2024-2025学年数学人教版九年级上册《旋转》单元测试 （含答案）

第23章旋转

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

2.下列图形中，△与△ABC成中心对称的是（）

B'

第1页，共27页

D.

3.如图，在8x8的正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度，得到则旋转中心是点（）

A.PB.QC.MD.N

4.如图，已知四边形和四边形关于点O成中心对称，下列结论错误的是（）

A.AD//EHB.4ABe=ZEHG

C.ZAOB=ZEOFD.AO=EO

5.已知点A（x-2,3）与点3/+4,丫-5）关于原点对称，则yX的值是（）

A.2B.1C.4D.8

第2页，共27页

6.如图，△ABC是由△ABC经过平移得到的，还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到?

下列结论：①1次旋转;②1次旋转和1次轴对称;③2次旋转;④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是（）

B.②③C.②④D.③④

7.如图，点£是正方形ABCD的边。C上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形

NEC尸的面积为20,DE=2，则/£的长为（）

A.4B.2近C.6D.2^6

8.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点

为E,连接3E,下列结论一定正确的是（）

A.AC=ADB.AB1EBC.BC=DED.Z.A=ZEBC

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9.如图，将aABC绕点C顺时针旋转90°得到^EDC.若点/，D,E在同一条直线上，zACB=20°,则

NADC的度数是（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

10.如图，等边三角形48c的边长为4,点。是aABC的中心，ZFOG=120°.绕点。旋转NFOG，分别

交线段BC于D,£两点，连接。£,给出下列四个结论：①OD=OE;②SAODE=SABDE；③四边形

ODBE的面积始终等于竽;④△BDE的周长的最小值为6.正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.点M（3,m）是抛物线y=x2-x上一点，则m的值是，点M关于原点对称的点的坐标是

12.如图，将△ABC绕点/逆时针旋转150°，得到aADE，这时点瓦C,。恰好在同一直线上，贝以B的

度数为.

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13.如图，在AABC中，AB=6，将△ABC绕点8按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的

面积为.

B

16.如图，RtaABC中，AB=AC,点。为8c中点.zMDN=90°.NMDN绕点。旋转，DM、DN分别

与边/3、AC交于E、尸两点.则下列结论中正确的是.

@BE+CF=^BC.@SAAEF<^SAABC-

③SAEDF=AD•EF,@AD>EF,⑤4D与EF可能互相平分•

三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题8分）

如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点N,B,。均为格点（每个小正方形的顶点叫

做格点）.

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(1)作点A关于点。的对称点Ai；

(2)连接AIB,将线段AF绕点Ai顺时针旋转90°得到线段AiBi，点8的对应点为Bi，画出旋转后的线段A]

Bi；

(3)连接AB「BBI，求出4ABB]的面积(直接写出结果即可).

18.(本小题8分)

如图，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为ND中点.

⑴指出旋转中心.

(2)若NBAE=60°，求出旋转角的度数.

(3)若AB=4,求/E的长.

19.(本小题8分)

“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一.如图1所示的“三等分角仪”是利用阿

基米德原理做出的.这个仪器由两根有槽的棒P4必组成，两根棒在尸点相连并可绕点尸旋转，C点是

棒PN上的一个固定点，点工,。可在棒尸网内的槽中滑动，且始终保持OA=OC=PCZAOB为要三

等分的任意角.则利用“三等分角仪”可以得到NAPB=|zAOB.

我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明.

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已知：如图2,点O,C分别在/APB的边P8,P4上,且OA=OC=PC.

求证：zAPB=|zAOB.

20.(本小题8分)

某校九年级学习小组在学习探究过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角尺与直角三角尺

/FE按如图①所示位置放置.现将RtaAEF绕/点按逆时针方向旋转角a(0°<a<90°)，如图②，4E与BC

交于点M,4c与EF交于点、N,8C与族交于点P.

(1)求证：AM=AN;

(2)当旋转角a=30°时，判断四边形48尸尸的形状，并说明理由.

21.(本小题8分)

如图，在aABC中，ZACB=90°，AC=BC，。是边上一点(点。与，，8不重合)，连接CD,将线段

C。绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CK,连接交3c于点尸，连接BE.

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⑴求证：△ACD四△BCE;

(2)当AD=BF时，求NBEF的度数.

22.(本小题8分)

如图，NHAB=30°，点3与点C关于射线N”对称，连接AC.D点为射线上任意一点，连接CD.将线段

CD绕点C顺时针旋转60°,得到线段CE,连接BE.

(1)求证：直线是线段NC的垂直平分线；

(2)点D是射线上一动点，请你直接写出NADC与NECA之间的数量关系.

23.(本小题8分)

小明研究了这样一道几何题：如图1,在^ABC中，把N8点/顺时针旋转a(0°<a<180°)得到AB1把

NC绕点/逆时针旋转B得到AC,连接B，C.当a+p=180°时，请问△AB，C边上的中线AD与2C的数

量关系是什么？以下是他的研究过程：

特例验证：

⑴①如图2,当△ABC为等边三角形时，与8c的数量关系为AD=BC-,

②如图3,当ABAC=90°，BC=8时，则4D长为.

猜想论证：

(2)在图1中，当aABC为任意三角形时，猜想/。与2C的数量关系，并给予证明.

拓展应用

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(3)如图4,在四边形/BCD,NC=90°，ZA+NB=120°，BC=12g,CD=6,DA=6^3,在四边形内

部是否存在点尸，使APDC与aPAB之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点尸的位

置(保留作图痕迹，不需要说明)并直接写出apDC的边DC上的中线尸0的长度；若不存在，说明理由.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】略

2.【答案】A

【解析】略

3.【答案】A

【解析】略

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查中心对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

利用中心对称图形的性质解决问题即可.

【解答】

解：••・四边形ABCD和四边形EFGH关于点。成中心对称

AD//EH,ZABC=zEFG,zAOB=zEOF,AO=EO

故4C,。正确，只有2选项错误.

5.【答案】B

【解析】【分析】

此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征以及代数式求值，正确把握关于原点对称的点的坐标特点是

解题关键.

直接利用关于原点对称的点的性质得出x,y的值，进而代入计算即可得出答案.

【解答】

解：点A(x-2,3)与点B(x+4,y-5)关于原点对称，

x-2+x+4=0,y-5=—3，

解得：x=T,y=2,

1

则yX=2T=,

故选：B.

6.【答案】D

【解析】略

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7.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键.

利用旋转的性质得出四边形/ECF的面积等于正方形/BCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾

股定理得出答案.

【解答】

解：•••△ADE绕点A顺时针旋转90。到△ABF的位置.

•••四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20,

■■■AD=DC=2好，

DE=2,

•••RMADE中，AE=A/AD2+DE2=2A/6.

故选D.

8.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

根据旋转的性质判断力,C错误，得到NACD=NBCE,根据等腰三角形的性质及三角形的内角和分析可

得NA=NEBC,故。正确；由于NA+NABC不一定等于90°,于是得到NABC+NCBE不一定等于90°,

故5错误.

【解答】

解：.将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,

•••AC=CD,BC=CE,AB=DE,故/错误，C错误；

•••NACD=ZBCE,

180°-/4CD180°-/BCE

NA=zADC=zCBE=

22

•••zA=zEBC,故。正确;

NA+NABC不一定等于90°，

•••NABC+NCBE不一定等于90°,故8错误.

故选：D.

9.【答案】C

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【解析】解：,•・将△ABC绕点。顺时针旋转90°得到△EDC,

•••ZDCE=ZACB=20°，^BCD=zACE=90°，AC=CE,

・・,点4,D,E在同一条直线上，

••ZADC+ZEDC=180°，

••ZADC=ZE+20°.

,•ZACE=9O°，AC=CE,

•••Z.E=ZDAC=45°.

••4ADC=65°，

故选C.

10.【答案】C

【解析】解：连接。5、OC,如图，

•・•△ABC为等边三角形，

•••4ABe=ZACB=6O°,

•・•点。是△ABC的中心，

•-OB=OC，OB、OC分另ij平分NABC和』ACB，

••ZABO=zOBC=ZOCB=30%

••ZBOC=120°，即4BOE+ZCOE=120%

而4FOG=120°，即/BOE+/BOD=120°，

•••ZBOD=ZCOE，

在△BOD和△COE中

亿BOD=ZCOE

BO=CO,

ZOBD=ZOCE

BOD之△COE(ASA)，

••BD=CE，OD=OE，故①正确；

•••SABOD=SACOE，

••・四边形ODBE的面积=S4OBC=1■$△ABC=gX字X4?=38，故③正确;

作OH^DE，如图，则DH=EH，

zDOE=120%

••ZODE=ZOEH=30°.

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OH=1OE,HE=V3OH=^OE,

•••DE=V30E,

SAODE=1'|oE-A/3OE=^OE2>

即54ODE随OE的变化而变化，

而四边形ODBE的面积为定值，

SAODE丰SABDE，故②错误；

BD=CE，

•••△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+后OE，

当OE，BC时，OE最小，则^BDE的周长最小，此时OE=学，

'''ABDE周长的最小值为4+2=6，故④正确.

故选C.

连接。8、OC,如图，利用等边三角形的性质得NABO=NOBC=NOCB=30°，再证明NBOD=NCOE,

于是可判断^BOD0△COE，所以BD=CE，OD=OE，则可对①进行判断；利用S^BOD=S^COE得到四

边形QD8E的面积=£SAABC=我，则可对③进行判断；作OHUDE，如图，贝1DH=EH，计算出S^ODE

=%E2,利用SAODE随OE的变化而变化和四边形的面积为定值可对②进行判断；由于^BDE的

周长=BC+DE=4+DE=4+小OE,根据垂线段最短，当OE1BC时，。£最小，^BDE的周长最小，

计算出此时的长则可对④进行判断.

本题考查旋转的基本性质，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质.

11.【答案】6

(-3,-6)

【解析】【分析】将M(3,m)代入y=x2-x即可求得加的值，进一步求得点〃关于原点对称的点的坐标.

【解答】解：：点M(3,m)是抛物线y=x?-x上一点，

m=32-3=6,

•••M(3,6),

点M关于原点对称的点的坐标是(-3,-6).

故答案为：6,(-3,-6).

12.【答案】15°

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【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键.由旋转的性质可得

AB=AD,ZBAD=150°，由等腰三角形的性质可求NB的度数.

【解答】解：・•・将△ABC绕点/逆时针旋转150°，得到^ADE,

■■■ZBAD=150°>AD=AB.

<点、B,C,。恰好在同一直线上，

BAD是顶角为150°的等腰三角形，

1

••­=ZBDA=(180°-150°)=15°.

13.【答案】9

【解析】【分析】利用旋转的性质可得AB=A]B=6,NABAI=30°，由题意可得阴影部分的面积

=SAABAJ过点/作ADIAIB，利用含30°直角三角形的性质，即可求解・

【详解】解：由旋转的性质可得：AB=AIB=6,ZABAI=30°.△ABC^△AJBCI

,,,SAABC=SAA^CI

•••阴影部分的面积=SAABA1

过点/作AD^AIB,如下图：

ZABD=30°

1

AD=-AB=3

1

SAABC=2ADXAIB=9,即阴影部分的面积为9

故答案为：9

【点睛】此题考查了旋转的性质，含30°直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质.

14.【答案】45,135,165,30,75

【解析】解：分5种情况讨论：

⑴当NC边与平行的时候a=90°-45°=45°;

(2)AD边与OB边平行的时候a=90°+45°=135°；

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(3)DC边与。2边平行的时候旋转角应为a=165°，

(4)DC边与AB边平行时a=180°-60°-90°=30%

(5)DC边与/O边平行时a=180°-60°-90°+45°=75°.

故答案为：45,135,165,30,75.

要分类讨论，不要漏掉一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系；再计算.

本题考查旋转的性质.旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所

构成的旋转角相等.要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度.

15.【答案】3-V5<d<2

【解析】解：如图：设的中点是E,。尸过点£时，点。与边N8上所有

点的连线中，。£最小，此时d=PE最大，。尸过顶点/时，点。与边N3上

所有点的连线中，CM最大，此时d=PA最小，

如图①：AB=4，AD=2，中心为。，

OE=1，OE1AB.

OP=3，

d=PE=2.

如图②：AB=4，AD=2，中心为

•••AE=2，OE=bOE，AB，

OA=A/AE2+OE2=小.

•••OP=3，

d=PA=3-好；

d的取值范围为d<2.

故答案为：3-A/5<d<2,

由题意以及矩形的性质得OP过矩形ABCD各边的中点时，d最大,

OP过矩形/3CD的顶点时，d最小，分别求出d的值即可得出答案.

本题考查矩形的性质，旋转的性质，根据题意得出d最大、最小时点尸的位置是解题的关键.

16.【答案】①②⑤

【解析】【分析】

本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，三角形的面积，二次

函数的最值，正方形的判定与性质等知识.

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先由4st/证明△AED之4CFD,得出AE=CF,再由勾股定理即可得出BE+CF=ABn¥BC,从而判断

①；

x2

设AB=AC=a,AE=CF=x,先由三角形的面积公式得出AEF=《(x-^a)2+旨，^sAABC=^a=

a2.再根据二次函数的性质即可判断②；

由勾股定理得到研的表达式，利用二次函数性质求得E尸最小值为#a,而AD=#a,所以EFNAD,从

而④错误；

先得出S四边形AEDF=$△ADC=，AD2,再由EFNAD得至UAD，EFNAD2,•>,AD,EF>S四边形AEDF，所以

③错误；

如果四边形/瓦汨为平行四边形，则/。与斯互相平分，此时DF〃AB,DE//AC,又。为5C中点，所以

当E、E分别为43、/C的中点时，4。与跖互相平分，从而判断⑤.

【解答】

解：••RtaABC中，AB=AC,点。为中点，

••ZC=ZBAD=45%AD=BD=CD,

ZMDN=9O%

••ZADE+ZADF=zADF+Z.CDF=90°，

•*-ZADE=ZCDF.

在△AED与^CFD中，

ZEAD=zC

AD=CD,

/ADE=4CDF

•••△AED之△CFD(ASA),

•••AE=CF,

在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB=A/AD2+BD2=啦BD=#BC.

故①正确；

设AB=AC=a,AE=CF=x,则AF=a-x.

AE22

SAAEF=|'AF=|x(a-x)=-^(x^a)+1a，

当x=ga时，AEF有最大值色，

pl111.

又'丁ABC=1x孑72=gar

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1

SAAEF-4SAABC-

故②正确；

EF2=AE2+AF2=x2+(a-x)2=2(x-a)2+-a2,

•••当x=，时，EF2取得最小值;a2，

■■■EFN#a(等号当且仅当x=：a时成立)，

而AD邛a,

■■■EF>AD.

故④错误；

由①的证明知△AED也△CFD,

二S四边形AEDF=SAAED+SAADF=SACFD+SAADF=SAADC=^AD2,

EF>AD,

•••AD-EF>AD2>

AD-EF>S四边形AEDF

故③错误；

当£、产分别为/8、NC的中点时，四边形NEZW为正方形，此时/。与£尸互相平分.

故⑤正确.

综上所述，正确的有：①②⑤.

故答案为：①②⑤.

17.【答案】解：(1)如图所示，点Ai即为所求；

(2)如图所示，线段AiBi即为所求；

(3)SAABB1=8.

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【解析】解：(1)见答案；

(2)见答案;

(3)如图，连接ABI，BBI，

则SAABBI=5X8x2=8.

(1)依据中心对称的性质，即可得到点4关于点。的对称点Ai；

(2)依据线段AIB绕点AI顺时针旋转90°得点3的对应点即可得出旋转后的线段AiBi；

(3)依据三角形的面积公式进行计算即可.

本题主要考查了利用旋转变换作图，掌握旋转的性质是解题的关键.

18.【答案】解：(D^ABC绕点4逆时针旋转一定角度后与4ADE重合，

即旋转中心为点

(2)根据旋转的性质得NCAE和NBAD都为旋转角，

4CAE=NBAD,

-zBAE=60°-

1

•••NCAE=ZBAD=-x(360°-60°)=150°，

即旋转角的度数为150°；

(3)-△ABC绕点A逆时针旋转150°与△ADE重合，

•••AE=AC,AD=AB=4,

:点C恰好成为中点.

■■■AC=2,

■■■AE=2.

【解析】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是解决问题的关键.

(1)利用旋转的定义可判断旋转中心为点4

(2)利用旋转的性质得NCAE和NBAD都为旋转角，且/CAE=NBAD,然后根据周角的定义计算出NCAE即

可；

(3)利用旋转的性质得到AE=AC,AD=AB=4,然后利用点C恰好成为4D中点得到AC=2,从而得到

/£的长.

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19.【答案】证明：如图所示:

图2

OC=PC，

Z.P=/■1，

z2=zP+zb

•••z.2=2zP,

,•OA=OC，

z.2=z.3，

z.3=2z.P>

zA0B=zP+z3，

Z.AOB=3z.P,

1

即NAPB=-ZAOB.

【解析】直接利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质得出答案.

此题主要考查了等腰三角形的性质以及应用设计与作图，正确运用等腰三角形的性质分析是解题关键.

20.【答案】解：(1)证明：由题可知，AB=AF,zBAM=zFAN,Z.B=NF=60°，

■■■△ABM经△AFN(ASA).

AM=AN.

(2)当旋转角a=30°时，四边形/BP尸是菱形.

理由："a=30°，

•••ZFAB=120°.

NB=60°，

•••NFAB+NB=180°.

•••AF//BP,

•••ZF=ZFPC=6O°>

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••zFPC=ZB=60°.

••AB//FP,

••・四边形45尸尸是平行四边形.

又•・.AB=AF,

・•・平行四边形45尸尸是菱形.

【解析】见答案

21.【答案】(1)证明：由题意可知：CD=CE,NDCE=90°，

••4ACB=90°，

•••ZACD=ZACB-Z.DCB,zBCE=zDCE-zDCB,

•*-ZACD=ZBCE,

fAC=BC,

在△ACD和△BCE中，ZACD=Z.BCE,

,CD=CE,

•••△ACD之△BCE(SAS)

(2)解：CACB=9O°，AC=BC,

•••ZA=45°，

由(1)可知：△ACD也△BCE,

•*-4A=4CBE=45°，AD=BE,

AD=BF,

•••BE=BF,

•••Z.BEF=67.5°.

【解析】此题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质.

(1)根据全等三角形的判定"S求解；

(2)根据旋转的性质和等腰三角形的判定与性质求解.

第20页，共27页

22.【答案】⑴证明：连接力区DB,CB,

AB

・・•点8与点。关于射线47/对称，ZHAB=30%

•*-CD=BD，AC=AB，

••ZHAB=ZHAC=30%

•••ZCAB=2ZHAC=60%

ABC为等边三角形，ZACB=60°，

4DCE=60°,

••ZDCE-ZACD=ZACB-ZACD，

Z.ECA=4DCB，

在aECA和^DCB中，

fEC=DC

ZECA=ZDCB,

,AC=BC

ECA之△DCB(SAS)，

•••BD=EA，

DC=BD=EC，

••AE=EC，

又AB=BC，

•••EB垂直平分NC;

(2)当NADC为钝角时，ZADC=90°+ZECA，

当NADC为锐角时，ZADC=90°-zECA.

【解析】【分析】

本题主要考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与

性质，证明^ECAg4DCB是解题的关键.

第21页，共27页

(1)连接/£，DB,CB,可得△ABC为等边三角形，再利用以5证明△ECA0△DCB，得BD=EA，从而

证明结论；

(2)分NADC为钝角和NADC为锐角两种情形，分别画出图形，即可得出答案.

【解答】

(1)见答案.

(2)解：如图，当NADC为钝角时，

・••点8与点C关于射线对称，

•••AH1BC，

由(1)知ZACE=/BCD，

•••ZADC=90°+ZBCD=90°+ZECA，

如图，当NADC为锐角时

点、B与点C关于射线///对称,

•••ZADC+ZBCD=9O°>

zACE=zBCD)

Z.ADC=90°-NECA.

23.【答案】⑴①••公ABC是等边三角形

第22页，共27页

••AB=BC=AC=AB'=AC,zBAC=60°

•••DB，=DC，

••AD1BC

,•zBABr+/CAC'=180°

•••々BAC+ZB'AC'=180°

・•・田AC=180°-NBAC=180°-60°=120°

••zBr==30°

11

•••AD=2AB，=-BC

故答案为,

②VzBABr+NCAC'=180°

•••ZBAC+4B'AC'=180°

,•ZBAC=90°

••NB，AC'=ZBAC=90°

在aBAC和△B，AC中，

,AB=AB；

/BAC=4B'AC"=90°

,AC=AC"

••ABACg△B'AC'(SAS)

••BC=BC

,•BD=DC

11

••AD=-BV=-BC=4

故答案为4

(2)AD与BC的数量关系：AD=,BC理由如下：

延长40到使得AD=DM,连接B，M、CM,如图1所示:

,•B，D=DC,AD=DM,

•••四边形ACMB，是平行四边形，

•••ZB，AC'+ZAB'M=180°，AC'=BrM=AC,

,•NBAB'+ZCAC'=180°，

•••iBAC+NB'AC'=180°，

第23页，共27页

ZBAC=NAB，M,

在aBAC和△AB，M中，

,AC=B'M

zBAC=ZAB'M,

,AB=AB'

BACBAAB'M(SAS),

•••BC=AM,

AD=1BC；

图1

(3)存在；作BELAD于E,作线段2C的垂直平分线交BE于尸，即为点P的位置；理由如下：

延长/。交8c的延长线于线段的垂直平分线交8c于尸，连接尸/、PD、尸C,作aPDC的中线

PQ,连接。尸交PC于。，如图4所示：

"NA+NB=120°，Z.C=90°>

•••NADC=150°，

•••ZMDC=3O°，

在Rt^DCM中，•••CD=6,ZDCM=90°，zMDC=30°，

•••CM=2近，DM=4^/3,zM=90°-NMDC=60°，

在RtaBEM中，NBEM=90°，BM=BC+CM=123+23=146，zMBE=90°-NM=30°，

•••EM=|BM=7V3,

•••DE=EM-DM=7A/3-4A/3=3^3,

,•1DA=6A/3,

•••AE=DE,

,•BE1AD,

•••PA=PD,

PF是线段的垂直平分线，

第24页，共27页

••PB=PC,PF//CD,

在RtaCDF中，CD=6,CF=|BC=6V3,

••4CDF=60°，

••ZMDF=ZMDC+ZCDF=30°+60°=90°，

•