材料力学 - 轴向拉伸与压缩

第2章

轴向拉伸与压缩

本章主要研究：

拉压杆的内力、应力与强度计算

材料在拉伸与压缩时的力学性能

轴向拉压变形分析

简单拉压静不定问题分析

连接部分的强度计算§1

引言§2

轴力与轴力图§3

拉压杆的应力与圣维南原理§4

材料在拉伸与压缩时的力学性能§5应力集中概念§6许用应力与强度条件§7

胡克定律与拉压杆的变形§8

简单拉压静不定问题§9连接部分的强度计算§1

引言

轴向拉压实例

轴向拉压及其特点

轴向拉压实例火车车轮之间的连杆火车车轮之间的连杆火车车轮之间的连杆火车车轮之间的连杆火车车轮之间的连杆火车车轮之间的连杆

轴向拉压及其特点外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线轴向拉压:

以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式拉压杆:

以轴向拉压为主要变形的杆件§2轴力与轴力图

轴力

轴力计算

轴力图

例题

轴力符号规定：拉力为正,压力为负轴力定义：通过横截面形心并沿杆件轴线的内力

轴力计算试分析杆的轴力要点：逐段分析轴力；设正法求轴力（F1=F，F2=2F）轴力计算步骤:1.由平衡方程计算约束反力;

2.在需求轴力截面处,假想地将杆切开并取任一段为研究对象;

3.对研究对象画受力图,包括外力及内力,并将内力朝正方向假设;

4.由平衡方程求出未知轴力.

外力分析内力分析外力分析内力分析

轴力图

表示轴力沿杆轴变化情况的图线（即

FN--x图）,

称为轴力图以横坐标x

表示横截面位置，以纵坐标FN

表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。轴力(图)的简便求法：自左向右:轴力图的特点：突变值=集中载荷遇到向左的P

，轴力FN

增量为正；遇到向右的P

，轴力FN

增量为负。+–3kN5kN8kN5kN8kN3kN轴力=截面一边所有外力的代数和外力指向截面为负，远离为正。或

求图示阶梯轴各段内的轴力，并画轴力图。(1)求约束反力假设约束反力方向如图所示，由平衡方程ΣX=0，-F-18+8+6=0

例题例题1

拉伸与压缩解：F=-4kN(与假设方向相反）

例题例题1

拉伸与压缩（2）分段求内力2-2截面：

ΣX=0，

-F-18+N2=0，

N2=F+18=14(kN)1-1截面：

ΣX=0，

-F+N1=0，N1=F=-4(kN)3-3截面：

ΣX=0，

-N3+6=0，

N3=6(kN)

例题例题1

拉伸与压缩

(3)画轴力图轴力N1对应AB段轴力N2对应BD段轴力N3对应DE段N1=-4(kN)N2=14(kN)N3=6(kN)轴力图从0开始，最后回到0在轴力突变处有外力作用

例题例2-2等直杆BC,横截面面积为A,材料密度为r,

画杆的轴力图，求最大轴力解：1.轴力计算2.轴力图与最大轴力轴力图为直线§3拉压杆的应力与圣维南原理

拉压杆横截面上的应力

拉压杆斜截面上的应力

圣维南原理

例题

拉压杆横截面上的应力

横线仍为直线

仍垂直于杆轴

横线间距增大1.试验观察2.假设变形后,横截面仍保持平面,仍与杆轴垂直,仅沿杆轴相对平移

–

拉压平面假设3.正应力公式横截面上各点处仅存在正应力，并沿横截面均匀分布公式得到试验证实

已知AC段横截面面积A1=7(cm2)，CE段横截面面积A2=4(cm2)，求图示阶梯轴各段内的应力。

例题例题3

拉伸与压缩解：由轴力图可知轴上有四种不同的应力或

以上结果可知：CD段上的应力最大，破坏会出现在该段中。在应力计算时，力的单位用（N），长度单位用（mm），则得到的应力单位为（Mpa）。例题3

拉伸与压缩

例题横截面上的正应力均匀分布横截面间的纤维变形相同斜截面间的纤维变形相同斜截面上的应力均匀分布

拉压杆斜截面上的应力1.斜截面应力分布2.斜截面应力计算3.最大应力分析4.正负符号规定a

：以x

轴为始边，逆时针转向者为正

t：斜截面外法线On沿顺时针方向旋转90，与该方向同向之切应力为正

最大正应力发生在杆件横截面上，其值为s0

最大切应力发生在杆件45°斜截面上,其值为s0/2

圣维南原理杆端应力分布圣维南原理力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区约距杆端

1~2倍杆的横向尺寸杆端镶入底座，横向变形受阻，应力非均匀分布应力均布区应力非均布区应力非均布区

例题例2-4

已知：F=50kN，A=400mm2

试求：斜截面m-m上的应力

解：1.

轴力与横截面应力2.斜截面

m-m

上的应力例2-5

以加速度a向上起吊直杆,分析杆的轴力，并求最大正应力。横截面面积为A,材料密度为r。解：1.外力分析2.轴力与应力分析重力＋惯性力(达朗贝尔原理)§4

材料在拉伸与压缩时的力学性能

拉伸试验与应力－应变图

低碳钢的拉伸力学性能

其它材料的拉伸力学性能

材料压缩时的力学性能

温度对力学性能的影响

拉伸试验与应力－应变图拉伸标准试样GB/T228-2002《金属材料室温拉伸试验方法》拉伸试验

试验装置例—拉伸破坏试验

拉伸试验与应力－应变图应力－应变图

低碳钢的拉伸力学性能滑移线加载过程与力学特性低碳钢Q235滑移线缩颈与断裂sb-强度极限

E

=

tana

-

弹性模量sp-比例极限ss-屈服极限卸载与再加载规律e

p－塑性应变s

e－弹性极限e

e－弹性应变冷作硬化：由于预加塑性变形,使s

e

或s

p提高的现象材料的塑性

伸长率l－试验段原长（标距）Dl0－试验段残余变形

塑性

材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力

断面收缩率塑性材料：d

≥5%例如结构钢与硬铝等脆性材料：d

<5%例如灰口铸铁与陶瓷等A

－试验段横截面原面积A1－断口的横截面面积

塑性与脆性材料

其它材料的拉伸力学性能e/%s/MPa30铬锰硅钢50钢硬铝塑性金属材料拉伸s0.2－名义屈服极限铸铁拉伸时的力学性质铸铁拉伸时的

-曲线是一段微弯曲线，没有明显的直线部分，在较小的拉应力下即被拉断，没有屈服和缩颈现象，延伸率δ仅为（0.4-0.5）%，是典型的脆性材料。铸铁拉伸时只能测得断裂时的强度极限

b

。灰口铸铁拉伸断口与轴线垂直纤维增强复合材料拉伸

各向异性

线弹性

脆性材料碳纤维/环氧树脂基体单辉祖-材料力学教程44低碳钢压缩试验

材料压缩时的力学性能低碳钢压缩时的弹性模量E、屈服极限都与拉伸时大致相同，但超过屈服极限以后，由于试件越压越扁，横截面在不断增加，试件抗压能力也随之增高，因而无法测出压缩时的强度极限。由于有以上的特点，一般认为塑性材料拉伸和压缩的力学性质基本相同。低碳钢压缩

材料压缩时的力学性能低碳钢压缩愈压愈扁铸铁压缩时的力学性质铸铁压缩时的

-曲线与拉伸时相似，同样不存在屈服现象，而破坏断口与轴线大致成45o倾角，表明其破坏与最大切应力有关。压缩时的强度极限是拉伸时的4～5倍，说明铸铁的抗压强度远高于抗拉强度，因此铸铁常用作受压构件的材料。灰口铸铁压缩(sb)c=3

~

4(sb)t断口与轴线约成45o

温度对力学性能的影响材料强度、弹性常数随温度变化的关系中炭钢硬铝§5

应力集中概念

应力集中与应力集中因数

交变应力与材料疲劳概念

应力集中对构件强度的影响

应力集中与应力集中因数由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中应力集中应力集中因数smax－最大局部应力sn－名义应力d－板厚

交变应力与材料疲劳概念随时间循环或交替变化的应力交变或循环应力连杆N－应力循环数s/MPasbss疲劳破坏在交变应力作用下，材料或构件产生可见裂纹或完全断裂的现象，称为疲劳破坏在循环应力作用下，虽然小于强度极限，但经历应力的多次循环后，构件将产生可见裂纹或完全断裂钢拉伸疲劳断裂

应力集中对构件强度的影响

应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件

（塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大

对于塑性材料构件，当smax达到ss

后再增加载荷，

s

分布趋于均匀化，不影响构件静强度

对于脆性材料构件，当

smax＝sb

时，构件断裂§6许用应力与强度条件

失效与许用应力

轴向拉压强度条件

例题

失效与许用应力断裂与屈服，相应极限应力构件工作应力的最大容许值n

≥1安全因数静荷失效许用应力

轴向拉压强度条件保证拉压杆不致因强度不够而破坏的条件校核强度

已知杆外力、A与[s]，检查杆能否安全工作截面设计已知杆外力与[s]，确定杆所需横截面面积确定承载能力已知杆A与[s]，确定杆能承受的FN,max常见强度问题类型强度条件-变截面变轴力拉压杆-等截面拉压杆（1）根据具体的工程结构及受力情况，确定构件所承受的所有外载荷。如果结构的载荷正是需确定的许可载荷，可以假设为一变量------外力分析；（2）由构件的外力进而确定杆件的所有内力。此步骤中内力将会由外力来表示------内力分析；强度计算基本步骤：（3）计算最大工作应力------应力分析;（4）根据应力及截面情况，由强度条件计算某一类强度问题。外力分析

内力分析

应力分析

强度条件

例题例

2-6图示吊环，最大吊重

F=500kN，许用应力[s]=120MPa，夹角a=20°。试确定斜杆的直径d。解：1.问题分析轴力分析应力分析根据强度条件确定直径2.轴力分析3.应力计算4.确定直径d例

2-7已知：A1=A2=100mm2，[st]=200MPa，[sc]=150MPa

试求：载荷F的许用值－许用载荷

[F]解：1.问题分析轴力分析应力分析根据强度条件确定许用载荷2.轴力分析3.应力分析4.确定[F]讨论：若

已知：A1，A2，[s1]，[s2]，求载荷F的许用值时是否可以按下式计算

许可载荷应满足静力平衡条件，而与各杆力学性能无关各杆一般不同时达到各自的强度极限（除非等强度杆）结构许可载荷的含义是结构所能承受的最大安全载荷，到此载荷，结构中至少有一根杆件到达它自身的允许载荷不对。例

2-8

已知：

l,h,F（0<x<l）,AC为刚性梁,斜撑杆

BD的许用应力为[s]

试求：为使杆BD重量最轻,q的最佳值斜撑杆解：1.问题分析2.斜撑杆受力分析3.q最佳值的确定例

2-9

图示立柱，承受轴向载荷F。立柱的材料密度为r，许用应力为[s]。为使各横截面的应力均等于[s],试确定横截面沿立柱轴线的变化规律.立柱解：取微段分析其受力与平衡各横截面具有同样强度的立柱－等强度柱§7

胡克定律与拉压杆的变形

轴向变形与胡克定律

横向变形与泊松比

叠加原理

例题

胡克定律与杆的轴向变形实验表明：当s

sp

时，引入比例常数E胡克定律在比例极限内，正应力与正应变成正比－胡克定律E－弹性模量，其量纲与应力相同，常用单位为GPa轴向变形基本公式

EA－杆截面的

拉压刚度

Dl－伸长为正，缩短为负在比例极限内，拉压杆的轴向变形Dl，与轴力FN及杆长l成正比，与乘积EA成反比－胡克定律轴向变形一般公式

n－杆段总数FNi－杆段i的轴力变截面变轴力杆阶梯形杆

横向变形与泊松比拉压杆的横向变形泊松比试验表明：在比例极限内，e’

e，并异号m－泊松比

叠加原理算例1.分段解法试分析杆

AC的轴向变形

Dl2.分解载荷法3.比较叠加原理当杆件内力、应力及变形，与外力成正比关系时，通常即可应用叠加原理

原理

应用

例题

用叠加法分析内力几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和

例题例

2-10

已知

l=54mm,di=15.3mm,E＝200GPa,m=0.3,拧紧后,AB

段的轴向变形为Dl

＝0.04mm。试求螺栓横截面上的正应力

s,与螺栓的横向变形Dd

解：1.

螺栓横截面正应力2.螺栓横向变形

螺栓直径缩小0.0034mm叶片例

2-11图示涡轮叶片，材料密度为r，转速为w

试求叶片横截面上的正应力与轴向变形解：1.问题分析作用在

微段dx上的离心力：x

处的向心加速度：2.叶片外力分析向心加速度

离心惯性力

叶片轴向受力x

截面的轴力：x

截面的应力：4.叶片的轴向变形3.叶片轴力与应力解：1.轴力与变形分析例

2-12

图示桁架，杆1与2分别用钢与松木制成。F

=

10

kN；E1

=

200

GPa,A1

=

100

mm2,l1

=

1

m；E2

=

10

GPa,A2

=

4000

mm2。试求节点

A的水平与铅垂位移2.作图法确定节点新位置3.节点位移计算用切线或垂线代替圆弧作图4.讨论－小变形概念

与结构原尺寸相比为很小的变形，称为小变形

在小变形条件下，通常即可：按结构原有几何形状与尺寸，计算约束力与内力

采用切线代圆弧的方法确定节点位移例

2-13

F1

=

F2

/

2

=

F，求截面

A

的位移DAy解：1.计算FN刚体EA2.计算Dl4.位移计算3.画变形图刚体EA§8简单拉压静不定问题

静不定问题与静不定度

静不定问题分析

例题

静不定问题与静不定度

静不定问题仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题

静不定度未知力数与有效平衡方程数之差

静定问题仅由平衡方程即可确定全部未知力（约束反力与内力）的问题一度静不定静定问题

静不定问题分析分析方法求解思路

建立平衡方程

建立补充方程各杆的变形间满足一定关系补充方程变形协调方程

联立求解利用变形协调方程与物理方程，建立补充方程

平衡方程

变形几何关系

胡克定律

补充方程－变形协调方程E1A1=E2A2求解算例

联立求解平衡与补充方程综合考虑三方面

外力与

FNi

满足静力平衡方程

各Dli

之间满足变形协调方程

Dli

与FNi

间满足给定物理关系（例如胡克定律）（静力、几何与物理）静不定问题求解与内力的特点

内力分配与杆件刚度有关

一般讲，EiAi

，FNi

内力特点：

例题例

2-14求两端固定杆的支反力解：2.几何方面4.建立补充方程5.支反力计算联立求解平衡方程(a)与补充方程(b)3.物理方面一度静不定1.静力学方面解：1.

画变形与受力图注意受力图与变形图协调：

伸长～拉力；缩短～压力例

2-15已知：F

=

50

kN，[st

]

=

160

MPa，[sc

]

=

120

Mpa，A1=A2。试问：A1=?A2=?2.建立平衡方程3.建立补充方程5.截面设计4.内力计算联立求解平衡方程与补充方程例

2-16试画图示静不定桁架的变形图与受力图，建立变形协调方程。解：1.画变形图，建立变形协调方程设节点C位移至，过点向三杆作垂线。2.根据变形图画受力图解：例

2-17图示两端固定杆，试分析当温度升高

DT时，横截面上的应力sT。已知材料的线膨胀系数为al。在静不定杆系结构中,各杆段或各杆的轴向变形必须服从变形协调条件,温度变化一般将引起应力,称为热应力变形协调条件温度变形例

2-18

图示桁架,结构左右对称,杆3的实际长度比设计长度l稍短，误差为d,试分析装配后将各杆的轴力。已知杆1与杆2各截面的拉压刚度均为E1A1，杆3各截面的拉压刚度均为E3A3。解：画变形图画受力图

建立平衡与补充方程

1.建立平衡方程2.建立补充方程由几何关系，得变形协调方程联立方程（c）和（d）得3.轴力计算在静不定杆系结构中,各杆或各杆段的轴向变形必须服从变形协调条件,杆长制造误差一般将引起应力,称为初应力§9

连接部分的强度计算

连接实例

受力特点和变形分析

剪切与剪切强度条件

挤压与挤压强度条件

例题

连接实例耳片销钉螺栓4种常见联结件：螺栓、销钉、铆钉、键块

在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如：螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。99连接件特点可传递一般力，可拆卸。PP螺栓PP铆钉可传递一般力，不可拆卸。如桥梁桁架结点处于它连接。无间隙特点：传递扭矩。

受力特点和变形分析简单典型——1个螺栓、2个被联接的构件先研究螺栓的受力情况螺栓受力特点

1、

横截面mn,pq

上

有作用力V——

象剪刀一样，试图把螺栓从该截面处剪开

称V为剪力

，引起切应力

2、杆段①、②、③

受到被联接构件的挤压

引起挤压应力基于螺栓的受力分析，容易预测出螺栓可能的失效形式

（1）在截面mn,pq处被剪断（2）受挤压部分的半圆被“挤扁”

（近似半椭圆）

照片中的螺栓产生了塑性变形，验证了情况(2)还应当研究被联接构件有没有新的受力特点被联接构件受力特点

1、没有受剪力作用2、同螺栓杆段①、②、③对应半圆孔受到螺栓挤压，有可能导致变形过大而失效（变成近似椭圆孔）3、螺栓挤压，有可能把被联接构件端部豁开（一般将端部设计得充分长，抵御豁开力，因而对此不计算）nn（合力）（合力）PP综述连接处破坏三种形式：

①剪切破坏沿铆钉的剪切面剪断，如沿n–n面剪断

。

②挤压破坏铆钉与钢板在相互接触面上因挤压而使溃压连接松动，发生破坏。

③拉伸破坏PnnFs剪切面钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。一、剪切的概念

受力特点：大小相同，方向相反，作用线很近的一对力作用在杆件的两侧。

变形特点：上下两部分沿这一对力之间的横截面发生相对错动，该截面称为“剪切面”。

破坏特点：构件沿剪切面被剪断。

剪切与剪切强度条件nn（合力）（合力）PP剪切面：构件将发生相互的错动面，如n–n

。剪切面上的内力：内力—剪力Fs，其作用线与剪切面平行。PnnFs剪切面单剪：具有一个剪切面的剪切变形。双剪：具有二个剪切面的剪切变形。1、剪切内力：剪力Fs

剪力的计算，可以由截面法求得二、剪切的实用计算As

剪切面面积

(确定剪切面是计算τ的关键)2、剪切面上的应力：切应力

s假设：剪切面上的切应力均匀分布一般取[

]=(0.6-0.8)[σ]由抗剪强度条件也有三种强度计算问题：强度校核截面设计确定许可载荷三、剪切强度条件[t]-许用切应力

挤压与挤压强度条件挤压破坏－在接触区的局部范围内，产生显著塑性变形挤压应力－挤压面上的应力耳片销钉挤压面－连接件与被联接之间的接触面几个概念1.圆孔被拉长2.铆钉的侧面被压扁。

挤压破坏实例挤压强度条件最大挤压应力

Abs

：

挤压面面积一般取[sbs]=(1.7-2.0)[σ][sbs]-许用挤压应力三种强度计算:

强度校核截面设计确定许可载荷

当Abs为柱面时，以直径面计算当Abs为平面时，以平面面积计算

例题例

2-19

已知

d

=

2mm,b=15mm

,d=4mm,[t]

=100MPa,[sbs]=300

MPa，[s]=160

MPa。试求许用载荷

[F]解：1.破坏形式分析2.确定许用载荷[F]

例

2-20

F=80kN,d

=

10mm,b=80mm,d=

16

mm,[t]

=

100MPa,[sbs]

=

300

MPa,[s]

=

160

Mpa,校核接头的强度解：1.接头受力分析

当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影，通过铆钉群剪切面形心时，通常即认为各铆钉剪切面上的剪力相等2.强度校核剪切强度：挤压强度：拉伸强度：接头的强度足够例

2-21

已知：FN，a，b，h1，l

试求：剪切与挤压应力

为简化计算，设挤压面为光滑接触，同时，保险螺栓的受力也忽略不计解：1.受力分析2.挤压与切应力分析例题22

例题剪切冲床的最大冲力P为400（kN），冲头材料的许用压应力[σ]=440（MPa），钢板的抗剪强度极限τb=360（MPa）。试确定：（1）该冲床能冲剪的最小孔径；（2）该冲床能冲剪的钢板最大厚度δ。例题22

例题剪切解：（1）确定最小孔径为了冲头正常工作，必须满足冲头的压缩强度条件，即故该冲床能冲剪的最小孔径为34（mm）。例题22

例题剪切（2）确定冲头能冲剪的钢板最大厚度δ

故该冲床能冲剪的钢板最大厚度为10.4mm。例题4

例题剪切安全销确定安全销的剪切面和挤压面确定Q的大小例题5

例题剪切计算键的受力∑Mo=0键确定键的剪切面和挤压面例题6

例题剪切夹板铆钉联接，如何确定剪切面数？题图示螺钉受拉力P作用，已知材料的剪切许用应力[

]与拉伸许用应力[

]的关系为[

]=0.6[

]，试求螺钉直径d与钉头高度h的合理比值。题一螺栓将拉杆与厚为8mm的两块盖板相联接，如图所示，各零件材料相同，许用应力均为[

]=80MPa，[

]=60MPa，[

bs]=160MPa。若拉杆的厚度t=15mm，拉力P=120kN，试确定螺栓直径d及拉杆宽度b。PP/2P/2tdPPb算例例题外载集度

p=2MPa,角钢厚t=12mm,长L=150mm,宽b=60mm，螺栓直径d=15mm.求螺栓名义切应力和螺栓与角钢间的名义挤压应力（忽略角钢与工字钢之间的摩擦力）解：（1）角钢承受的总载荷（2）每个螺栓的剪力（3）螺栓所受的名义切应力4）单个螺栓与角钢间的挤压力（5）螺栓与角钢间的名义挤压应力本章习题2-1(b)(c),4,7+补充题2-13,14,15,162-20,22,23,242-28(a),29,30,31(a)2-35,36,38,392-17,18,25(b)求图示各杆指定截面的轴力，并作轴力图。图示一阶梯形截面杆，其弹性模量E=200GPa，截面面积AI=300mm2，AI