2025年高考数学一轮复习专项突破：函数模型的应用

考点15函数模型的应用(3种核心题型+基础保分练+综合提

升练+拓展冲刺练)

D1【考试提醒】

1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.

2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义

3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用

ill

1.三种函数模型的性质

函数

x

y=a{a>\)尸10gox(a>l)(心0)

性

在(0,+8)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表现随X的增大逐渐表现为随n值的变化而各有

图象的变化

为与V轴平行与X轴平行不同

2.常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型«r)=Qx+b(Q,b为常数，aWO)

二次函数模型f(x)=ax2-\-bx-\-c(a,b,c为常数，QWO)

k

反比例函数模型代x)=Tb(k,b为常数，左WO)

X

指数函数模型f(x)=bax-\-c{a,b,。为常数,q>0且qWl,bWO)

对数函数模型fix)=b\ogax+c{a,b,c为常数，Q>0且bWO)

a

幕函数模型J(x)=ax-\-b(afb,a为常数，aWO)

弱【核心题型】

题型一用函数图象刻画变化过程

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函

数图象.

(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是

否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.

【例题1】（2023•山西朔州•模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开

发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数x与每平米平均建

筑成本丁（单位：万元）的数据整理成如图所示的散点图：

I每平米平均建筑成本/万元

20-

15-

10-.

5-・

010203040楼层数/层

则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用了和楼层数x的回归方程类型

的是（）

A.y=a+bxB.y=a+be*x

b72

C.y=a+—D.y=a+bx

x

【答案】C

【分析】通过观察散点图并结合选项函数的类型得出结果.

【详解】观察散点图，可知是一个单调递减的曲线图，结合选项函数的类型可得回归方程类

型是反比例类型，故c正确.

故选：C

【变式1］（2023•江西南昌•二模）为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行

全面消毒.出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25

毫克/立方米时，学生方可进入教室.已知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度y（毫克/

0.k,0<r<10

立方米）与时间f（分钟）之间的函数关系为>=门\a"，函数的图像如图所示.如

果早上7：30就有学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是（）

A.7：00B.6：40C.6：30D.6：00

【答案】A

【分析】函数的图像过点代入函数的解析式求得未知系数。，解函数不等式即可.

【详解】根据函数的图像，可得函数的图像过点

由函数图像连续，代入函数的解析式，可得解得。=1,

0.1/,0<^<10

所以V=1门宿T

1]

令”0.25,可得0.1/W0.25或g：<0,25-

解得0<142.5或心0.

所以如果7：30学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是7：00.

故选：A

【变式2］（2023・四川南充•三模）血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度

介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用.某种药物服用1单位后，体内血药

浓度变化情况如图所示（服用药物时间对应f时），则下列说法中不正确的是（）

0I23456789101112

服用药物后的时间〃〃

A.首次服药1单位后30分钟时，药物已经在发挥疗效

B.若每次服药1单位，首次服药1小时药物浓度达到峰值

C.若首次服药1单位，3小时后再次服药1单位，一定不会发生药物中毒

D.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用

【答案】C

【分析】根据所给图象及最低有效浓度、最低中毒浓度，逐项判断即可得解.

【详解】由图象知，当服药半小时后，血药浓度大于最低有效浓度，故药物已发挥疗效,

故A正确；

由图象可知，首次服药1小时药物浓度达到峰值，故B正确；

首次服药1单位，3小时后再次服药1单位，经过1小时后，血药浓度超过3a+6a=9°,

会发生药物中毒，故C错误；

服用该药物5.5小时后血药浓度达到最低有效浓度，再次服药可使血药浓度超过最低有效浓

度且不超过最低中毒浓度，药物持续发挥治疗作用，故D正确.

故选：C

【变式3](23-24高三下•江苏镇江•开学考试)函数/■。)=产"的图象如图所示，则

(x+c)

()

A.a<0,Z><0,c>0B.a>0,6<0,c>0

C.Q>0,6>0,C<0D.6Z>0,/?<0,C<0

【答案】D

【分析】由函数的定义域可判断c的符号，分别令x=0,y=0可判断。力的符号.

【详解】由X+CW0,得XW-C,所以/(0的定义域为(-oo,-c)U(-c,+co),

由图可知-c>0,得c<0,

令/(x)=0,则办+6=0,得x=-2,

a

由图可知x=-2>o,得2<o,

aa

令x=0,得>=与，由图可知々<0,得b<0,

CC

所以。>0,

综上，a>0,b<Q,c<0,

故选：D

题型二已知函数模型的实际问题

已知函数模型解决实际问题的关键

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

⑵根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

【例题1】.（2024高三・全国・专题练习）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水

的温度有关，经验表明，某种绿茶用85℃的开水泡制，再等茶水温度降至55℃时饮用，可

以产生最佳口感，如果茶水原来的温度是经过一定时间/min后的温度7（单位：。C）可

由公式T=求得，其中4表示室温，发是一个随着物体与空气的接触状况而

定的正常数.现有一杯85℃的绿茶放在室温为25℃的房间中，如果茶温降到45℃需要

lOmin,那么在25℃室温下，用85℃的开水泡制，刚泡好的茶水要达到最佳饮用口感，大约

需要放置（）（参考数据：比2。0.693,In3。1.099）

A.4minB.6minC.7minD.9min

【答案】C

【分析】一杯85℃的绿茶放在室温为25℃的房间中，茶温降到45℃需要lOmin代入公式得

左=坐；茶温降到55℃需要ftnin代入公式得=10X萼，结合题中数据可求得九

10m3

【详解】因为一杯85℃的绿茶放在室温为25c的房间中，如果茶温降到45℃需要lOmin,

则45=25+（85-25>eT°*,整理得「觥=；,解得左=片，

一杯85℃的绿茶放在室温为25℃的房间中，如果茶温降到55℃需要Zmin,

则55=25+（85-25"，，整理得e.=L解得”曰=io*@2合6.31,

2kIn3

所以大约需要7min.

故选：C

【变式1］（2024•四川德阳•三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展

和资源整合.己知某类果蔬的保鲜时间M单位：小时）与储藏温度N单位：。。满足函数关系.

>=y+气°,b.为常数），若该果蔬在7。（：的保鲜时间为288小时，在21K的保鲜时间为32

小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度（假设物流过程中恒温）

最高不能超过（）

A.14℃B.15℃C.13℃D.16℃

【答案】A

【分析】根据给定的函数模型建立方程组，再列出不等式即可求解.

7a+b_2881i

23「n，贝1J/"=X，即e7”=：,显然a<0,

）e=3293

21a+67a21fl+614a+i

设物流过程中果蔬的储藏温度为t℃,于是e"+〃>96=3-e=e--e=e,

解得a7+6N14“+b,因此t414,

所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14℃.

故选：A

【变式2]（2023•贵州铜仁•模拟预测）牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型

。=%+他-4）e*为时间，单位：分钟，为为环境温度，，为物体初始温度，0为冷却

后温度），假设一杯开水温度4=100℃,环境温度%=20℃,常数上=0.2,大约经过

分钟水温降为3CPC（参考数据：ln2«s0.7）.

【答案】10.5

【分析】代入数据，结合指数与对数性质运算即可得.

【详解】由题意30=20+（100-20）二.，则02=ln8=31n2=3x0.7=2.1,所以小10.5分钟.

故答案为：10.5.

【变式3]（2024高三・全国•专题练习）环保部门为了研究某池塘里某种植物生长面积S（单

位：m?）与时间/（单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型

,

S（t）=ka（t&Z,k>0,a>Q,且aW1）.已知第一个月该植物的生长面积为,第三个月该植

物的生长面积为4m2.

（1）求证：若5（。）5年）=（5（幻）2,贝"+「2小

⑵若该植物的生长面积达到100m?以上，则至少要经过多少个月？

【答案】⑴证明见解析

（2）8个月

【分析】（1）先根据条件求出参数，利用指数的运算可得答案；

（2）根据题意可得2i>100,求解指数不等式即可.

[s[\\=ka=\k==

【详解】⑴证明：:0I73’2.

卜（3）=版=4[fl=2

S（/）=gx2，=2<-1.

由S⑷•S(f3)=(S«2)y，得211T.24T=2*2,M+f3=2/z.

(2)令S0=2i>100,又feZ,5(7)=64<100,5(8)=128>100,

.••后8,即至少需要经过8个月

题型三构造函数模型的实际问题

构建函数模型解决实际问题的步骤

⑴建模：抽象出实际问题的数学模型；

(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；

(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实

际问题中去，得到实际问题的解.

【例题1】(23-24高三上•江苏南通•期末)某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的

工艺品.要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架

的四条边上，则矩形框架周长的最大值为()

A.20V2cmB.30>/5cmC.40V5cmD.600cm

【答案】D

【分析】由已知作图如图所示，设ZAEF=a,利用三角函数表示各边长，借助三角函数性

质计算可得结果.

【详解】如图所示，EF=W,FG=20,

TT

令NAEF=a,则/尸=10sina,//五£=］一a,则ZBFG=a,

JT

BF=20cosa,SG=20sintz,ZSGF=a,则Z.CGH=a,CG=10cos«

2

，周长=248+2BC=2(1Osina+20cosa)+2(20sina+1Ocosa)

=60sina+60cosa=60V2sin|a+—|<60A/2,

故选：D

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用三角函数的定义表示出所求周长，再利用三角恒

等变换即可得解

【变式1]（2023•陕西商洛•模拟预测）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水

的标准，其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP

棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各

种大颗粒杂质，假设每一层尸产棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大

颗粒杂质含量为80mg/L,现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L,则PP棉滤芯

的层数最少为（参考数据：1g2土0.30,lg3»0.48）（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】A

【分析】首先由条件抽象出经过〃层改棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量了的函数，再结合

指对运算，解不等式.

【详解】设经过"层尸尸棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为丁，则

令80x]|）<2,解得图"$,两边取常用对数得〃号叫，即〃啖lg40

即“（Ig3-lg2）21+21g2,因为lg2x0.30,lg3«0.48,

所以（0.48-0.30）〃21.60,解得“叶，因为〃eN*,所以"的最小值为9.

故选：A

【变式2】2023•上海闵行•三模）珠穆朗玛峰高达8848.86米，但即使你拥有良好的视力，

你也无法在上海看到它.一个观察者距离珠穆朗玛峰多远，才能在底面上看到它呢？为了能

够通过几何方法解决这个问题，需要利用简单的几何模型表示这个问题情境，在此过程中,

有下列假设：①珠穆朗玛峰的形状为等腰梯形；②地球的形状是一个球体；③太阳光线沿

直线传播；④没有事物可以阻碍人们看到珠穆朗玛峰的视线.你认为最不重要的一个假设

是.

【答案】①

【分析】由数学建模时，假设针对问题的主要因素，忽略次要因素的原则，即可得出答

案.

【详解】数学建模时，针对问题的主要因素，忽略次要因素，这里我们需要测量观察者距离

珠穆朗玛峰多远，主要关注的应该是珠穆朗玛峰的高度，此时，珠穆朗玛峰的形状对于测量

结果影响很小，故假设①最不重要，

故答案为：①.

【变式3］(23-24高三上・福建宁德•期中)为了减少碳排放，某企业采用新工艺，将生产中

产生的二氧化碳转化为一种化工产品.已知该企业每月的处理量最少为30吨,最多为400吨.

月处理成本/(x)(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系近似地表示为

/(X)=1X2-300X+64800.

(1)该企业每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低?月处理成本最低是多少元？

(2)该企业每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?每吨的平均处理成本最

低是多少元？

【答案】(1)企业每月处理量为300吨时，成本最低，最低为19800元

⑵企业每月处理量为360吨时，每吨的平均处理成本最低，最低60元

【分析】(1)由函数单调性得到最值；

(2)得到每吨的平均处理成本g(x)=gx-300+WW,利用基本不等式求出最值.

【详解】(1)该企业的月处理成本=-300x+64800=g(x-300)2+19800,

因为304x4400,〃龙)在［30,300］上单调递减，在(300,400］上单调递增，

所以该企业每月处理量为300吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是19800元.

(2)因为/(无)=g尤2_300%+64800(30<x<400),

所以每吨的平均处理成本g(x)=〃"=gx-300+变”.

因为一变四口,留眄=360,当且仅当x=360时，等号成立，

2xV2x

所以g(x)Z60,

即该企业每月处理量为360吨时，每吨的平均处理成本最低，为60元

H【课后强化】

基础保分练

一、单选题

1.(2024•江苏•一模)德国天文学家约翰尼斯•开普勒根据丹麦天文学家第谷・布拉赫等人的观

测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动

第三定律一一绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长。与公转

3

周期7有如下关系:混，其中M为太阳质量，G为引力常量.已知火星的公转

周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

【答案】B

【分析】根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.

【详解】设火星的公转周期为工，长半轴长为外,火星的公转周期为%,长半轴长为。2,

2万2

①

4GM

则，工=8右,且

3

27r次②

4GM

■得:*（£=8,

②T2a2

所以，/"=4,即：％=4%.

故选：B.

2.（2024•广东韶关•二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量少（单位：平方米）的

计算公式是％=（长+4）x（宽+4）,在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面

积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）

是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

【答案】C

【分析】设矩形场地的长为工米，则犷=4%+二”+10016,结合基本不等式计算即可求解.

x

【详解】设矩形场地的长为X米，则宽为纳S米,

X

W=(x+4)(^^+4)=4x++10016>2/4x-^^+10016=10816,

xx

当且仅当4%=也也，即x=100时，等号成立.

X

所以平整这块场地所需的最少费用为1x10816=10816元.

故选：C

3.(2024・上海奉贤•二模)已知函数y=/(x),其中y=d+l,y=g(x),其中

g(x)=4sinx,则图象如图所示的函数可能是().

_/(x)

B.'一g(x)

C.y=/(x)+g(x)-lD.y=f(x)-g(x)-l

【答案】A

【分析】根据函数图象和〃x),g(x)的奇偶性判断.

【详解】易知〃x)=/+l是偶函数，g(x)=4sinx是奇函数，给出的函数图象对应的是奇

函数，

A.^=/!(X)=7M=^T,定义域为山

/(X)X+1

4sin(一%)4sinx

又”-尤)=(一二;=一｝??=-"xl所以〃(x)是奇函数，符合题意，故正确；

/(x)X2+1

B.>=—=7—，x丰kn,keZ,不符合图象，故错误；

g(x)4sinx

C.y=h^x)=/(x)+g(x)-1=x2+1+4sinx-1=x2+4sinx,定义域为R,

但故函数是非奇非偶函数，故错误；

D.^=/z(x)=/(x)-g(x)-l=x2+l-4sinx-l=x2-4sinx,定义域为R,

但故函数是非奇非偶函数，故错误，

故选：A

4.(2024•河南新乡•二模)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量尸

(单位：mg/L)与时间单位：h)之间的关系式为尸=〃e*,其中［，左是正的常数，

若在前5h消除了20%的污染物，则常数人所在的区间为()

【答案】B

4

【分析】首先由题意列式］再利用指对互化，求解方程，再确定范围.

4

5k

【详解】由条件可知，当f=0时，P=P0,由题意可知，-P0=P0e~,

得弘=ln』，即左=11n?,

454

因为［*］4<e,f-Y>e,所以!

⑷⑷544

故选：B

5.（2024•内蒙古赤峰•一模）在下列四个图形中，点P从点。出发，按逆时针方向沿周长为

/的图形运动一周，。、尸两点连线的距离y与点尸走过的路程x的函数关系如图，那么点尸

所走的图形是（）

【答案】D

【分析】由点尸在第二条边上运动时，y的单调性可排除A,由图象的对称性可排除B,由

一开始丁与x是线性的可排除C,对于D,当图形是正方形时，可以验证它满足题意.

【详解】对于A,点P在第一条边上时，V=x,

但点尸在第二条边上运动时，y是随x的增大先减小（减到最小时了即为三角形的第二条边

上的高的长度），然后再增大,

对比图象可知，A错误；

对于B,＞与x的函数图形一定不是对称的，B错误；

对于C,一开始了与x的关系不是线性的，C错误；

对于D,因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为。，

点P在第一条边上时（即04x4。时），V=x,

点尸在第二条边上运动时（即。42a时），y=M+（x-aj,依然单调递增，

点尸在第三条边上运动时（即2aWxW3a时），y=^a2+（3a-x^,单调递减，

点P在第四条边上运动时（即3aWxW4a时），y=Aa-x,单调递减，

且已知V与％的图象关于x=2a=，（其中/=4a）对称，D正确.

2

故选：D.

二、多选题

6.（2024•全国•模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量

达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为

64Ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度了（单

位：ppm）与排气时间单位：分钟）之间满足函数关系y=ae"（a,R为常数，e是自然

对数的底数）.若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm,人就可以安全进入车库了，则下列说

法正确的是（）

A.a=128

B.R」n2

4

C.排气12分钟后浓度为16Ppm

D.排气32分钟后，人可以安全进入车库

【答案】ACD

【分析】由题意列式，求出。=128,R=-：ln2,即可判断A,B；可得函数解析式，将x=12

4

代入，即可判断C；结合解析式列出不等关系，求出人可以安全进入车库的排气时间，判断

D.

4R

\A.Q=64

【详解】设/⑺="七代入（4,64）,（8,32）,得SR”，

解得4=128,火=-Jln2,A正确，B错误.

4

(J_V7，

此时/«)=128(e")'=2'-22=2「"所以〃12)=24=16(ppm),C正确.

\7

当了⑺V0.5时，即<0,5=27，得7-;WT,所以此32,

所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，D正确.

故选:ACD.

7.(2023•广东广州•三模)已知函数/。)=照+——的图象与直线y=W；eR)有三个

xelnx+x

交点，记三个交点的横坐标分别为再户2户3，且再<龙3，则下列说法正确的是()

A.存在实数左，使得石=1

【答案】BCD

【分析】化简方程，令也=f，得d+(1-左)f-左+1=0,构造8(幻=更竺，贝Ug'(x)=e•匕室,

XXX

利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于X的方程三个不相等的实数解占,％,当,且

再<X2<%,结合图象可得关于r的方程》+(1-柱-左+1=0一定有两个实根％。

(?1<0<Z2<l),结合韦达定理，推出所求表达式的关系式，然后对选项一一判断即可得出

答案.

1elnx1,„

■、工q、Eelnxx7八一/口----1——：-------K=0

【详解】由方程----+1-------k=0,可得％elnx

xelnx+x-------h1

x

AInV1

令——=t则有，+-----左=0,即『+(1—左"一左+1=0.

x9Z+1

人丁皿/、elnxEI，/、1-lnx

令函数g(x)=---，则g(x)=e-----,

XX

令g<x)>0,解得0<x<e,令g'(x)v。，解得x〉e,

所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+◎上单调递减,

所以g(x)a=g(e)=旦配=1，作出图象如图所示,

e

pInVx

要使关于X的方程+-―^——k=o有三个不相等的实数解再,乙,W,且西〈无2<X3,

xemx+x

结合图象可得关于f的方程产+(I-4)/左+1=0一定有两个实根％,右，

且"VO,Ojvl或4=1,0<Z2<1,

令g(')=1+(1_左)'一左+［，若‘1<0，0<Z2<1,

g(O)=-A;+l<O

3

贝ljgjl)=3-2左>0故1<左得.

公=(-左+1)2—4(-左+1)=后2+2左一3>0

g(0)=-^+l>0

g(l)=3-2^=0

2

若"=1,0<Z2<1,则，A=(-^+l)-4(-^+l)=F+2^-3>0>无解，

0„<--\---k<1.

I2

综上：A:ell,|

，故C正确;

由图结合单调性可知W>e,故B正确;

若/⑴一左=1-左=。，贝IJ左=1,又左故A不正确;

［皿+1■峪+耳它+口=(%牙但+邛％口=,+。也+4：

eeQ

(再eJx2eJi/J(eeJee人eeJ(eeJvJ

t,lV/1}11zx11/7八1〃11

=-+-—2+-=—t\t+—［t+t)+—=—(-k+\)+—(k-V)+—=—,

人ee八ee力e2ex2eeeee

故D正确，

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：构造g(x)=旦竺，判断出函数g(x)的单调性，结合图象将

X

—+———k=0,转化成关于/的函数即可求解.

xeinx+x

三、填空题

8.Q2-23高三下•上海闵行•阶段练习）一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②

实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，请写出正确的序号顺

序.

【答案】②③①④⑥⑤

【分析】根据给定条件，利用数学建模的活动过程及顺序写出结论作答.

【详解】数学建模活动，根据实际情境，提出问题，基于问题，建立模型，通过模型的求解,

以检验模型解决问题的结果，

若结果不符合实际，还需重新建立模型；若结果符合实际，问题的回答便有了实际的结果,

所以正确的序号顺序是②③①④⑥⑤.

故答案为：②③①④⑥⑤

9.（2024・上海长宁•二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：

甲乙丙

接单量/（单）783182258338

油费S（元）107150110264110376

平均每单里程左（公里）151515

平均每公里油费a（元）0.70.70.7

出租车空驶率=筋济彳嬴编声;依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空

I——*——Il-LJ*I~-I-JHJ，L^、I\—L-

驶率的模型喋=〃SJ,左,。），并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、x%,贝U

x=（精确到0.01）

【答案】20.68

【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意,

从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解.

【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为士，出租车有载客时行驶的里程为友，

S7

—tk

tka

所以出租车空驶率〃=旦丁一1-------

s

a

对于甲，1一暨扁1产”。2326=23.26%,满足题意;

对于乙，1-8生丝^^0.2168=21.68%,满足题意;

110264

所以上述模型满足要求,

则丙的空驶率为X%=。0.2068=20.68%，即x=20.68.

故答案为：20.68.

四、解答题

10.（2024•浙江温州•二模）红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金x

（万元）与年收益了（万元）的8组数据:

X1020304050607080

y12.816.51920.921.521.92325.4

⑴用y=61nx+a模拟生产食品淀粉年收益了与年投入资金x的关系，求出回归方程；

⑵为响应国家'加快调整产业结构"的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益

为投入的10%.2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大

值.（精确到0.1万元）

n

＞丫幽-riv-u

附：①回归直线日=加+&中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：6=弋--------

»:-后

Z=1

a=u-b'V

②

8888

XX如叫丫

Z=1i=li=li=l

1612920400109603

③ln2«0.7,ln5«1.6

【答案】⑴》=5欣+2

(2)36.5

【分析】（1）利用回归直线的公式求3和a的值，可得回归方程.

（2）建立函数关系，利用导数分析函数单调性，求出函数的最大值.

88

8£1叫

603-8X"x回

ZInxiyi-81nx-y2In龙,％-8"—.七

/=]ay

【详解】⑴B，=188

~~82=5

2

Z（lnxj2_8（lnx）Z（lnxj2_8（lnx）109-8x

i=li=l

方=]_g.£=®_5x丝=2

"88

二回归方程为：y=51nx+2

（2）2024年设该企业投入食品淀粉生产尤万元，预计收益了（万元）

y=51tix+2+（200-x）•,0VxV200

・•.其在（0,50）上递增，（50,200）上递减

ymax=51n50+2+15=5（21n5+ln2）+17-5x（2xl.6+0,7）+17=36.5

IL（2024,江西上饶,一模）机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对机动车辆由于自

然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险.机动车辆保险

一般包括交强险和商业险两部分，其中商业险包括基本险和附加险.经验表明商业险保费

（单位：元）由过去三年的出险次数决定了下一年的保费倍率，上饶市某机动车辆保险公司

对于购买保险满三年的汽车按如下表格计算商业险费用.（假设每年出险次数2次及以上按

2次计算）

出险情况商业险折扣若基准保费3000元时对应保费

三年内6赔1.85400

三-年内5赔1.54500

三年内4赔1.23600

三年内3赔13000

三年内2赔0.82400

三年内1赔0.72100

三年内。赔0.61800

⑴汽车的基准保费由车的价格决定，假定王先生的汽车基准保费为3000元，且过去8年都

没有出险，近期发生轻微事故，王先生到汽车维修店询价得知维修费为1000元，理赔人员

根据王先生过去一直安全行车的习惯，建议王先生出险理赔，王先生是否该接受建议？（假

设接下来三年王先生汽车基准保费不变，且都不出险）

（2）张先生有多年驾车经验，用他过去的驾车出险频率估计概率，得知平均每年不出险的概

率为0.8,出一次险的概率为0.1,出两次险的概率为0.1（两次及以上按两次算）.张先生近

期买了一辆新车，商业险基准保费为3000元（假设基准保费不变），求张先生新车刚满三年

时的商业险保费分布列及期望.

【答案】⑴接受建议

⑵分布列见解析；期望为2106.3（元）

【分析】（1）计算出险和不出险两种情况的缴费情况，将差值与1000计较即可得结论；

（2）列出X的可能值，分别计算概率再计算期望即可.

【详解】（1）由于王先生过去三年都没有出险，

若不出险，王先生接下来三年只需按最低标准1800元缴费，共需5400元.

若进行理赔，则接下来三年每年需2100元，共需6300元

6300-5400=900<1000,故出险理赔更划算.

（2）设商业险保费数额为随机变量X,

则X的可能值为5400,4500,3600,3000,2400,2100,1800.

则尸（X=5400）=0.1x0.1x0.1=0.001

尸（X=4500）=C'（O.l）3=0.003

尸（X=3600）=C；（0.1）3+C；（0.1）20.8=0.027

尸（X=3OOO）=C^O.8xC*（0.1）2+（0.1）3=0.049

=2400）=C'O.l（O.8）2+C1（O.l）20.8=0.216

尸（X=2100）=C；（OK）?0」=0.192

P（X=1800）=（0.8）3=0.512

X5400450036003000240021001800

P0.0010.0030.0270.0490.2160.1920.512

则E（X）=5400x0.001+4500x0.003+3600x0.027+3000x0.049+2400x0.216

+2100x0.192+1800x0.512=2106.3（元）

综合提升练

一、单选题

1.（2023•河南郑州・模拟预测）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根

据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量4（单位：L/min）计算公式

为4=爪71瓶和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为N=——计算确定，其中尸为水雾

q

喷头的工作压力（单位：MPa）,K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S为

保护对象的保护面积，沙为保护对象的设计喷雾强度（单位：L/minm2）.水雾喷头的布置

应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量.当水雾

喷头的工作压力尸为0.35MPa,水雾喷头的流量系数K为24.96,保护对象的保护面积S为

14m\保护对象的设计喷雾强度少为20L/min-m2时，保护对象的水雾喷头的数量N约为

（参考数据：＞/3?5«1.87）（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

【答案】C

【分析】把给定的数据代入公式计算即可作答.

【详解】依题意，P=0.35MPa,K-24.96,S=14m2,W=20L/min-m2,

,—2S-W/口“S-W14x20________280_

由g=K师'Ny,得Ny而6

24.96x715~24.96x1.87''

所以保护对象的水雾喷头的数量N约为6个.

故选：C

2.（23-24高三上•河南•阶段练习）设某批产品的产量为x（单位：万件），总成本

c（x）=100+13x（单位：万元），销售单价p（x）="-3（单位：元/件）.若该批产品全

部售出，则总利润（总利润=销售收入-总成本）最大时的产量为（）

A.7万件B.8万件C.9万件D.10万件

【答案】B

【分析】表达出总利润关于x的关系式，变形后利用基本不等式求出最值，得到答案.

【详解】总利润/（x）=x---3-（100+13x）=732----16（x+2）

yXI乙）X十N

<732-2^^xl6（x+2）=412,当且仅当黑=16（x+2）,

即x=8时，/（x）最大，故总利润最大时的产量为8万件.

故选：B.

3.（2024•北京丰台•一模）按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和3系列，其中A系列

以阑，N1,...等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：

①加规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为1:亚；

②将/i（i=0,l,…,9）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为4（i+l）规格纸张（如

图）.

某班级进行社会实践活动汇报，要用加规格纸张裁剪其他规格纸张.共需/4规格纸张40

张，42规格纸张10张，H规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供阑规格纸张的张数

为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】设一张加规格纸张的面积为x,从而得到一张⑷、42、N4纸的面积，再求出所

需要的纸的总面积，即可判断.

【详解】依题意1张阑规格纸张可以裁剪出2张/I,或4张42或16张/4,

设一张加规格纸张的面积为x,

则一张W规格纸张的面积为gx,

一张/2规格纸张的面积为［x,

一张A4规格纸张的面积为4x,

依题意总共需要的纸张的面积为40xJx+10xJX+5X：X=7X+（X,

所以至少需要提供8张阑规格纸张，

其中将3张加裁出5张加和2张/2；将2张/（）裁出8张/2；

将剩下的3张NO裁出3x16=48张/4,

即共可以裁出5张/I、10张/2、48张N4.

故选：C

4.（2024•河北沧州•模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的

废水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为

2.25g/m3,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21g/n?,第〃次改良工艺后

排放的废水中含有的污染物数量/满足函