三角形中的中位线与中垂线模型-2023年中考数学几何模型重点突破训练

专题07三角形中的中位线与中垂线模型

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【模型1】三角形中位线

如图，已知D、E分别为AB、AC的中点，根据三角形中位线的性质，可得。且=

根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得

【模型2】梯形中位线

如图，已知4B〃CD,E、F分别为梯形两腰AD、BC的中点，根据梯形中位线的性质，可得

AB//CD〃EF,且所=gQB+C。），

【模型拓展1】常见的中位线辅助线作法

如图，在A45C中，已知点D为AB的中点，通常情况下，过点D作可知DE为A48C的中位

线。

【模型拓展2】常见的中位线辅助线作法

A

如图，在A48C中，已知点D为AB的中点，通常情况下，过点D作可知BC为A4DE的中位

线。

【模型3】中垂线模型

如图，已知直线/是AB的垂直平分线，点A是直线/上的一点，连接AB、AC,根据线段垂直平分线的性质可

得AB=AC。

【例1】已知：AA8C中，。为8C的中点，NG平分/A4C,CG，/G于G,连结DG,若AB=6,/C=4,

求DG的长.

【答案】0G=1

【分析】延长CG交AB于点E.根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG,AE=AC,再根据三角形中位线的

性质得出DG=gBE=g(ABAC),从而得出DG的长.

【解析】解：延长CG交AB于点E.

•••AG平分NR4C,。6_£/6于6,

CG=EG,AE=AC=4,

:.BE=AB-AC=2,

•：CG=EG,。为8c的中点，

DG=-BE=1.

2

故答案为QG=L

【例2】如图，在菱形ABCD中，NABC=60。，点E、尸分别为边3C、DC的中点，连接EF,求证：EF=43BE.

【答案】见解析

【分析】连接/C、BD,交于点O,根据三角形的中位线定理知跖=8。，在菱形48c。中，ZABC=60°,

同

易知/BCO=60。，解直角三角形OBC知BO=BC-sin60°=—SC=A/3S£，从而得证.

2

【解析】证明：如图，连接ZC、BD,交于点。，

•;E、尸分别是8C、DC的中点，

EF=-BD=BO,

2

在菱形/BCD中，ZABC=60°,

:.AC1BD,NCBD=3Q°,

ZBCO=60°,

BO=BC-sm60°^—BC=—-2BE^y/3BE,

22

.­.EF=43BE.

【例3】已知：如图，在AABC中，D在边AB上.

(1)若/ACD=/ABC,求证：AC2=AD-AB；

(2)若E为CD中点，ZACD=ZABE,AB=3,AC=2,求BD的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)V5.

【分析】(1)利用两组角分别相等，可证相似，然后对应边成比例，变形即可求解；

(2)过C作CF〃EB交AB的延长线于F,转化成(1)中的相似关系，列比例式，代入AB和AC的值即可求

解.

【解析】(1)在ANBC和△/(7£＞中，

ZACD=NABC,ZA=ZA,

AABCsA4CD,

.ADAC

"ACAB'

/.AC-=AD-AB；

(2)过C作CF//BE交AB的延长线于F,

A

D

由于E为C。中点，

ABF=BD,ZF=ZABE,

AACD=/ABE,

；・NACD=/F,ZA=ZA,

・•・LAFCs4ACD,

.ACAF

••茄一就‘

2

AC=ADAFf

VAC=2,AB=3,则/0=3—5。，AF=AB+BF=3+BD,

；.22=(3-AD)(3+AD),

解得：BD=V5.

一、单选题

1.如图，在平行四边形/BCD中，/C与交于点。，点£是8C边的中点，OE=l,则的长是（）

【答案】B

【分析】根据平行四边形的性质证明点。为/C的中点，而点E是8c边的中点，可证为△/BC的中位

线，利用中位线定理解题即可.

【解析】解：由平行四边形的性质可知/o=oc,

而E为BC的中点，即8E=EC,

OE为AABC的中位线,OE=yAB,

由。£=1,得4B=2.

故选B.

2.如图，平行四边形/BCD中，对角线NC、8。交于点。，点E是BC的中点.若O£=2cm,则N3的长

为（）

【答案】A

【分析】根据平行四边形的性质，得到CM=OC,结合EC=EB,得到0E是△/BC的中位线，根据中位线定

理，得到AB=2OE计算选择即可.

【解析】因为四边形/BCD是平行四边形，

所以OA=OC,

因为£C=M,

所以0E是△ABC的中位线，

所以N8=2O£,

因为OE=2,

所以45=4（cm）.

故选A.

3.如图，在△45。中，D、£分别是45、4C边上的中点，若。£=4,则5。等于（）

【答案】c

【分析】根据三角形中位线定理计算即可.

【解析】解：：D、E分别是N5、/C边上的中点，DE=4,

:.BC=2DE=2x4=8,

故选：C.

4.如图，在矩形/BCD中，AB=6,40=8,AE平分NBAD交BC于点、E.点、尸，G分别是ND,/E的中

点，则尸G的长为（）

AB

DC

A.3V2B.VioC.4D.5

【答案】B

【分析】由AE平分/BAD得NB4E=NDAE,根据矩形43。可得△4BE是等腰直角三角形，所以2E=/8=6,

从而可求EC=2,连接DE,由勾股定理得OE的长，再根据三角形中位线定理可求FG的长.

【解析】解：连接DE,如图所示：

•••四边形是矩形，

:.ZBAD=ZB=ZC=90°,AB=CD=6,AD=BC=8,AD〃BC,

ZDAE=AAEB,

,：AE平分ZBAD,

ZDAE=/BAE=45°,

ZBAE=ZAEB,

AB=BE=6,

/.EC=BC-BE=2,

DE=-]CE2+CD2=A/22+62=2厢，

,・•点尸、G分别为40、ZE的中点，

是A/DE的中位线,

:.FG=-DE=y/]O；

2

故选：B.

AB

DC

二、填空题

5.如图，已知在RtZ\48C中，ZACB=90°,点。是NC延长线上的一点，/。=24,点£是3C上一点,

BE=1Q,连接。E,M、N分别是N2、DE的中点，则“N=

【答案】13

【分析】连接BD,取BD的中点F,连接MF、NF,由中位线定理可得NF、MF的长度，再根据勾股定理

求出MN的长度即可.

【解析】连接BD,取BD的中点F,连接MF、NF,如图所示

：M、N、F分别是AB、DE、BD的中点

；.NF、MF分别是aBDE、△ABD的中位线

NFUBE,MFIIAD,NF」BE=5,MF=-AD=12

22

NACB=90。

：.AD1BC

"MFHAD

：.MFIBC

'：NF//BE

：.NFIMF

在Rt丛MNF中,由勾股定理得

MN=y/NF2+MF2=A/52+122=13

故答案为：13.

6.如图，在四边形/SCO中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=5,CD=3,EF=2,ZAFE=45°,则

ZADC的度数为.

【答案】135°

【分析】连接根据三角形中位线定理得到虾〃瓦），BD=2EF=4,根据勾股定理的逆定理得到/8DC

=90。,计算即可.

【解析】解：连接

,:E、尸分别是边/8、/£＞的中点，EF=2,

J.EF//BD,BD=2EF=4,

：.ZADB=ZAFE=45°,

又,：BC=5,CD=3,

：.BD2+CD2^25,BC?=25,

:.BD2+CD2=BC2,

：.ZBDC^90°,

：.ZADC=ZADB+ZBDC=135°,

故答案为：135。.

A

D

I」\

BC

7.梯形ABCD中，/2||CD,点E,F,G分别是BD,AC,DC的中点，已知：两底差是3,两腰的和是

6,则AFFG的周长是.

【答案】|9

【分析】连接AE,并延长交CD于K,利用“AAS”证得△AEB/ZkKED,得到DK=AB,可知EF,EG、FG

分别为△AKC、ABDC和AACD的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG,可求得答案.

【解析】连接AE,并延长交CD于K,

VAB/7CD,

.\ZBAE=ZDKE,ZABD=ZEDK,

:点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.

；.BE=DE,

在AAEB和△"口中,

「NBAE=NDKE

，ZABD=ZEDK,

BE=DE

AAAEB^AKED(AAS),

；.DK=AB,AE=EK,EF为△ACK的中位线,

.".EF=|cK=|(DCDK)=；(DCAB),

VEG为aBCD的中位线,

.*.EG=-BC,

2

又FG为4ACD的中位线，

AFG=-AD,

2

・・・EG+GF=；(AD+BC),

・・,两腰和是6,即AD+BC=6,两底差是3,即DCAB=3,

3

・・・EG+GF=3,FE=一,

2

39

・，・ZXEFG的周长是3~1—=—.

22

Q

故答案为：—.

8.如图，正方形45CD的边长为2,点£,点尸分别是边5C,边C。上的动点，且BE=CF,4£与5b相

交于点尸.若点M为边的中点，点N为边C。上任意一点，则〃N+7W的最小值等于.

【答案】Vio-i

【分析】作M关于CD的对称点Q,取AB的中点H,连接PQ与CD交于点NT连接PH,HQ,当H、P、

N\Q四点共线时，MN+NP=PQ的值最小，根据勾股定理HQ,再证明4ABEtZ^BCF,进而得4APB为

直角三角形，由直角三角形的性质，求得PH,进而求得PQ.

【解析】解：作m关于的对称点。，取45的中点连接尸。与CD交于点N,连接尸〃，HQ,贝

MN=QN,

・・•四边形是正方形,

：・AB=BC,AB//CD,NABC=NBCD=90。,

在△&5£*和△5CF中,

AB=BC

</ABE=/BCF,

BE=CF

:•△ABEQ/\BCF("S),

/AEB=/BFC,

■:AB〃CD,

：.ZABP=ZBFC=NAEB,

:ZBAE+ZAEB=90°f

：.ZBAE+ZABP=90°f

：.ZAPB=90o,

：.PH=-AB=\,

2

点是BC的中点，

：.BM=MC=CQ==1,

"：PH+PQ>HQ,

...当X、P、。三点共线时，PH+PQ=HQ=^BH2+BQ2=&+[=&的值最小，

二尸。的最小值为Ji6-1,

此时，若N与N重合时，MN+PN=MN+PN=QN+PN=PQ=屈-1的馆最小,

故答案为JHi-l.

9.如图，在口48co中，对角线AD相交于点。，AB=OB,E为NC上一点，BE平分/4B0,EF±BC

于点凡ZCAD=45°,EF交BD于点、P,BP=5则8C的长为.

【答案】4

【分析】过点E作EM〃AD,由△ABO是等腰三角形，根据三线合一可知点E是AO的中点，可证得

EM=yAD=yBC,根据已知可求得NCEF=/ECF=45。，从而得NBEF=45。，ABEF为等腰直角三角形，可

得BF=EF=FC=,BC,因此可证明△BFP^^MEP(AAS),则EP=FP=3FC,在Rt^BFP中，利用勾股定

理可求得x,即得答案.

【解析】过点E作EM〃AD,交BD于M,设EM=x,

VAB=OB,BE平分NABO,

.♦.△ABO是等腰三角形，点E是AO的中点，BE1AO,ZBEO=90°,

AEM是△AOD的中位线，

又：ABCD是平行四边形，

.".BC=AD=2EM=2x,

VEF±BC,ZCAD=45°,AD〃BC,

；.NBCA=/CAD=45°,ZEFC=90°,

AAEFC为等腰直角三角形，

；.EF=FC,ZFEC=45°,

ZBEF=90°ZFEC=45°,

则ABEF为等腰直角三角形，

.*.BF=EF=FC=yBC=x,

：EM〃BF,

.••ZEMP=ZFBP,ZPEM=ZPFB=90°,EM=BF,

则aBEP之ZkMEP(ASA),

EP=FP=yEF=yFC=1X,

/.在RtABFP中，BP2=BF2+PF2，

即：(6)2=/+(14，

解得：x=2,

・・・BC=2x=4,

故答案为：4.

MD

10.如图，梯形45。中，ND=90。，AB||CD,将线段C2绕着点3按顺时针方向旋转，使点C落在CD

S1

延长线上的点E处.联结/£、BE,设BE与边4D交于点F,如果/2=4,且土织=5，那么梯形

的中位线等于

【答案】8

s]

【分析】由根据三角形的面积公式，由产区=彳得黑=:，进而求得。£=2,从而求得底边EC的长，于

\人AREZAb2

是可求得CD的长，进而求得梯形NBCD的中位线.

【解析】解：过点2作WLCE于点如下图，

EDM

VAB||CD,ZD=90°,

ZADC=180°ZA=180°90°=90°,

C1

*v2，

^△ABF4

□△ABF—AF・AB

2

4B=4,

:・DE=2,

,：BM2CE,

：.ZBMD=90°,

・•・四边形/皿。是矩形，

；・DM=AB=4,

：.EM=2+4=6,

・・•将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点。落在CD延长线上的点E处，

；.BE=BC,

•：BM_LCE,

：.EC=2EM=n,

ACD=122=10,

：.mABCD的中位线为：1x(4+10)=7,

故答案为：8.

11.如图，平行四边形4BCD中，对角线NC,BD交于点、O,BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,

的中点.下列结论正确的是.(填序号)

@EG=EF；②AEFG乌AGBE；③EA平分NGEF；④尸8平分BEFG；⑤四边形8EFG是菱形.

【答案】①②③

【分析】由中点的性质可得出所||CD,且EF=gcD=EG,结合平行即可证得②结论成立，由

BD=2AD=28。得出8。=8。，即而得出庞'_L/C,由中线的性质可知GP//8E，且GP=立,AO=2EO,

通过证DAPG^DEPG得出ZG=EG=EF得出①成立，再证DGPE@DFPE得出④成立，此题得解.

【解析】解：令G厂和NC的交点为点P,如图

AD

・；E、/分别是OC、的中点，

：.EF\\CD,且斯=；CZ）,

•••四边形4BCD为平行四边形，

AB//CD,且=m

/.AB\\EF

\£FEG=£BGE（两直线平行，内错角相等），

•・•点G为的中点，

\BG=-AB=-CD=FE,

22

BG=FE

在A£FG和AGBE中，＜/FEG=/BGE,

GE=EG

\DEFG@DGBE（SAS）,艮|]②成立，

\£EGF=£GEB,FE=BG,

\GF//BE（内错角相等，两直线平行），

•.•5Q=2BC,点。为平行四边形对角线交点,

\BO=-BD=BC,

•・・E为。。中点,

:.BELOC,

：.ZBEA=90°f

GF〃BE,

：.ZAPG=ZBEA=90°,

\GpcAC,

为48中点,

Z.GE=-AB=-CD=EF,即①正确；

22

*.•GE=EF,GPLAC,

，EA平分ZGEF即③正确；

另外，无法判断总平分DEFG和四边形瓦部G是菱形成立，故④⑤错误；

综上所述，正确的有①②③，

故答案为：①②③.

12.如图，三角形纸片/8C中，点D,E,歹分别在边AC,8c上，BF=2,CF=6,将这张纸片沿直线

翻折，点N与点/重合.若DE〃BC,BF=DF,则△/£>£的面积为.

【答案】2^/3

【分析】根据折叠的性质、平行线的性质、三角形中位线的性质、等边三角形的判定和性质和30。直角三角

形的性质求解即可.

【解析】解：•••纸片沿直线翻折，点N与点厂重合，

二。£垂直平分4F.

：.AD=DF,AE=EF.

\'DE//BC,

为A/BC的中位线.

DE=yBC=y(BF+CF)=1x(2+6)=4.

,:BF=DF,

:.ABDF为等边三角形.

：.ZB=60°.

在必△AFB中，ZBAF=3>0°,BF=2,

:.AF=#,BF=26,

四边形ADFE的面积=gXDEX4F=；x4x2行=4g.

/.AADE的面积=gx4xg=26.

故答案为：2省.

三、解答题

13.如图，在四边形48C。中，AD=BC,E、尸分别是边DC、的中点，FE的延长线分别BC

的延长线交于点“、G,求证：ZAHF=ZBGF.

【答案】证明见解析

【分析】连接BD,取BD的中点，连接EP,FP,根据三角形中位线定理即可得到PF=3AD,PF〃AD,

EP=yBC,EP〃:BC,进而得出/AHF=/BGF.

【解析】解：如图所示，连接BD,取BD的中点，连接EP,FP,

VE,F分别是DC、AB边的中点，

AEP是4BCD的中位线，PF是4ABD的中位线，

/.PF=yAD,PF/7AD,EP=yBC,EP〃BC,

ZH=ZPFE,ZBGF=ZFEP,

又：AD=BC,

；.PE=PF,

.\ZPEF=ZPFE,

ZAHF=ZBGF.

H

G

14.如图所示，AA8C中，ZB4c=90。,延长34到。，使4D=工AB,点E是/C的中点，求证：BC=2DE.

2

【答案】见解析

【分析】可知所是△/BC的中位线，根据三角形中位线的性质，可得EF〃出EF=^AB,又由

即可得4。=跖，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形NEED是平行四边

形.DE=AF,由在无△/8C中，/B4c=90。,点E边8c的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的

一半，可求得4F=g8C.所以。E=28C

【解析】证明：取8c的中点R连EF,AF,

；点E、厂分别为边3C,/C的中点，即斯是△NBC的中位线,

J.EF//AB,EF=^AB,

即EF//AD,

"：AD=^AB,

：.EF=AD,

二四边形AEFD是平行四边形；

：.AF=DE.

:在放△NBC中，/A4c=90。，点£边的中点，

：.AF=^BC,

V四边形/血）是平行四边形，

：.BC=2DE.

15.如图，已知菱形/BCD中，DE上AB于点、E,DE=4cm,ZA=45°,求菱形/BCD的面积和梯形。E8C

的中位线长（精确到0.1cm）

【答案】菱形的面积是22.7cm2,梯形DE3C的中位线长是3.7cm.

【解析】解：：四边形N3CD是菱形，

：.AD=DC=AB,

'：DEVAB,

：.ZAED=90°,

:乙4=45。，

LADE是等腰直角三角形,：.AE=DE=4,

由勾股定理得，AD=742+42=472»

:.AB=4血，

菱形ABCD的面积为DExAB=4x4a=16夜=22.7cm2,

；8£=4拒4,CD=AD=4亚,

二梯形。跖。的中位线长（4a4+4&）+2=4a237cm.

答：菱形/BCD的面积是22.7cm2,梯形。E8C的中位线长是3.7cm.

16.如图，已知在平行四边形/BCD中，。是对角线/C与8。的交点，。£是△48C的中位线，连接4B

并延长，与。C的延长线相交于点凡且/b=40,连接8F.证明四边形N59C为矩形

D

o

F.

【答案】证明见解析

【分析】先通过平行四边形及中位线的性质证明△/BE之△尸CE,从而得到四边形尸C为平行四边形，再

结合等腰三角形的三线合一证明N/CF=90。即可得到答案.

【解析】证明：•.•四边形48。是平行四边形

AB//CD,AB=CD

：.NABE=ZFCE.

「OE是△Z8C的中位线

：.BE=CE

在AABE和△/CE中，

ZABE=ZFCE

<BE=CE

NBEA=NCEF

：.AABE咨AFCEIASA)

：.AB=CF

...四边形/BFC为平行四边形

CF=CD

又；4F=AD

：.—90°

四边形/BFC为矩形

17.已知：如图，在等边A48C中，ZADE=60°,且DE交AA8C外角平分线CE于点E.

(1)当点。为BC中点时，试说明与。E的数量关系;

(2)当点。不是8c中点时，试说明AD与。E的数量关系.

【答案】(1)AD=DE,见解析.(2)AD=DE,见解析.

【分析】(1)AD=DE.由等边三角形的性质和平行线的性质得到/BDF=NBFD=60。，于是得到是

等边三角形，再证明4AFD也4DCE即可得到结论；

(2)AD=DE.由等边三角形的性质和平行线的性质得到/BDF=NBFD=60。，于是得到△BDF是等边三角

形，再证明△AFDgZXDCE即可得到结论；

【解析】(1)结论：AD=DE,理由如下：

如图：过点D作DF〃AC,交AB于点F,

VAABC是等边三角形，

；.AB=BC,ZB=ZACB=ZABC=60°.

又：DF〃AC,

ZBDF=ZACB=60°,

.♦.△BDF是等边三角形，

.\DF=BD,ZBFD=60°,

VBD=CD,

；.DF=CD

AZAFD=120°.

：EC是外角的平分线，.•./ACE=60。，

ZDCE=ZACB+ZACE=120°=ZAFD,

ZADB=ZADC=90°,

.,.ZADF=ZEDC=30°,

在AAFD与AEDC中，

ZAFD=ZDCE

<DF=CD,

ZADF=ZEDC

.".△AFD^ADCE(ASA),

；.AD=DE；

(2)结论:AD=DE；理由如下：

如图2,过点D作DF〃AC,交AB于点F,

VAABC是等边三角形，

.*.AB=BC,ZB=ZACB=ZABC=60°,

又：DF〃AC,

ZBDF=ZACB=60°,

.♦.△BDF是等边三角形，.\BF=BD,ZBFD=60°,

；.AF=CD,ZAFD=120°,

：EC是外角的平分线，.../ACE=60。，

ZDCE=ZACB+ZACE=120°=ZAFD,

ZADC是AABD的外角，

ZADC=ZB+ZFAD=60°+ZFAD,

ZADC=ZADE+ZEDC=60°+ZEDC,

.".ZFAD=ZEDC,

在AAF。和ADCE中，

ZDAF=ZEDC

<AF=CD,

ZAFD=NDCE

.,.△AFD^ADCE(ASA),

；.AD=DE.

18.A/BC中，BC=4,AC=6,ZACB=m°,将绕点A顺时针旋转n。得到△/£万，E与B是对应点,

如图1.

(1)延长BC、EF,交于点K,求证：ZBKE=n°；

（2）当m=150,n=60时，求四边形CEFA的面积；

（3）如图3.当n=150时，取BE的中点P和CF的中点Q,直接写出尸。?的值.

【答案】（1）见解析；（2）12+96；（3）8-473

【分析】（1）根据旋转的性质可得4跖=4,利用三角形的外角性质可得=尸，从而

得至！JZBKE=ZBAE=n°；

（2）连CF,作出，/C于根据条件得到A4c尸是等边三角形，则/跖C=90。，从而根据

S四边形CEE4=又而+S^CF计算即可；

（3）取CE中点G,连接PG,QG,构造4GPQ为等腰三角形，并结合中位线定理以及旋转的性质求解

ZPGQ=30°,再作CNLFA于N点，结合旋转的性质求解出sinl5。=”一④,最后在AGP、中运用“三线

4

合一”的性质求解出PQ的长度得出结论.

【解析】（1）设CK、4E交于点尸，

\AEF是\ABC旋转所得，

\AEF=AABC,

NAEF=NB,

ZBKE=ZKPA—ZAEF,

/BAE=/KPA—/B,

ZBKE=ZBAE=废；

BA

(2)连CF,作方H_L4C于H,

\AEF=AABC,

：.EF=BC=4,AF=AC=6,

/AFE=/ACB=\5。。,

二.A4cb是等边三角形，

/./AFC=60°,

/EFC=/AFE-ZAFC=150。—60°=90°,

S.^-CF-EF=-x6x4^n,

A。rF0F722

■.■AH=^AC=3,FH=NAF?-4H2=J36-9=3石，

:AC-FH==x6x3粗=9C,

c22

(3)如图，取CE中点G,连接PG,QG,

则PG,QG为ABCE和AFCE的中位线，

:.PG=；BC=2,QG=^EF=2,ZXGPQ为等腰三角形，

根据中位线定理可得：ZBCE=ZPGE,ZCEF=ZCGQ,

AZPGQ=ZPGE+ZCGQ180°=ZBCE+ZCEF180°,

XVZBCE+ZCEF=ZBCE+ZCEA+ZAEF=ZBCE+ZCEA+ZABC,

.•.在四边形ABCE中，ZBCE+ZCEA+ZABC=360oZBAE=360°150o=210°,

ZBCE+ZCEF=210°,ZPGQ=ZPGE+ZCGQ180°=210°180°=30°,

作CNJ_FA于N点，根据旋转可知，ZCAF=150°,AC=AF=6,ZAFC=15°,

ZCAN=30°,

在RtACAN中，AC=6,