江苏省镇江市2024-2025学年高三年级上册期初考试数学试卷（解析版）

2024〜2025学年度上学期高三期初试卷

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知一组数据：4,6,7,9,11,13,则这组数据的第50百分位数为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】借助百分位数定义计算即可得.

7+9

【详解】由6x05=3,故这组数据的中位数为——=8.

2

故选：C.

2.已知集合人=何必一3%-4V。},5={xeN|2-x>。},则4口3=（）

A.{3,4}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}

【答案】B

【解析】由题意可得A={x|—l«x<4},8={xeN|x<2},则4。8={0,1}.

故选：B.

3.已知无>0,y>0,孙=4,则x+2y的最小值为（）.

A.4B.4.72C.6D.8A/2

【答案】B

【解析】由于x>0,y>0,所以尤+2y22"弓=40,当且仅当x=2y=2拒时取等号，故x+2y

的最小值为4J5.

故选：B

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4.由数字2,3,4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（）

1

D.一

2

【答案】A

【解析】将2,3,4组成没有重复数字的三位数，共有A；=6种，

而其中偶数有两种情况：

①以为个位数的三位数，是342,342,共有2种

②以为个位数的三位数，是234,324,共有2种

所以，这个三位数是偶数的情况共有2+2=4种，

42

所以，这个三位数是偶数的概率为事件，则尸（A）=：=；.

63

故选：A.

5.若正三棱锥的所有棱长均为3,则该正三棱锥的体积为（）

A.373B.显C.D.瓜

124

【答案】C

【解析】如图，正三棱锥尸—ABC,PA=PB=PC=AB=AC=BC=3,

取5c中点，连接AD,取等边三角形ABC的中心，连接尸0,

由正四面体的性质可知，顶点与底面中心连线垂直底面，

平面ABC

即三棱锥尸—ABC的高为P0,

：AB=AC=BC=3,

:•AD=^^，：-A0=6

2

•••6>P=J32-（V3）2=n，

._1mJ1QQG/7_9A/2

,•vVP-ABC=1Sv1eOP=w义彳x3x3x丁*46=——­

3AB3224

故选：C

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p

Cq--------------:一：二*

B

6.随机变量服从N（〃，〃），若p（xNi）=p（X<3）,

则下列选项一定正确的是（）

AP（X>3）=1B.（T=1

C.〃=2D.P（X>3）+P（X<1）=1

【答案】C

【解析】因为P（X»1）=P（X<3）,

由正态分布的对称性，可得〃=2,正态分布方差无法判断，

P（X>3）<1,P（X>3）+P（X<1）<1,

所以ABD错误.

故选:：C

7.已知正方体ABCD-44GB的棱长为，点为侧面四边形CDD©的中心，则四面体NCBG的外接球

的体积为（）

A.271B.4兀C.2缶D.■^答

如图：取4c中点，连结NO,NC,NG，NB[,ND],BR,

因为ABCD-A4G2的棱长为的正方体,

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所以|oc|==|0G|=0，且|。2==3，

所以四面体NC4G的外接球的球心为为，且外接球半径H=V2，

所以四面体NCBG的外接球的体积V=，兀(四丫=半兀.

故选：D.

8.已知定义域为R的函数/(%),满足"1—x)/(l—y)+/(x+y)=/(x)/(y),且

/(o)^o,/(-i)=o,则以下选项错误的是()

A./(1)=0B./'(x)图象关于(2,0)对称

c.y(x)图象关于(1,0)对称D.y(x)为偶函数

【答案】B

【解析】对于A,令x=l,y=。，则/(0)〃1)+/(1)=/(1)/(0),所以/⑴=0,故A正确；

对于B,令x=y=。，则/⑴/⑴+/(0)=./'(0)/(0),即/(0)=尸(0),

解得：/或了(0)=1,因为了(0)片0,所以/(0)=1,

令x=y=l,/(0)/(0)+/(2)=/(1)/(1),所以〃2)=-1,

所以/(X)图象不关于(2,0)对称，故B错误；

对于C,令y=l,则有/(I—x)〃0)+〃x+l)=〃x)/(l)

即/。―x)+/(x+l)=0,故/'(x)图象关于(1,0)对称，故C正确.

对于D,令y=—l,则有“1—X)〃2)+/(XT=〃X)〃—1)

即_/(1_%)+/(%-1)=0，即=

即/(x)=〃lrT)=〃f)，因为函数的定义域为R,

所以为偶函数，故D正确.

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列求导运算正确的是()

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A.（e3x）f=3eB...........-x

2

C.（2sinx-3）f=2cosxD.

x（2-x）

【答案】CD

【解析】对于A选项，（e3x）'=e3J（3x）'=3e3,A错误;

2x-（2x+l）-2x2*52x2+2x

对于B选项,B错误;

[2x+l）（2x+l）2（2x+l）2（2x+l）2

对于C选项，（2sin%-3）=2cosx,C正确;

对于D选项,x~~（2-x）2—~x（2-x）;D正确.

2-x

故选：CD.

34

10.已知事件A与B发生的概率分别为尸（A）=M，P（B）=M，则下列说法正确的是（）

17?

A「58）=石B.P（A|B）＞-

232

C.P（A+B）=^|D.-＜P（B|A）＜1

【答案】BD

【解析】对于A,由于题目中没确定事件A与2是否相互独立，

3412

所以尸（43）=。（4）・。（3）=（乂］=石，不一定成立，故A错误；

342

对于B,由于尸（A+JB）=P（A）+P（5）—P（AB）=—+——P（AB）＜1,则尸（A3）2—,

2

,、P（AB}712

则尸（A|B）=「⑻川丁］＞。，故B正确；

5

对于C,由于题目中没确定事件A与B是否相互独立,

341223

所以。（4+3）=「（4）+「（3）—P（A3）=《+不—玄=玄，也不一定成立，故C错误;

2

,、P（AB}722

对于D,P（B|A）==故£<P（3|A）V1,故D正确;

±33

5

故选：BD.

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II.函数y=/(x)的定义域为，区间/,对于任意花，(七/马)，恒满足

f1二产>，(*)；，("),则称函数“X)在区间上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是

()

A./(x)=lnxB./(%)=eA'

Cf(%)=%2D./(x)=Vx

【答案】AD

【解析】对A：X],x2e(0,+oo),

XI+x>〃石）+/（々）oX]+%2>In石+ln。

2ln二ln册工

2222

由/(x)=Inx在(0,+oo)上单调递增,故其等价于"殳>

|2>0，故满足题意，故A正确;

%+%2>e』+eA'2

对B：JxeR,f

22—2―2-

1

e+

取者=-1,x2=l,可得。宥d+e*e>

22

1

A-I-----

又1〈二C，故此时不满足题意，故B错误;

2

22,

XI+x2玉+々

对C：X],x2eR,f

2一2一2

化简得(西-々yV。恒成立，不满足题意，故C错误;

对D：工,x2e[0,+oo）,/叫小）=nRK,

左右平方后化简可得(6-直0,故满足题意，故D正确.

故选：AD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5,

并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为.

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【答案】亮

【解析】解：某人参加考试，4道题目中，答对的题目数满足二项分布X~B14,g

所以P（X»3）=P（X=3）+P（X=4）=C：

故答案为：—

16

13.已知二次函数“X）从1到1+Ax的平均变化率为2Ax+3,请写出满足条件的一个二次函数的表达式

"%)=

【答案】2/—龙（答案不唯一）

【解析】设/(%)=ax2+bx+c,

则/(I+Ax)-7•⑴tz(l+Ax)2+b(l+Ax)+c-(〃+b+c)

=tzAx+2〃+b，

1+Ax-lAx

a=2a=2

由题意知＜解之得

2a+b=3b=­l

显然c的取值不改变结果，不妨取c=0,贝1]/（%）=2/—x.

故答案为：2必-％

14.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持

与两平面都接触（如图）.勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径

的四个球的公共部分围成的几何体.若构成勒洛四面体ABCD的正四面体A3C。的棱长为2,在该“空心”勒

洛四面体ABC。内放入一个球，则该球的球半径最大值是

【答案】2—亚

2

【解析】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球,

由对称性知，勒洛四面体ABCD内切球球心是正四面体ABCD的内切球、外接球球心，

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正△BCD外接圆半径。/=半，正四面体＞BCD的高AO】=‘AB?—OB=平,

设正四面体ABCD的外接球半径为，在RtABOOj中，普=（半_氏）2+（半）2,解得氏=母，

因此，勒洛四面体ABCD内切球半径为2-逅

2

故答案为：2一旦.

2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的

形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结

算.

（1）求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率；

（2）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X,求X的分布列及数学期望

矶X）.

4

【答案】（1）y（2）答案见详解

【解析】【小问1详解】

从6张奖券中，任取2张奖券共有C；=15种选法，抽到的两张奖券相同的有3种选法,

15-34

所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为P=飞一=j.

【小问2详解】

的所有可能取值为80,85,90,

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1+CC1

p（X=85）=

或3

P（X=90）=2i

15

X的分布列为:

808590

3£1

5315

311?47

.•.E（X）=80x-+85x-+90x—=-

53153

16.如图，在四棱锥尸—ABCD中，PA=2y/3,AD!IBC,AD=1,AB=BC=2,AD，平面

PD±AB,E,尸分别是棱尸3,PC的中点.

C

(1)证明：。尸//平面ACE；

(2)求二面角A—CE—3的正弦值.

【答案】(D证明见详解

⑵叵

7

【解析】【小问1详解】

如图，连接用，因为2歹分别为P5PC的中点,

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又AD//BC,AD^-BC,

2

所以E///AD,EF=AD,

所以四边形AT历E是平行四边形，则DE//AE,

因为AEu平面ACE,。尸（z平面ACE,

所以。尸//平面ACE.

【小问2详解】

因为平面PAB,PA,ABu平面PA3,

所以ADLAP,AD1AB,

又ABLPD，A。,1%是平面尸4。内两条相交直线，

AB/平面PAD，又「Au平面PAD,

:.AB±PA,

所以AB,AP,AD两两互相垂直，

以为坐标原点，AB，AP，而的方向分别为，，轴的止方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则4（0,0,0）,8（2,0,0）,C（2,0,2）,D（0,0,l）,£（1,73,0）,

AC=（2,0,2）,AE=（1,73,0）,BC=（0,0,2）,BE=（-l,Ao）,

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设平面ACE的一个法向量为人=(xi，yi，zj,

n.•AC=02%+2%=0广

则《，即《厂，令％=—1,得芯=J3,Z]=—.3，

^-AE=0I+，3yl=0

>'.n1=(g,—1,—6)

设平面BCE的一个法向量为%=(x2,y2,z2),

n,■BC=02Z2=0

则《，一，即厂，令％=1，得%2=J3,Z2二。，

一冗73y2—

n2•BE=02+0

设二面角A-CE-B的平面角为，

・Ico这一斤吗||3一1|不742

..cosu\-|_7j-|_i--j=-,则sin〃=-------

1匐伺^7x277

所以二面角A-CE-B的正弦值为叵.

7

17.我们可以用"配方法''和"主元法''等方法证明“二元不等式“：cr+b2>2ab(a,beR),当且仅当。=人

时，a1+b?=2ab等号成立

333

(1)证明“三元不等式"：a+Z7+c>3aZ?c(«,^ce[0,+^)).

?

(2)已知函数/(力=%2+一.

①解不等式/'(X)25；

②对任意Xe(0,+8),/(X)之/+2加恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)见解析⑵①—应]D(O』D[2,+”)；②[-3,1].

【解析】小问1详解】

因为反ce[0,+<»),

贝!]々3+人3——a1b+if，—bet—々々(a—Z?)+b~[JJ—a)

=(。一。)(4—加)=(a—h)~(<7+Z?)>0(当且仅当a=Z>时取等)，

所以Y+"32028+02。(当且仅当a=/，时取等)，

同理4+°32a2。+02a(当且仅当。。时取等)，

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b3+c3>b2c+c2b(当且仅当c=》时取等)，

三式相加可得：

2(/+Z?3+c3)>«2Z?+Ira+a2c+c2a+b2c+c2b=a(b2+c2^+b(c2+«2)+c(«2+Z?2),

又因为4+b~>lab,1)1+c2>2bc,a2+c2>lac,

所以2.+〃+03)22abc+2abc+2abc=6abc,

所以Y+〃+c323abe(当且仅当a=h=c时取等).

【小问2详解】

9

①由y(x)»5可得：X2+->5,

X

22

匚匚[、[%3+2—5%目n%3—2%+2%—4-x—x+2

所以---------->0,即------------------------->0,

xx

即X2(X2)+2X(X2)(X2)20,则(X—2)(X2+2X—1)之0,

所以工(%—2)(l+1—0)(%+1+&)>0

%w0

解得：XG卜8,-1一3]U(0,1]D[2,+8)

222

②因为当xe(0,+8)时，/(^)=%+-=%+1+1>3-3/%----=3,

XXXVXX

11

当且仅当/9=—=—,即X=1时取等，

XX

所以当Xe(0,+8)时，/(%)而n=3,

对任意xe(0,+oo),之信+2加恒成立，

则疗+2加</⑺皿=/'⑴=3,

所以加？+2根—3<0，解得：—

所以实数的取值范围为：[-3,1]

18.在如图所示的平行六面体ABCD-ABCR中，ZAiAB^ZA1AD=45°

/BAD=60。,AB=1,AD=2,相=20.

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。

(1)求A£的长度；

(2)求二面角5—的大小；

(3)求平行六面体A3CD—A4c12的体积.

【答案】⑴3A/3

⑵-

2

⑶20

【解析】【小问1详解】

根据图形可知：AC[=AB+BC+CQ^AB+AI5+A^,

贝"砌2=^AB+AD+AA^^=AB2+AD+AA^2+2ABAD+2ADA^+2ABAA^

=l+4+8+2xlx2cos60°+2xlx2^cos45°+2x2x2^2cos45°

=3^/3；

【小问2详解】

作BE，。尸，A4,,则丽，刀等于二面角B-AA.-D的一个平面角，

因为幺45=幺4。=45°,AB=1,AD=2,A41=272,

则AE=AB-cos45°=—,AF=ADcos450=y/2BE=—,DF=y/2，

22

易知丽.丽=（西+初）•（而+亦）=函.原+函福.西+通•而

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=1+——x2xcosl35°+A/2xlxcosl35°+lx2xcos60°=0，

2

EVSEB•FD——>—>兀

所以cosE6阳==0,所以EB,FD=5，

JT

即二面角B-AA.-D的大小为g；

【小问3详解】

由(2)知平面AD0A，而四边形人。。4的面积5=44X。/=4,

则平行六面体ABCD-ABCA的体积V=4.BE=2日

x

e-1

19.已知函数〃x)=——+ax.

(1)函数y=〃x)是否具有奇偶性?为什么？

(2)当a=—1时，求/'(X)的单调区间；

7

(3)若/'(x)有两个不同极值点4，%，证明：/(%1)+/(%2)<-.

8

【答案】(1)函数y=/(x)不具有奇偶性

(2)/(X)的单调递增区间为(—8,0),单调递减