2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率5.4统计与概率的应用课时素养评价含解析新人教B版必修第二册

PAGE统计与概率的应用(15分钟30分)1.某公司员工对户外运动分别持“喜爱”“不喜爱”和“一般”三种看法,其中持“一般”看法的比持“不喜爱”看法的多12人,按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动,假如选出的人有6位对户外运动持“喜爱”看法,有1位对户外运动持“不喜爱”看法,有3位对户外运动持“一般”看法,那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜爱”看法的有 ()A.36人 B.30人 C.24人 D.18人【解析】选A.设持“喜爱”“不喜爱”“一般”看法的人数分别为6x,x,3x,由题意得3x-x=12,x=6,所以持“喜爱”看法的有6x=36人.2.蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等许多种类.在我国的云南及周边各省都有分布.春暖花开的时候是放蜂的大好季节.养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂,养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂.那么,生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是哪位养蜂人放养的比较合理 ()A.甲 B.乙C.甲和乙 D.以上都对【解析】选B.从养蜂人甲放的蜜蜂中,捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为QUOTE,而从养蜂人乙放的蜜蜂中,捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为QUOTE,所以,现在捕获的这只黑小蜜蜂是养蜂人乙放养的可能性较大.3.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采纳随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:9328124585696834312573930275564887301135据此估计,该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为 ()A.0.50 B.0.45 C.0.40 D.0.35【解析】选A.两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的一个,它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35,共10个,因此所求的概率为QUOTE=0.50.4.某公司有5万元资金用于投资开发项目,假如胜利,一年后可获收益12%;一旦失败,一年后将丢失全部资金的50%,如表是去年200例类似项目开发的实施结果.则该公司一年后估计可获收益的平均数为________元.

投资胜利投资失败192次8次【解析】应先求出投资胜利与失败的概率,再计算收益的平均数.设可获收益为x万元,假如胜利,x的取值为5×12%,假如失败,x的取值为-5×50%.一年后公司胜利的概率约为QUOTE,失败的概率约为QUOTE,所以估计一年后公司收益的平均数为QUOTE×10000=4760(元).答案:47605.小明和小展按如下规则做嬉戏:桌面上放有5支铅笔,每次取1支或2支,最终取完铅笔的人获胜,你认为这个嬉戏规则________(填“公允”或“不公允”).

【解析】当第一个人第一次取2支时,还剩余3支,无论是其次个人取1支还是取2支,第一个人在其次次取铅笔时,都可取完,即第一个人肯定能获胜,所以不公允.答案:不公允6.甲乙两人玩一种嬉戏,每次由甲、乙各出1到5根手指,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)若以A表示和为6的事务,求P(A);(2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事务,C表示乙至少赢两次的事务,试问B与C是否为互斥事务?为什么?(3)这种嬉戏规则公允吗?试说明理由.【解析】(1)甲、乙出手指都有5种可能,因此基本领件的总数为5×5=25,事务A包括甲、乙出的手指的状况有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)共5种状况.所以P(A)=QUOTE=QUOTE.(2)B与C不是互斥事务,因为事务B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事务,即符合题意.(3)这种嬉戏规则不公允,由(1)知和为偶数的基本领件数为13个.(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5).所以甲赢的概率为QUOTE,乙赢的概率为QUOTE.所以这种嬉戏规则不公允.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参与社区服务活动,有人提议用如下方法选班:掷两枚硬币,正面对上记作2点,反面对上记作1点,两枚硬币的点数和是几,就选几班.依据这个规则,当选概率最大的是 ()A.二班 B.三班C.四班 D.三个班机会均等【解析】选B.掷两枚硬币,共有4种结果:(2,2),(2,1),(1,2),(1,1),故选四班的概率是QUOTE,选三班的概率为QUOTE=QUOTE,选二班的概率为QUOTE,故选B.2.甲、乙、丙、丁四人做相互传递球练习,第一次甲传给其他三人中的一人(假设每个人得到球的概率相同),其次次由拿球者再传给其他三人中的一人,这样共传了三次,则第三次球仍传回到甲手中的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.本题可用树形图进行解决,如图所示,共有27种结果,第三次球传回到甲手中的结果有6种.故所求概率为P=QUOTE=QUOTE.3.《史记》中讲解并描述了田忌与齐王赛马的故事.“田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场竞赛,则田忌的马获胜的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c,齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C,由题意可知,可能的竞赛为:Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共有9种,其中田忌可以获胜的事务为:Ba,Ca,Cb,共有3种,则田忌的马获胜的概率为P=QUOTE=QUOTE.4.五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,全部人同时抛出自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人接着坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.假设有甲、乙、丙、丁、戊五个人按依次围成一桌,五个人同时抛出自己的硬币,基本领件总数为2×2×2×2×2=32.若五个人都坐着,有1种状况;若四个人坐着,一个人站着,有5种状况;若三个人坐着,不相邻的两个人站着,有甲丙、甲丁、乙丁、乙戊、丙戊5种状况,故没有相邻的两个人站起来所包含的基本领件共有1+5+5=11个,故所求的概率为QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.某班有50名同学,其中男女各25名,今有这个班的一个学生在街上遇到一个同班同学,则下列结论不正确的是 ()A.遇到异性同学比遇到同性同学的概率大B.遇到同性同学比遇到异性同学的概率大C.遇到同性同学和异性同学的概率相等D.遇到同性同学和异性同学的概率随机改变【解析】选BCD.遇到异性同学概率为QUOTE,遇到同性同学的概率为QUOTE.6.有三个嬉戏规则如下,袋子中分别装有形态、大小相同的球,从袋中无放回地取球.嬉戏1嬉戏2嬉戏3袋中装有3个黑球和2个白球袋中装有2个黑球和2个白球袋中装有3个黑球和1个白球从袋中取出2个球从袋中取出2个球从袋中取出2个球若取出的两个球同色,则甲胜若取出的两个球同色,则甲胜若取出的两个球同色,则甲胜若取出两个球不同色,则乙胜若取出的两个球不同色,则乙胜若取出的两个球不同色,则乙胜其中不公允的嬉戏是 ()A.嬉戏1 B.嬉戏2C.嬉戏3 D.都不公允【解析】选AB.对于嬉戏1,取出两球同色的概率为QUOTE,取出两球不同色的概率为QUOTE,不公允;对于嬉戏2,取出两球同色的概率为QUOTE,取出两球不同色的概率为QUOTE,不公允;对于嬉戏3,取出两球同色即全是黑球,概率为QUOTE,取出两球不同色的概率为QUOTE,公允.三、填空题(每小题5分,共10分)7.电脑“扫雷”嬉戏的操作面被平均分成480块,其中有99块埋有地雷,现在在操作面上随意点击一下,遇到地雷的概率为________.

【解析】由古典概型的概率公式可得遇到地雷的概率为QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.某汽车站,每天均有3辆开往南京的分为上、中、下等级的客车.某天袁先生打算在该汽车站乘车前往南京办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车依次.为了尽可能乘上上等车,他实行如下策略:先放过第一辆,假如其次辆比第一辆好则上其次辆,否则上第三辆,那么他乘上上等车的概率为________.

【解析】上、中、下三辆车的动身依次是随意的,有上、中、下;上、下、中;中、上、下;中、下、上;下、上、中;下、中、上,6种状况,若其次辆车比第一辆车好,有3种状况:下、中、上;下、上、中;中、上、下,符合条件的仅有2种状况;若其次辆不比第一辆好,有3种状况:中、下、上;上、中、下;上、下、中,其中仅有1种状况符合条件.所以袁先生乘上上等车的概率P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.甲乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)玩嬉戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.(1)设(i,j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲乙二人抽到的牌的全部状况;(2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少?(3)甲乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜,你认为此嬉戏是否公允,说明你的理由.【解析】(1)甲乙二人抽到的牌的全部状况(方片4用4’表示,红桃2,红桃3,红桃4分别用2,3,4表示)为:(2,3)、(2,4)、(2,4’)、(3,2)、(3,4)、(3,4’)、(4,2)、(4,3)、(4,4’)、(4’,2)、(4’,3)、(4’,4),共12种不同状况.(2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,4’,因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为QUOTE.(3)由甲抽到的牌比乙大的有(3,2)、(4,2)、(4,3)、(4’,2)、(4’,3)5种,甲胜的概率p1=QUOTE,乙获胜的概率为p2=QUOTE,因为QUOTE<QUOTE.所以此嬉戏不公允.10.如图所示,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间(分钟)10-2020-3030-4040-5050-60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.【解析】(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),所以用频率估计相应的概率为0.44.(2)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由频数分布表知,40分钟赶往火车站,选择不同路径L1,L2的频率分别为(6+12+18)÷60=0.6,(4+16)÷40=0.5,所以估计P(A1)=0.6,P(A2)=0.5,则P(A1)>P(A2),因此,甲应当选择路径L1,同理,50分钟赶到火车站,乙选择路径L1,L2的频率分布为48÷60=0.8,36÷40=0.9,所以估计P(B1)=0.8,P(B2)=0.9,P(B1)<P(B2),因此乙应当选择路径L2.【补偿训练】某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的状况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率.(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.(3)假如顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?【解析】(1)从统计表可以看出,在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为QUOTE=0.2.(2)从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为QUOTE=0.3.(3)与(1)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为QUOTE=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为QUOTE=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为QUOTE=0.1,所以,假如顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.1.(多选题)某竞赛为两运动员制定下列发球规则:规则一:投掷一枚硬币,出现正面对上,甲发球,反面对上,乙发球;规则二:从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球,假如同色,甲发球,否则乙发球;规则三:从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球,假如同色,甲发球,否则乙发球.则对甲、乙公允的规则是 ()A.规则一 B.规则二C.规则三 D.都公允【解析】选AC.规则一每人发球的几率都是相等的.规则二全部状况有(红1,红2),(红1,黑1),(红1,黑2),(红2,黑1),(红2,黑2),(黑1,黑2)6种,同色的有2种,所以甲发球的可能性为QUOTE,不公允.规则三全部状况有(红1,红2),(红1,红3),(红2,红3),(红1,黑),(红2,黑),(红3,黑),同色球有3种,所以两人发球的可能性都是相等的.2.2024年3月郑州市被国务院确定为全国46个生活垃圾分类处理试点城市之一,此后由郑州市城市管理局起草公开征求看法,经专家论证,多次组织修改完善,数易其稿,最终形成《郑州市城市生活垃圾分类管理方法》(以下简称《方法》).《方法》已于2024年9月26日被郑州市人民政府第35次常务会议审议通过,并于2024年12月1日起先施行.《方法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类.为了获悉中学学生对垃圾分类的了解状况,某中学设计了一份调查问卷,500名学生参与测试,从中随机抽取了100名学生的调查问卷,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如图频率分布直方图:(1)从总体的500名学生中随机抽取一人,估计其分数不低于60的概率;(2)已知样本中分数低于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的学生人数,(3)学校环保志愿者协会确定组织同学们利用课余时间分批参与“垃圾分类,我在实践”活动,以增加学生的环保意识.首次活动从样本中问卷成果低于40分的学生中随机抽取2人参与,已知样本中分数低于40的5名学生中,男生3人,女生2人,求抽取的2人中男女同学各1人的概率是多少?【解析】(1)依据频率分布直方图可知,样本中分数不低于60的频率为(0.02+0.04+0.02)×10=0.8,所以样本中分数高于60的概率为0.8.故从总体的500名学生中随机抽取一人,其分数不低于60的概率估计为0.8.(2)依据题意,样本中分数不低于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5,所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为500×QUOTE=25.(3)设3名男生分别为a1,a2,a3,2名女生分别为b1,b2,则从这5名同学中选取2人的结果为:{a1,a2},{a1,a3},{a1,b1},{a1,b2},{a2,b1},{a2,b2},{a3,b1},{a3,b2},{a2,a3},{b1,b2},