山东省济南市2024-2025学年高一年级上册入学学情检测数学试题

山东省济南市2024-2025学年高一上学期入学学情检测数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.据教育部统计，2024届全国普通高校毕业生规模达1179万人，将数字11790000用科学

记数法表示为（）

A.1.179xl07B.1.179x10s

C.11.79X106D.0.1179x10s

2.下列运算正确的是（）

A.3a2-a=2aB.(a+b)2=a2+b2

C.a3b2-^a1=aD.(a")~%?

3.小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位:次/分钟)如下：156,158,158,160,162,165,

169.这组数据的众数和中位数分别是（

A.160,162B.158,162

C.160,160D.158,160

4.某几何体是由四个大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置

上的小立方块个数，则这个几何体的主视图是（）

5.已知点/（一3,必），5（-2,3）,C（-l，72）,都在反比例函数y=8"#0）的图

X

象上，则必，%,%的大小关系为（）

A.B.%＜%＜为

C.当＜%＜必D.必＜力（外

试卷第1页，共6页

6.如图，在矩形/BCD中，AB=6,/。=8,P是上不与A和。重合的一个动点，过

点尸分别作/C和50的垂线，垂足为£,F,则尸£+尸尸的值为（）

7.如图，在口/BCD中，AB=2,4D=3,4BC=60°,在N8和/。上分别截取4E（4E<48）,

AF,使4E=4F,分别以E,尸为圆心，以大于!昉的长为半径作弧，两弧在ZD/3内交于

点G,作射线NG交8C于点〃，连接。H,分别以。，“为圆心，以大于的长为半径

2

作弧，两弧相交于点”和N,作直线交CD于点K,则CK的长为（）

8.如图，抛物线夕=-/+4》，顶点为/,抛物线与x轴正半轴的交点为3,连接42,C为

线段03上一点（不与。，2重合），过点C作CO///3交y轴于点。，连接40交抛物线

S3

于点£,连接OE交CD于点尸，若嗖巫=工,则点C的横坐标为（）

AOFF今

二、多选题

试卷第2页，共6页

9.小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返

回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回

x（h）的关系，则（）

B.小明的匀速步行速度是3km/h

C.小明在图书馆查阅资料的时间为L5h

D.小明与小亮交谈的时间为0.4h

10.如图，点8在线段上，分别以线段N3和线段为边在线段/。的同侧作等边三

角形48c和等边三角形ADE,连接NE与8C相交于点G,连接CD,CD与AE,BE

分别相交于点尸，H,连接AF,GH,则（）

B.FB平分ZGFH

C.GE=BDD./\ABE^/\CBD

11.如图1,在Rg/BC中，ZABC=90°,BC=4,动点。从点/开始沿N3边以每秒0.5

个单位长度的速度运动，同时，动点£从点3开始沿3c边以相同速度运动，当其中一点停

止运动时，另一点同时停止运动，连接DE,F为DE中点,连接AF,CF,设时间为f（s）,

DE?为y，V关于/的函数图象如图2所示，则（）

试卷第3页，共6页

图1图2

A.当，=1时，DE=2.5B.AB=2

C.有最小值，最小值为2D.4F+CF有最小值，最小值为病

三、填空题

12.在平面直角坐标系中有五个点，分别是/。,3),5(-3,4),C(-2,-3),D(4,3),£(3,-5),

从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是.

13.在Rt448C中，ZACB=90°,AB=6,V/3C的周长为14,则N3边上的高为.

14.如图，在矩形纸片/BCD中，AB=4,AD=6,£为中点，尸为边CD上一点，连

接EF,将S跖沿EF翻折，点。的对应点为加，G为边BC上一点，连接ZG,将A/BG

沿4G翻折，点B的对应点恰好也为则8G=,

四、解答题

15.先化简再求值:

x-1x2-l

⑴求的值,其中x=3；

x—Vx

⑵求的值，其中二=2.

x-yx+yx2-y2y

16.某超市销售48两种品牌的牛奶，购买3箱A种品牌的牛奶和2箱B种品牌的牛奶共需

285元；购买2箱A种品牌的牛奶和5箱8种品牌的牛奶共需410元.

(1)求A种品牌的牛奶，8种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？

(2)若某公司购买A,B两种品牌的牛奶共20箱，且A种品牌牛奶的数量至少比B种品牌牛奶

的数量多6箱，又不超过8种品牌牛奶的3倍，购买43两种品牌的牛奶各多少箱才能使总

试卷第4页，共6页

费用最少？最少总费用为多少元？

17.如图，在。。中，45是直径，点C是。。上一点，AC=9,3C=3,点£在N3上,

AE=2BE,连接CE并延长交OO于点。，连接4D,AFLCD,垂足为F.

(1)求证：AADF~AABC；

⑵求。尸的长.

18.

阅读材料：直线了=辰+6(左30)上任意两点M(%i，yD，W(x2,y2),x^x2,线段ACV的

中点2(三,％),尸点坐标及后可用公式：%=2三，％=匕1匹；左二21^计算.例如：

直线了=2x+l上两点”(1,3),M3,7),则工3=*=2,%=子=5,即线段"N的中点

P(2,5),k=—3-7=2.

1—3

已知抛物线y=加工2一2加％-3(m>0),根据以上材料解答下列问题：

~Ox~Ox

图1图2

⑴若该抛物线经过点4(3,0),求m的值；

⑵在(1)的条件下，B,C为该抛物线上两点，线段的中点为。，若点。(2,1),求直线

5C的表达式；以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考:设直线5C的表达式为：y=丘+6,

B{xB,yB\C{xc,yc),贝|有歹=加瘾一2冽/一3①，灯二冽片一2加七一3②.①-②得：

yB-yc-x^-2m(xB-xc)=m(xB+xc)(xB-xc)-2m(xB-xc),两边同除以(乙-％),

得yByc=k=ni[xB+xc)-2m・

XB-XC'……'

试卷第5页，共6页

(3)该抛物线上两点E,F,直线跖的表达式为：>=(5后-2)7依+"("20).

⑴.请说明线段跖的中点在一条定直线4上；

(ii).将i中的定直线4绕原点。顺时针旋转45。得到直线4,当l<x<3时，该抛物线与4只有

一个交点，求加的取值范围.

19.在中，ZACB=90°,ZABC=60°.

E

图3

(1)如图1,在中,ZCAE=120°,AE=2AC,尸是4B中点，连接3F.若3c=1,求线

段2尸的长;

BF

(2)如图2,在△BCD中,NBOC=120。，BD=2CD,尸是48中点，连接DF,求——的值;

DF

(3)如图3,在ACDE中，120°,DE=2CD,£是中点，尸是中点，连接8D,

DF,求丝DF的值.

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678910

答案ADDABBCAADABD

题号11

答案BD

1.A

【分析】由科学记数法要求可得.

【详解】11790000=1.179xl07,

故选：A.

2.D

【分析】举例说明判断ABC；利用募的运算法则判断D.

【详解】对于A,3a2-a=a(3-a),A错误；

对于B,(a+Z?)2=a1+lab+b2,B错误；

对于Ca3b24-a2=ab2,C错误；

对于D,(a2b)2=(a2)2b2=a4b2,D正确.

故选：D

3.D

【分析】根据众数和中位数的定义易得.

【详解】因在156,158,158,160,162,165,169这组数据中，158出现了2次，次数最

多，故众数是158；

根据中位数的定义知，按照从小到大排列的七个数据中，第四个数160为这组数据的中位数.

故选：D.

4.A

【分析】利用三视图的相关概念分析即可.

【详解】由题意可知从前方看第一排有3个正方体，且从左到右依次有2个、1个，第二排

有1个正方体在左侧，故A正确.

故选：A

5.B

【分析】首先代入点3的坐标，得到函数的解析式，再代入其他点的坐标，即可判断.

答案第1页，共15页

【详解】将点3（-2,3）代入反比例函数3=2,得左=—6,

即反比例函数的解析式是＞=於，

X

将点4。,。的坐标代入函数解析式，得M=2,%=6,%=-3,

即％<乂<%•

故选：B

6.B

【分析】连接。尸，利用勾股定理列式求出5。，再根据矩形的对角线相等且相互平分求出

OA,OD,

然后根据S△，⑺=S^AOP+列式求解即可.

【详解】

•.,四边形4BC。为矩形，AB=6,/。=8,

BD=NAB。+AD?=V62+82=10，

OA=OD=-x10=5,

2

••V—VV

•口”OD-3Aop丁3DOP，

：.-xADx-AB=-xAOPE+-xODPF,

2222

z.-x-x6x8=-x5-PE+-x5-PF,

2222

24

解得PE+PF=M，

故选：B.

7.C

【分析】利用角平分线、垂直平分线的作法与性质确定相应线段长度，利用全等三角形、相

似三角形的判定与性质计算即可.

答案第2页，共15页

【详解】

如图所示，设直线分别交直线加于尸作/我，垂足为R,

根据题意易知/G,MN分别为/9。的角平分线，线段ZV7的垂直平分线，

所以NR4H=ZABC=60°,所以为正三角形，

则AH=BH=2,AR=CH=1,0火=2,HR=6，所以DH=Jj=2SD,

而tanN/OH=@=2，则05=叵,。0=二，

2SD44

73

易证AHSP=ADS。,&DQ=_=HP,CP=HP—CH=_,

44

易知KKP-DKQ,故里=生二=4，

VQDKD72-CK

3

解之得CK=1.

故选：C

8.A

【分析】根据给定条件，求出点42坐标，设点。(％,0)并表示点。,瓦厂的坐标，再利用三

角形面积关系列式计算即得.

【详解】抛物线〉=-。-2)2+4的顶点4(2,4),由y=0,x>0,得x=4,即点3(4,0),

[4=24+6

设直线方程为了=h+6,由八L，解得左=-2/=8,则直线-2x+8,

[0=4斤+6

设点C(Xo,O),O</<4,由CO//48,设直线C。方程为y=-2x+c,

由x=x(),得c=2x°,由x=0,得y=c=2xo，即点。(0,2/)，直线CD:y=-2x+2x0,

2x=n,

设直线40的方程为了=5+〃，则4=n2i'解得加=2=2%'

7=(2-X)X+2X解得[X=XO

即直线=(2-Xo)x+2xo,00,即点

y-—+4x[y——x；+4x0

E(xo，-x；+4x0),

答案第3页，共15页

显然1DOE=S«°OC，由乎"=；，得》"=］，则［因此点尸(|■Xo，■|x()),

^△DEF今»ADOE''ADOC///

|。可!，因此？/_3,解得

\OE\

—XQ+4x07

4

所以点c的横坐标为:.

故选：A

9.AD

【分析】由图象可判断A选项；结合图象可求小明的匀速步行速度，可判断B选项；通过

计算点。到。所需的时间，可判断C选项；通过计算点E到尸所需的时间，可判断D选项.

【详解】对于A：由图象可知小明家与图书馆的距离为2km,故A正确；

对于B：因为小明沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，

所以小明的匀速步行速度是*=4(km/h),故B错误；

对于C：小明返回的路上走2-0.8=L2(km)后遇到小亮，

则走1.2km所需的时间为子=0.3(h),

所以小明在图书馆查阅资料的时间为2.6-0.5-0.3=1.8(h),故C错误；

AO

对于D：走0.8km所需的时间为?=0.2(h),

所以小明与小亮交谈的时间为32-2.6-0.2=0.4(11),故D正确.

故选：AD.

10.ABD

【分析】结合图形和题设条件，易得△相£=,可推得D项；由此得到N4BE=NCAD,

可证AGBEMZJ/BD,可得GB=HB,从而得到正三角形3G〃，由NGHB=60。=NHBD易

得A正确；再由全等三角形的对应边上的高相等，易得点3到尸。的两边距离相等，故

得B项正确；对于C项，可采用反向推理，假设结论正确，经过推理产生矛盾，即得原命

题不成立，排除C项.

【详解】因V4BC和都是正三角形，&AB=BC,BE=BD,ZABC=NEBD=6Q°,

则ZABC+NCBE=ZFBD+ZCBE,即ZABE=ZCBD,

答案第4页，共15页

AB=BC

由\NABE=ZCBD可得八ABE=ACBD,故D正确；

BE=BD

由AABE=/\CBD可得，ZAEB=ZCDB，因ZCBE=180°-2x60°=60°,

ZGBE=ZHBD

由｛BE=BD可得，AGBE三皿BD,则有GB=HB,

NGEB=NHDB

故V3G〃为正三角形，则NGHB=60°=NHBD,故GH,即A正确;

如图，分别作，垂足分别是

由上知，AABE三ACBD,故BM=BN,由角平分线的性质定理，可得F2平分/GEH,

故B正确；

对于C项，假设6£=瓦)，贝1JGE=BE,故N£G8=NE8G=60°,

而在A/CG中，ZACG=60°,ZCAG<ZCAB=60°ZCGA=ZEGB>600

产生矛盾，故假设不成立，即C错误.

故选：ABD.

11.BD

【分析】设=列出了关于f的函数式，结合图2,列方程求出。的值，判断B项，继

而代值检验A项；利用二次函数的图象性质，即可得到。E的最小值，判断C项；最后通

过建系，将/尸+CF转化为:[J0+4)2+/+-4)2+(-16)2],利用距离的几何意义，借

助于点的对称即可求得其最小值.

【详解】设/3=a,则/。=0勺,3。=。一0.5f,2£=0勺，则

y=DE2=(a-0.5/)2+(0.5/)2=0.5t2-at+a2(*),

由图2知，函数>=0.5/一办+/经过点(1,2.5),整理得，a2-a-2=0,解得。=2或。=-1

(舍去)，故B正确；

由B项知,y=0.5t2-2t+4,当/=1时，了=0.5-2+4=2.5,即。=2.5,故A错误;

答案第5页，共15页

对于C,由题意易得，0V/V4,由y=0.5厂—2/+4=0.5«—2)i+2可得，当，=2时，ymjn=2,

即DE有最小值，最小值为近，故C错误;

对于D,如图，以点8为原点，040C所在直线分别为轴建立直角坐标系.

则42,0),。(0,4)0(2—。5力0),现0,0.5/),因方为。打中点，故尸(1-%,5),

22

于是4F+CF=J(l+%)2+(3)2+J(l-^)+(4-^)

V44V44

22

=1[y/(t+4)+t+而-4)2+(…16)2]

结合此式特点,设尸亿4,0),N(4,16)，则AF+CF=+PN)，作出图形如下.

作出点M(-4,0)关于直线V=x的对称点M(。，-4),连接MN,交直线y=x于点尸，

则点尸即为使PM+PN取得最小值的点.

(理由：可在直线>=x上任取点尸利用对称性特点，即可证明PW+PN>PM+PN,

即得)，

此时、，即N尸+的最小值为

(aM+PN)*MN=.+(16+4)2=4A/26CF726.

故选：BD.

2

12.-/0.4

5

【分析】利用概率公式求解即可求得答案.

答案第6页，共15页

【详解】五个点中在第一象限的点有/和。两个，

从中任选一个点共有5种等可能的结果，这个点恰好在第一象限有2种结果，

所以从中任选一个点恰好在第一象限的概率是:2.

2

故答案为：

13.-12-

33

【分析】利用勾股定理和完全平方公式以及三角形面积可得结果.

【详解】根据题意可设8C=4,/C=6,所以3C+NC+A8=6+a+，=14,

可得a+6=8,

又NACB=9Q°,利用勾股定理可得3C2+/C2=.2+02=62；可得/+〃=36；

所以a?+6?=(°+6)2-2ab=6-Tab=36,即ab=14；

设N8边上的高为力，由三角形面积可得。6=48♦〃=6人，

解得〃==14=；7

63

,,7

故答案为：—

14.6-275

【分析】过。囱乍SU_L40,交40于S,交BC于U,过£作利用等积法可求

。6=逑，再根据RtZXOGU可求3G的长度.

3

【详解】

由题设AE=D'E=3,AD'=AB=4,

过〃作SU_L/D,交40于S,交BC于U,过E作

贝U=2,则EH=19-4=#1,—AD'xy/s=—AExD'S,

所以。S=手，故4S=故30=(,

答案第7页，共15页

设8G=x,则DG=x,故+4一手］=x"

故x=6-20，

故答案为：6-25/5

15.(1)!

4

⑵3

【分析】(1)先因式分解进行化简，进而代入x=3即可求解;

YY

(2)先同分母进行化简并转化一的表达式，进而代入一二2即可求解.

yy

［详解］(1)上JT=上_3*2)

x+1x—2x—4x+4x+1x—2(x—+

xx—2

x+1x+1

x—(x-2)

x+l

2

x+1

21

即x=3代入可得用=5.

)_____+/

x-yx+yx2-y2(x-y)(v+y)x2-y2

222

x-\-xy-xy-\-y-y

x2-y2

即旨2代入可得S

16.(1)A种品牌的牛奶，B种品牌的牛奶每箱价格分别是55元、60元.

(2)最小费用为1200-5x15=1125(元)，此时购买4夕两种品牌的牛奶分别为15箱、5箱.

答案第8页，共15页

【分析】（1）设A种品牌的牛奶，5种品牌的牛奶每箱价格分别是尤/元，根据题设列方程

组后可求各自的单价；

（2）购买A品牌的牛奶。箱，则购买总费用C=1200-5a,由题设条件可得。可为13,14,15

中的某个数，故可求最小费用及相应的箱数.

【详解】（1）设A种品牌的牛奶，5种品牌的牛奶每箱价格分别是X/元，

[3x+2y=285[x=55

则，/,，故

[2x+5y=410[>=60

故A种品牌的牛奶，3种品牌的牛奶每箱价格分别是55元、60元.

（2）设购买A品牌的牛奶。箱，则购买B品牌的牛奶20-。箱，

此时总费用C=55。+60（20-a）=1200-5。，

220—。+6

而[<3（20“）'故13（。415,而〃为整数，故。可为13,14,15中的某个数，

故C的最小费用为1200-5x15=1125（元）,

此时购买48两种品牌的牛奶分别为15箱、5箱.

17.（1）证明见解析

【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角可判断N/FD=NNC8=90°,再利用同弧所对的

圆周角相等，可得ZADF=NABC,从而证明AADF~AABC；

（2）在RtZUBC中，求出tanNA8C=3,AB=3710,禾U用tanNNBC=tan//。歹=3,设

。尸=尤，把RtA4D下的三边表示出来，再利用ACBE求出DE=^-x,最后在Rt/EF

中求出x的值，也即是。尸的长.

【详解】（1）•・•/B是O。的直径，

ZAFD=NACB=90°,

又NADF=NABC,

.,.L.ADF~AABC.

AQO_________

（2）在RtZX/BC中，tanZ^SC=—=-=3,AB=ylAC2+BC2=3A/W>

nC3

答案第9页，共15页

又AE=2BE,则/£=2&5,BE=y/lO,

又ZABC=NADF,tanZABC=tanZADF=3,

在RtA4D尸中，设方=x,贝l"尸=3x,故AD=dAF、DF2=厮X

又NCEB=NAED,:.^CBE~^ADE,

见=里,即口=巫，解得』吗,

DADEVlOxDE3

107

:.EF=DE-DF=—x-x=—x,

33

在Rt“EF中，AF2+EF1=AE2，

即(3"+(不]=(2砌2,解得x=

即。尸=9而.

13

18.(1)7M=1

(2)y=2x-3

(3)i.线段E尸的中点在定直线4：x=U上；ii.

【分析】(1)将点坐标代入函数解析式，计算即得m的值；

(2)按照题中的思路先求出左=%+%-2,再由线段8c的中点为。(2,1)求得上的值，利

用直线BC经过点。(2,1)即可求得直线BC的表达式；

(3)⑴由卜二(5*一2)“7X+"消去利用韦达定理即可得到线段斯的中点在定直线

y=mx-2mx-3

h：x=迎上;(ii)根据题意，作出图形，利用平面几何知识即可求得，2：y=x-5；根据函

2一

,,c-।,f—777—3<—4

数尸加x-2加%-3与，2：V=工-5在1<工<3时的图象特点，依题思可得<,解之

[3m-3>-2

即得.

【详解】(1)因y=妙2一2加工一3经过点/(3,0),则9加一6冽一3=0,解得，m=1；

(2)加=1时，y=x2-2x-3=(x-l)2-4,设直线5C的表达式为：y=kx+b,

8a5，为)，。(%，人);

答案第10页，共15页

贝!JyB-mx^-2mxB—3①，yc-mx^-2mxc-3(2).

由①-②：

yB-Pc=说一片-2(XB-xc)-(xB-xc)(xB+xc-2),

两边同除以(尤B-%)，则丝子=左=马+%-2,

因线段的中点为。(2,1),贝1」至产=2,即4=2x2-2=2,

2

则y=2x+b,将点。(2,1)代入解得，6=一3,故直线8C的表达式为：y=2x-3；

(3)⑴由；片(可-2)必+〃消去九整理得，加X2_5"MX-〃-3=0，

依题意，设与4,外),尸(x尸，力)，斯的中点为"(科,加)，

则XE+X/=5五，》"="广=孚，即线段所的中点在定直线4:x=手上;

如图，将定直线4:x=孚绕原点。顺时针旋转45。得到直线£则点/(呼,0)转到了点4,

则=逑，设点4(网,必),8(%,0)则尤=£2COS45°=-,u=--sin45°=--,

22222

x2=y[2OA}=5,

5m+n=0(­.

55\m=\

即4(=,-=),3(5,0),设/2"=小+",则得，55,解得，二，即得4：F=无一5；

22-m+n=~-\n=-5

122

因抛物线y=-2机x—3=m(x-l)2一〃？一3的对称轴为x=1,

故该函数在l<x<3时，y随着x的增大而增大，且x=l时，y=-m-3,x=3时，>=34—3,

要使抛物线与l2：y=x-5只有一个交点,可分以下种情况讨论：

答案第11页，共15页

[-m_3<-4

①当抛物线顶点在直线下方时，如上图可得，。,、，解得加>1；

3m-3>-2

11;——3

②抛物线顶点在直线上，如上图，即加=1时，由'一，解得x=l或x=2,因

Iy=x-5

1cx<3,故符合题意;

y=mx2—2mx—3

③抛物线与直线相切，且切点横坐标满足l<x<3,如上图，由