经济学导论-博弈理论补充习题

PAGEPAGE7第四章习题1.考虑如下扩展式博弈，指出以下博弈不存在纯战略序贯均衡，求出其混合战略序贯均衡（Gibbons书上练习4.2）。2.考虑下图扩展式博弈，并回答如下问题（Myerson书上练习4.5）。a.求出以上博弈所有的序贯均衡。b.如果除掉行动“g”，求出以上博弈所有的序贯均衡。3.考虑下图扩展式博弈，回答如下问题（Myerson书上练习4.1）a.计算对应的信息集上的信念；b.计算在给定信息集上参与人1和参与人2的期望支付；c.确定在所有信息集上参与人的非理性行为；d.找出以上博弈一个序贯均衡。4.考虑如下扩展式博弈，求出所有的序贯均衡。（Myerson书上例子）5.考虑下图扩展式博弈，并回答如下问题。（Myerson练习4.3）a.当，求出三个纯战略纳什均衡；b.求出参与人的信息集2.2和信息集2.3之间后验信念的关系；c.证明当x=1时，证明以上三个纳什均衡中有两个是序贯均衡，有一个不是序贯均衡；d.当x至少为多少时以上三个纳什均衡都是序贯均衡。6.考虑下图扩展式博弈，分析并回答如下问题。a.求出所有的分离均衡和混同均衡；b.利用剔除劣战略精炼以上均衡；c.利用直观标准精炼以上所有均衡。7.考虑一个企业融资和资本结构的博弈。企业由于进行一项新的项目需要向投资者融资I，新项目预期收益为，并且满，为投资者的机会成本。在没有投资之前的获利能力是企业的私人信息，可能取值，还可能取值，两者满足。博弈时序如下：自然首先决定的概率为；企业家观察到之后，向投资者提供股份；投资者观察到之后，决定是否向企业提供融资；如果投资者拒绝融资，则投资者的支付为，企业的支付为；如果投资者接受融资，投资者的支付为，企业的支付为。a.写出以上博弈的扩展式；b.在什么条件以上博弈存在分离均衡；c.在什么条件以上博弈存在混同均衡。8.考虑一个三阶段两个参与人的不完全信息博弈。在每一个阶段，参与人1有三个行动：，参与人2有两个行动：。参与人1有三种等概率的类型：。在任何阶段，如果参与人1类型是且两个参与人都选择行动则得到1，否则就是0；如果参与人1类型是且两个参与人都选择行动则得到1，否则就是0；如果参与人1类型是且参与人1选择行动则得到1，否则就是0。参与人2没有任何私人信息。在任何阶段，如果两个参与人都选择行动或者，则参与人2将得到1，否则就是0。现在问是否存在一个序贯均衡以下事件是正概率事件，第一阶段参与人1选择，第二阶段两个人都选择，第三阶段参与人2选择（摘自Tirole和Fudenberg练习8.7）。9.考虑两人提供公共物品不完全信息博弈，提供公共物品是0—1决策。参与人i提供公共物品成本是在都定义域为的独立的均匀分布，而且参与人的提供成本是参与人私人信息。.如果该博弈重复两次，即在第一阶段，两个参与人同时决定是否提供公共物品，在第二阶段，每个参与人在观察到第一阶段决策后，每个参与人也同时决定是否提供公共物品，每个阶段参与人的成本和效用如下图所示，求解本博弈的对称序贯均衡。表4.1提供不提供提供，，2不提供2，0，010.工会和企业老板在信息不对称条件下就工资进行讨价还价；员工的保留工资为0，企业利润服从均匀分布，企业利润是企业老板的私人信息。在第一阶段，工会提出要求工资，如果企业老板接受，则博弈结束，老板支付为，工会为；如果老板拒绝，则博弈进行第二阶段。在第二阶段，工会同样提出工资要求；如果企业接受，则企业老板得到，工会得到；如果企业老板拒绝则进行第三阶段博弈。在第三阶段，工会同样提出工资要求；如果企业接受，则企业老板得到，工会得到双方各得。现在假定双方的贴现因子都为，求解以上博弈的序贯均衡（Gibbons书中例子4.3.B加以改编）。11考虑一个企业进入市场的信号传递博弈。市场需求函数；潜在进入者的生产固定成本为0，其边际成本；在位者厂商固定生产成本为0，其边际成本可能是或，且的概率为；在位者厂商的边际成本是在位者的私人信息，但的概率为是共同知识。博弈时序如下：第一阶段，自然以的概率选择；第二阶段在位者决定市场价格和产量水平，进入者观察价格和产量后决定是否进入；在第三阶段，如果进入者没有进入，在位者依旧是市场垄断者。如果进入者已经进入，在位者和进入者进行古诺博弈，此时进入者已经知道在位者的边际成本。现假定进入者进入成本为6，时间贴现率为1（改自Milgrom和Roberts1982的论文）。a.求出一个分离均衡。b.在什么条件下存在混同均衡，并求出一个混同均衡。c.求出一个满足剔除严格劣战略标准的分离均衡。d.求出一个满足直观标准的混同均衡。12.考虑一个囚徒困境在不对称信息下的有限次博弈。其一次性博弈的支付矩阵如下图所示。现在假定每个参与人都有的可能性是“傻子”，可能性是个“精明人”。精明人总是选择对自己最有利的行动，支付如下表。傻子有一种特殊的偏好，总是按照以下的方式行事：开始选择努力工作；一直努力工作，除非对方在上一次偷懒；如果对方上次偷懒，自己将从本次开始一直偷懒下去。假定贴现因子，证明：不论多小（大于0），存在一个；使得只要博弈重复的次数；一开始就选择“偷懒”不是精明人的最优行为；更为一般地，只要,双方都会努力工作。表4.2努力偷懒努力2,2-1,3偷懒3,-10,013.考虑一个三个参与人两个阶段的动态博弈。只有参与人1和参与人2存在私人信息，参与人的类型等于的概率都是，并且参与人之间类型满足：。现在假设参与人1和参与人2在第一阶段选择行为战略，参与人3在第二阶段选择行为战略。若在某一个序贯均衡之中，不管何种类型参与人i总是选择行动。现在假设参与人1还是选择但是参与人2偏离原来均衡的行为战略，则问在此条件下，求出参与人3第二阶段关于的与原来序贯均衡一致或兼容的后验信念（摘自Tirole和Fudenberg练习8.8）。14.证明如果一个博弈具有完美回忆，则序贯均衡一定是纳什均衡。15.证明如果一个动态博弈中参与人类型之间是完全独立的，每个参与人至多有两个类型或者至多两个阶段，则贝叶斯精练纳什均衡一定是序贯均衡。贝叶斯精练纳什均衡定义与序贯均衡定义非常类似，仅仅关于零概率事件定义是不同的，参与人关于不同参与人类型的后验信念是完全独立的，即参与人i关于参与人j的类型信念和参与人k类型信念是完全独立的；在阶段后验信念仅仅由阶段行为战略和阶段后验信念决定。16.泽尔腾（1975）为了精炼纳什均衡，剔除不可置信的威胁，考虑参与人的犯错的可能性。具体地说，对于任何有限博弈，如果一个战略组合满足以下条件，则称战略组合为颤抖手均衡：a.证明任何有限博弈至少存在一个擅抖手均衡。b.如果是代理人标准式的擅抖手均衡，则必然存在一个信念系统，使得是一个序贯均衡。17.考虑如下战略式博弈，回答如下问题。如果表4.3中严格劣战略不存在，则以下战略式博弈之中唯一颤抖手均衡是。如果表4.3中严格劣战略是存在的，则以下战略式博弈之颤抖手均衡不再是唯一的（摘自Tirole和Fudenberg练习8.9）。表4.31,10,0-1,-20,00,00,-2-2,-1-2,0-2,-218.考虑如下一个廉价交谈博弈。信号发送者的类型是的均匀分布，接受者的行动空间为。信号发送者的支付函数为，接受者为，其中为接受者采取的行动，发送者的类型。a.证明完全信息交流，即发送者总是如实报告类型是不可能的。b.求出两者信息交流最大时的序贯均衡。19.考虑下图扩展式博弈，回答如下问题（Myerson书中练习4.9）a.证明在任何序贯均衡中，参与人3行动概率为1，即信息集3.3总是可到达。b.证明如果参与人1和参与人2关于参与人3行动的信念有所不同，则参与人1和参与人2理性决策导致参与人3行动的概率为0。20.考虑如下扩展式博弈，分析回答如下问题（Myerson书中例子4.9）。a.如果去掉下半部分博弈树，则以上博弈的唯一序贯均衡是都选择fi;b.如果存在一个序贯均衡参与人1在第一阶段选择g1,则的最小值。21.考虑垄断者通过价格显示质量的模型。消费者的效用函数为，为偏好参数，为产品质量，购买商品价格，即消费者只购买一单位商品。假定偏好参数取值为和，各自比例分别为和。垄断厂商的产品质量可能是,花费成本；产品质量也可能是，花费成本；并且满足：，。假定以上博弈重复两次，偏好参数是公共信息，产品质量是产商的私人信息。考虑以下两组参数（摘自和Tirole书中练习2.7）：a.如果消费者了解产品质量信息，证明在条件下高质量垄断厂商仅向消费者提供产品，低质量垄断厂商向所有消费者出售产品；而条件下则相反。b.假定消费者通过第一期购买才能获得质量信息，而且只有第一期购买的消费者第二期才会购买。证明在条件存在分离均衡，高质量产商比低质量产商索取更高的价格；而在条件下则结论正好相反。22.考虑如下两阶段科斯动态，思考垄断者动态定价问题。一个耐用品市场上存在一个垄断者，两种类型消费者。消费者类型，即耐用品对于消费者的价值是私人信息，价值的概率为，价值的概率为，且，以及。假设不存在价格歧视，垄断者在任何阶段仅仅能够提供一个