人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：§6 1　第1课时　两个计数原理及其简单应用

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1§6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时两个计数原理及其简单应用学习目标1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．知识点一分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．知识点二分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．思考如何区分“完成一件事”是分类还是分步？〖答案〗区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步．1．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×)2．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．(√)3．在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．(√)4．从甲地经丙地到乙地是分步问题．(√)一、分类加法计数原理例1设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有()A．6个 B．8个C．12个 D．16个〖答案〗A〖解析〗因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．延伸探究1．条件不变，结论变为“则方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示焦点位于y轴上的椭圆”有()A．6个 B．8个C．12个 D．16个〖答案〗A〖解析〗因为椭圆的焦点在y轴上，所以m<n，当m＝1时，n＝2,3,4；当m＝2时，n＝3,4；当m＝3时，n＝4，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．2.条件变为“设集合A＝{1,2,3,4,5}，m，n∈A”，其他条件不变，有()A．8个 B．10个C．12个 D．16个〖答案〗B〖解析〗因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝5时，n＝1,2,3,4.当m＝4时，n＝1,2,3.当m＝3时，n＝1,2.当m＝2时，n＝1.即所求的椭圆共有4＋3＋2＋1＝10(个)．反思感悟应用分类加法计数原理应注意如下问题(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事．(2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法，即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的．跟踪训练1某校高三共有三个班，各班人数如下表：男生人数女生人数总人数高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案．第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计算原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案．第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．二、分步乘法计数原理例2已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)．问：(1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？(2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？解(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步，确定a的值，共有6种方法；第二步，确定b的值，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步，确定a，由于a<0，所以有3种不同的确定方法；第二步，确定b，由于b>0，所以有2种不同的确定方法．根据分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数为3×2＝6.反思感悟利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步．(2)计数：求出每一步中的方法数．(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．跟踪训练2从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共______个，其中不同的偶函数共________个．(用数字作答)〖答案〗186〖解析〗一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的二次函数3×3×2＝18(个)．若二次函数为偶函数，则b＝0.a的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数3×2＝6(个)．三、两个原理的综合应用例3现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？解(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法．所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．反思感悟使用两个原理的原则使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理．跟踪训练3如图，甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？解要从甲地到丙地共有两类不同的方案：第1类，从甲地经乙地到丙地，共需两步完成：第1步，从甲地到乙地，有3条公路可走；第2步，从乙地到丙地，有2条公路可走．根据分步乘法计数原理，从甲地经乙地到丙地有3×2＝6(种)不同的走法．第2类，从甲地不经乙地到丙地，有2条水路可走，即有2种不同的走法．由分类加法计数原理知，从甲地到丙地共有6＋2＝8(种)不同的走法．1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为()A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9C．3×4×2＝24 D．以上都不对〖答案〗B2．从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为()A．6B．5C．3D．2〖答案〗B3．现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为()A．7B．64C．12D．81〖答案〗C4．用