下•河北•期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列

直线中，与直线2D是异面直线的是（）

H-------G

D-C-

FI---------------------

AB

-------'F

A.FGB.EHC.EFD.BC

【变式6-2］（2024•山东潍坊•模拟预测）学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图.某小组得到

了如图所示表面展开图，则在正方体中，AB,CD、EF、这四条线段所在的直线中，异面直线有（）

A.1对B.3对C.5对D.2对

【变式6-3］（2024・四川宜宾•二模）四棱锥P-4BCD所有棱长都相等，"、N分别为P4、CD的中点，下列

说法错误的是（）

A.MN与PD是异面直线B.MN〃平面PBC

C.MN//ACD.MN1PB

【题型7异面直线所成的角】

【例7】（2024•新疆喀什•三模）已知底面边长为2的正四棱柱4BCD-&B1C1D1的体积为16,则直线4C与

4/所成角的余弦值为（）

A.平B.皑C.回D.也

551010

【变式7-1］（2024•云南•二模）如图，在正方体28CD-4避停1。1中，E、F、M、N分别是D%、。1的、BC、B

%的中点，则异面直线即与"N所成角的大小为（）

【变式7-2］（2024・陕西•模拟预测）如图，在直三棱柱4道道1中，AB=ADAA^ABD=45°,P

为当。1的中点，则直线PB与4%所成的角为（)

C.60°D.90°

【变式7-3］（2024•陕西安康•模拟预测）如图,在正三棱柱ABC-4/iCi中，41i=A8,点。是线段4〃上

靠近占的三等分点，则直线CiD与BiC所成角的余弦值为（）

【题型8空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】

【例8】（2024・上海长宁・二模）已知直线。力和平面心则下列判断中正确的是（）

A.若。〃仇力〃a,则。〃6B.若a〃瓦匕〃a,贝ija〃仇

C.^a//a,b1a,贝！ja_LbD.1b,b//a,则ala

【变式8-1］（2024•浙江绍兴•三模）设冽，〃是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，则下列命题中

正确的是（）

A.若al/?,m||a,则租1£

B.若7nl夕，m1a,n||a,则7111s

C.若7nla,nip,m||n,则al/?

D.若ad/?=TH,n||a,n||/?,则zn||九

【变式8-2］（2024・河南・三模）已知6刀为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为真命题的

是（）

A.若mua,nca,m//^5,n///?,贝!Ja〃夕

B.若m〃a,riua,则m〃?i

C.若九〃TH,m^a,riua,则m〃a

D.若a“B，mua,nuB，则6〃n

【变式8-3］（2024•湖南衡阳•模拟预测）已知相、九是两条不同的直线，a、S、y是三个不同的平面.下列说法

中正确的是（）

A.若m||a,m||夕，则a||/?

B.若租||a,n||a,则7n||n

C.若则aIIy

D.若7nla,mlS，aIIy,则夕IIy

►过关测试

一、单选题

1.（2024・陕西商洛•模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（）

A.三条直线最多可确定1个平面B.三条直线最多可确定2个平面

C.三条直线最多可确定3个平面D.三条直线最多可确定4个平面

2.（2024・上海•三模）在空间中，％、6为异面直线”是％、6不相交”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

3.（2024高一•全国・专题练习）平面a,y不能将空间分成（）

A.5部分B.6部分

C.7部分D.8部分

4.（2024・陕西铜川•模拟预测）下列说法正确的是（）

A.若直线犯n两两相交，则直线共面

B.若直线/即与平面a所成的角相等，则直线/即互相平行

C.若平面a上有三个不共线的点到平面口的距离相等，则平面a与平面夕平行

D.若不共面的4个点到平面a的距离相等，则这样的平面a有且只有7个

5.（2024•内蒙古呼和浩特•二模）如图，已知正四棱锥P-4BCD的所有棱长均相等，E为棱P4的中点，则

异面直线BE与PC所成角的余弦值为（）

A.乎B.一半C.亭D.-咚

3333

6.（2024•宁夏银川•三模）4B是两个不同的点，为两个不同的平面，下列推理错误的是（）

A.AGl,AGcc,Bel,BGa=2uoc

B.AEa,AeB，Bea,BeC0=AB

C.l（^a,AG/=>?!ga

D.AEl,Iaa=>Aea

7.（2024・湖南•二模）如图，在三棱柱ABC-4声道1中，£吃&”分别为3瓦,（?射/止1，4道1的中点，则下列

说法错误的是（）

C.EG,FH,A4i三线共点D.乙EGB^=KFHCi

8.（2024・陕西铜川三模）在正方体ABC。—中，E,£G分别为BC,CD,D£）i的中点，若4B=4,则平

面EFG截正方体所得截面的面积为（）

A.6V2B.6V3C.12V2D.12V3

二、多选题

9.（2024•吉林长春•模拟预测）下列基本事实叙述正确的是（）

A.经过两条相交直线，有且只有一个平面

B.经过两条平行直线，有且只有一个平面

C.经过三点，有且只有一个平面

D.经过一条直线和一个点，有且只有一个平面

10.（2024•江苏南通•模拟预测）已知a,b是两条直线，a,£是两个平面，下列结论不正确的是（）

A.||p,a||a,b||p,则a||b

B.若a1S，a1a,610,则五"L』

C.若aua,6u£,a||||a,则a||0

D.若aua,bu0,a||S，a1b,则a10

11.（2024•广东惠州・模拟预测）如图，在长方体4BCD-人记心以中,E,F分别为的小，8心的中点,

0,M分别为BD,EF的中点，则下列说法正确的是（）

A.四点B,D,E,尸在同一平面内

B.三条直线BF,DE,CCi有公共点

C.直线&C与直线OF不是异面直线

D.直线4C上存在点N使M,N,。三点共线

三、填空题

12.（2024•全国•模拟预测）在三棱锥P-4BC中，4C=g,BC=1,PA=PB=PC=AB=2,M为AC的

中点，则异面直线BM与P4所成角的余弦值是.

13.（2024•山东济南•三模）在正四棱柱486-418停1。1中，48=4,=6,M,N分别是2B,2。的

中点，则平面MNCi截该四棱柱所得截面的周长为.

14.（2024・全国•模拟预测）已知a0是两个不同的平面，mn是平面a0外两条不同的直线，给出四个条

件：@mln；②③几〃9@mla,以下四个推理与证明中，其中正确的是.（填写正确推

理与证明的序号）

（1）已知②③④，则①成立

（2）已知①③④，则②成立

（3）己知①②④，则③成立

（4）已知①②③，则④成立

四、解答题

15.（23-24高一•全国•课前预习）用符号语言表示下列语句，并画出图形：

（1）三个平面a,6,y相交于一点尸，且平面a与平面£相交于P4平面a与平面y相交于P8,平面0与平面y相

交于PC；

（2）平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.

16.（23-24高二・上海•课堂例题）已知直线a,b和平面a、°,判断下列命题的真假，并说明理由:

（1）若aIIa,bLa,贝！Jb1a；

⑵若a||a,al£,则al。；

（3）若a||b,bua,贝!]a||a.

17.(2024•全国•模拟预测)如图，在四棱锥P—力BCD中，AD//BC,AD=2,BC=3,E是PD的中点，F,M

分别在PC,PB上，且PF=^PC,BM=

(1)证明：四点共面;

(2)若CD1AD,PA1平面ABC。,PA=AD=CD,求四棱锥P—AMFE的体积.

18.(2023・上海•模拟预测)在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4,点C是底面直径A8所对弧

的中点，点。是母线尸/的中点.

(1)求该圆锥的侧面积与体积；

(2)求异面直线与CD所成角的大小.

19.(2024・广西河池•模拟预测)己知四棱锥P—4BCD中，底面4BCD为直角梯形，P4,平面4BCD,AD\\

BC,ABLAD,PA=AD=4,BA=BC=2,M为P4中点，过C,D,M的平面截四棱锥P-力BCD所得的截

面为a.

P

(1)若a与棱P8交于点F，画出截面a,保留作图痕迹(不用说明理由)，并证明言=3.

(2)求多面体4BCDMF的体积.

专题7.2空间点、直线、平面之间的位置关系【八大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1平面的基本性质及推论】..................................................................4

【题型2点共线、点(线)共面、线共点问题】.....................................................6

【题型3等角定理】..............................................................................11

【题型4平面分空间问题】.......................................................................13

【题型5截面问题】..............................................................................15

【题型6异面直线的判定】.......................................................................19

【题型7异面直线所成的角】.....................................................................22

【题型8空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】.............................................25

►考情分析

1、空间点、直线、平面之间的位置关系

考点要求真题统计考情分析

(1)借助长方体，在直观认

空间点、直线、平面之间的位置关

识空间点、直线、平面的2022年新高考I卷：第9题，

系是高考的热点内容.从近几年的高考

位置关系的基础上，抽象5分

情况来看，主要分两方面进行考查，一

出空间点、直线、平面的2022年上海卷：第15题，5

是空间中点、线、面关系的命题的真假

位置关系的定义分

判断；二是异面直线的判定和异面直线

⑵了解四个基本事实和2023年上海卷：第15题，5

所成角问题；常以选择题、填空题的形

一个定理，并能应用定理分

式考查，难度较易.

解决问题

►知识梳理

【知识点1平面的基本事实及推论】

1.四个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论

(1)四个基本事实及其表示

①基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.

②基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

④基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

(2)四个基本事实的作用

基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.

基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.

基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.

基本事实4：①判断两条直线平行.

(3)基本事实1和2的三个推论

推论自然语言图形语言符号语言

经过一条直线和这条直线

点A比Q04与力共面于

推论1外一点，有且只有一个平/V

面.平面％且平面唯一.

经过两条相交直线,有且只aC\b=P0a与b共面于

推论2

有一个平面.

平面%且平面唯一.

经过两条平行直线，有且只直线al1b台直线a,b共

推论3

有一个平面./_J

面于平面Q,且平面唯一.

2.等角定理

(1)自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

(2)符号语言：如图⑴⑵所示，在N/O8与中，OA//O'A',OB//O'B',则乙4。3=/4。5

【知识点2共面、共线、共点问题的证明方法】

1.共面、共线、共点问题的证明

(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.

(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.

(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

【知识点3平面分空间问题】

1.平面分空间问题

一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢？

(1)两个平面有两种情形：

①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；

②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).

(1)(2)

(2)三个平面有五种情形：

①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；

②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；

③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；

④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；

⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).

(1)(2)(3)(4)(5)

【知识点4空间点、线、面之间的位置关系】

1.空间中直线与直线的位置关系

(1)三种位置关系

我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种:

(北而百纬J相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；

＜八［平行直线：在同一平面内，没有公共点.

［异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

(2)异面直线的画法

为了表示异面直线。力不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.

2.空间中直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下:

位置关系图形表示符号表示公共点

直线在平面内有无数个公共点

直线与平面相交aC\a—A有且只有一个公共点

-------a

直线与平面平行aIIa没有公共点

3.空间中平面与平面的位置关系

(1)两种位置关系

两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下:

位置关系图形表示符号表示公共点

口

两个平面平行all。没有公共点

口

两个平面相交三aC\B=a有一条公共直线

(2)两种位置关系

平行平面的画法技巧

画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.

4.异面直线所成的角

(1)定义：已知a,b是两条异面直线，经过空间任意一点。作直线d//a,b'Hb,把"与〃所成的角叫做

异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：.

【方法技巧与总结】

1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.

2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于异面直线所

成的角，也可能等于其补角.

►举一反三

【题型1平面的基本性质及推论】

【例1】(2024•全国•模拟预测)给出下列四个结论:

①经过两条相交直线，有且只有一个平面；

②经过两条平行直线，有且只有一个平面；

③经过三点，有且只有一个平面；

④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面.

其中正确结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】根据点、线、面的基本事实及推论进行判断即可.

【解答过程】根据基本事实以及推论，易知①②正确.

若三点共线，则经过三点的平面有无数多个，故③错误.

若点在直线外，则确定一个平面，若点在直线上，则可有无数个平面，故④错误.

即正确的命题有2个，

故选：B.

【变式1-1]（2024•全国•模拟预测）下列说法正确的是（）

A.三点确定一个平面B.四边形确定一个平面

C.三角形确定一个平面D.一条直线和一个点确定一个平面

【解题思路】利用立体几何中的基本事实确定平面的方法求解即可.

【解答过程】三个不共线的点确定一个平面，故选项A错误，

四边形存在空间四边形，故选项B错误，

三角形的顶点是三个不共线的点，确定一个平面，故选项C正确，

当点在直线上时无法确定一个平面，故选项D错误.

故选：C.

【变式1-2]（23-24高三下•云南昆明•阶段练习）己知a,0是两个不同的平面，则下列命题错误的是（）

A.若an/?=2,26戊且46£,则461

B.若4B,C是平面a内不共线三点，A&p,B&p,则

C.若直线aua,直线bu°,则。与6为异面直线

D.若8是两个不同的点，46a且Bea,则直线ABua

【解题思路】根据题意结合平面的性质以及相关基本事实逐项分析判断.

【解答过程】对于A,因为46a且4€3，则/是平面a和平面口的公共点，

又因为aC0=Z,由基本事实3可得4故A正确；

对于B,由基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，

又因为46。，且/,B,Cea,则故B正确：

对于C,由于平面a和平面0位置不确定，

则直线a与直线b位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故C错误；

对于D,由基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，

那么这条直线在这个平面内，故D正确.

故选：C.

【变式1-3］（23-24高一下•河南安阳•阶段练习）下列命题正确的是（）

A.过三个点有且只有一个平面

B.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面

C.四边形为平面图形

D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

【解题思路】根据平面的基本性质可判断A,D,由推论可判断B,根据特例可判断C.

【解答过程】根据公理知，过不共线的三点确定一个平面，故A错误；

因为两条平行直线确定一个平面，而两个交点都在这个平面内，故这条直线也在这个平面内，所以三条直

线共面，故B错误；

由空间四边形不是平面图形可知，C错误；

由公理知，两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确.

故选：D.

【题型2点共线、点（线）共面、线共点问题】

【例2】（2024•吉林•模拟预测）在长方体4BCD-4再也1。1中，直线&C与平面注当小的交点为M,0为线段

当小的中点，则下列结论错误的是（）

A.4M。三点共线B.四点异不共面

C.四点共面D.四点共面

【解题思路】由长方体性质易知441,4C四点共面且。是异面直线，再根据M与&C、面ACCr

乙、面ABrDr的位置关系知M在面4CC1&与面AB1D1的交线上，同理判断。、A,即可判断各选

项的正误.

【解答过程】

因为44i〃CCi,

则4&,Ci，C四点共面.

因为Me/liC,

则Me平面ACCrAr,

又Me平面AB^Dx,

则点M在平面4CC1&与平面的交线上，

同理，。、4也在平面ACC1&与平面AB1D1的交线上，

所以4M。三点共线；

从而M.O.Ax.A四点共面，都在平面ACC^Ax内，

而点3不在平面ACC1A1内，

所以M,。,B四点不共面，故选项B正确；

民当,。,三点均在平面881。1。内，

而点A不在平面BB1D1D内，

所以直线/。与平面BBiOi。相交且点。是交点，

所以点/不在平面8当。1。内,

即四点不共面，

故选项C错误；

BCIID1&,且BC=DM

所以BCDMi为平行四边形，

所以C4i,BDi共面，

所以B,D1cM四点共面，

故选项D正确.

故选:C.

【变式2-1］（23-24高一下•江苏•阶段练习）下列选项中，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，则这四个点

不共面的是（）

【解题思路】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误.

【解答过程】在A图中，分别连接

由正方体可得四边形4BCD为矩形，则4B〃CD,

因为P,S为中点，故PS〃4B,贝iJPS〃QR,所以P,S,R,Q四点共面.

在B图中，设E,F为所在棱的中点，分别连接PS,SR,REFQ,EQ,PE,

Q

由A的讨论可得PS〃ER,故P,S,E,R四点共面，

同理可得ER〃QF,故PS〃QF,同理可得EP〃RF,SR//EQ

故FC平面PRS,Q6平面PRS,所以P,S,R,Q,E尸六点共面.

在C图中，由P,Q为中点可得PQ〃48,同理RS〃4B,

在D图中，PQ,RS为异面直线，四点不共面.

故选：D.

【变式2-2]（2024•重庆•二模）如图所示，在空间四边形/8C。中，E,尸分别为的中点，G,H分

别在BC,C。上，且86:6。=。”:"。=1:2,则下面几个说法中正确的个数是（）

①£,F,G,〃四点共面；②EG〃FH;③若直线EG与直线FH交于点尸，则P,A,。三点共线.

A.0B.1C.2D.3

【解题思路】推导出E/7/8D,GH//BD,从而EF//GH,由此能证明E,F,G,“四点共面；EFGH,从

而直线EG与直线尸〃必相交，设交点为尸，证明尸点在直线4C上.

【解答过程】如图所示，

E,P分别为AB,4D的中点，.•.EF〃BD,EF=^BD,

G,H分别在8C,CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2,:.GH//BD,GH=|B。,

.■.EF//GH,则E,F,G,〃四点共面，说法①正确；

■■GH>EF,四边形FEGH是梯形，EG〃FH不成立，说法②错误；

若直线EG与直线FH交于点P,则由PCEG,EGu平面4BC,得Pe平面4BC,

同理pe平面acD,又平面4Bcn平面a。。=ac,PEAC

・••则尸，A,C三点共线，说法③正确；

说法中正确的有2个.

故选：C.

【变式2-3］（2024•四川南充•三模）如图，在直三棱柱28。一4/1的中，AC1BC,AC=BC=AA1,E、

F、G、X分别为力B、BBi、CCi、4C的中点，则下列说法中错误的是（