第2讲投影基础23

平行投影法投射线相互平行投射线汇交于投影中心中心投影法斜投影法投影法投射线倾斜投影面投射线垂直投影面平行正投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图三视图间的投影规律:主、俯视图——长对正主、左视图——高平齐左、俯视图——宽相等画三视图的要点将物体自然放平，使主要表面与投影面平行或垂直;应用投影规律时注意整体和局部都要符合三等规律;

看不见的线画虚线，虚线与实线重合时画实线;

特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方位关系。画物体三视图举例三视图的画法宽基准

宽基准

yyBCA六视图主视图（正立面图）：由前向后投影在V投影面上所得的视图；左视图（左侧立面图）：由左向右投影在W投影面上所得的视图；俯视图（平面图）：由上向下投影在H投影面上所得的视图右视图（右侧立面图）：由右向左投影在w1投影面上所得的视图；仰视图（底面图）：由下向上投影在H1投影面上所得的视图；后视图（背立面图）：由后向前投影在V1投应面上所得的视图。各视图的作用主、俯、仰、后：长——左、右方位

主、左、右、后：高——上、下方位

左、右、俯、仰：宽——前、后方位

视图之间的投影联系主、俯、仰、后视图长对正；主、左、右、后视图高平齐；左、右、俯、仰视图宽相等。宽宽宽宽长表示左侧表示右侧思考：

如因图幅关系，六面基本视图不能按投影关系配置时，如何才能知道视图名称？

准确地表达物体的形状、尺寸和技术要求的图，称为图样。在机械工程中使用的图样称为机械图样。视图：能物体的真实形状完全地反映出来，如果再注上尺寸、技术要求，就构成一张完整的图样。立体图：对物体内部和后面等看不见部分的结构表达不清楚，不方便标注尺寸和技术要求，不能反映出物体的真实形状。立体感强，可以作为生产图样的辅助性说明。1.直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线平行于一个投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线:统称特殊位置直线垂直于一个投影面而与其余两投影面平行

与三个投影面都倾斜的直线VWH直线//某一投影面投影面平行线VWH//V正平线//W侧平线VWH水平线//H⑴投影面平行线b

a

aba

b

b

aa

b

ba

直线在所平行的投影面上的投影反映实长，与两投影轴的夹角反映空间直线与另两个投影面的真实倾角。

其余两面投影分别平行于相应的投影轴且均小于实长。水平线侧平线正平线γ投影特性:两平一斜。实长实长实长βγααβba

aa

b

b

返回⑵投影面垂直线VWHVWH直线

某一投影面投影面垂直线VWH

H铅垂线正垂线

V

W侧垂线铅垂线正垂线侧垂线投影特性:两线一点。●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)xxx

直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。

其余两面投影均反映线段的实长，且垂直于相应的投影轴。⑶一般位置直线

不反映空间线段的实长及与三个投影面的实角；

与相应投影轴都倾斜。

abb

a

b

a

YZHVXoWbaBAa'b'b"a"投影特性：三倾斜。定比定律直线与点的相对位置若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即

若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。判别方法：AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

ABCVHbcc

b

a

ax不在同一直线上的三点几何元素表示法直线和直线外一点相交两直线平行两直线任意平面形平面的几何表示法abca'b'c'd'dX0abca'b'c'X0abca'b'c'X0abca'b'c'X0abca'b'c'X02、平面的投影特性

投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面与三个投影面都倾斜类似性类似性积聚性铅垂面(1)投影面垂直面类似性类似性积聚性正垂面类似性类似性积聚性侧垂面

在其所垂直的投影面上，投影为直线，有积聚性；该直线与投影轴的夹角反映该平面对相应投影面的倾角；

在另外两个投影面上的投影不是实形，但有类似性。投影特性：两框一线(2)投影面平行面积聚性积聚性实形性水平面积聚性实形性正平面积聚性积聚性实形性侧平面积聚性

平面所平行的投影面上的投影反映实形（实形性）；

平面在另外两个投影面上的投影均积聚成直线，平行于相应的投影轴（积聚性）。投影特性：两线一框。(3)一般位置平面

三面投影均不反映实形，也不会积聚为直线，而是三个小于实形的类似形。类似性类似性类似性投影特性：三线框。3、平面上的直线和点判断直线在平面内的方法⒈平面内的任意直线

定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二根据定理二根据定理一有多少解？有无数解。平面内的任意点

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例2：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

平面上取点的方法：②●abca

b

k

c

d

k●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解首先在平面上取线例题已知点E

在

ABC平面上，且点E距离H面15，距离V面10，试求点E的投影。mnm'n'rsr's'1015e'e3、平面上的投影面平行线

凡在平面上且平行于某一投影面的直线，称为平面上的投影面平行线。

平面内的水平线——直线在平面内，又平行于水平面的直线。

平面内的正平线——直线在平面内，又平行于正面的直线。

平面内的侧平线——直线在平面内，又平行于侧面的直线。例3：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为15mm。n

m

nm15c

a

b

cab

唯一解！有多少解？例4已知△ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。a

b

c

bacm

n

nm例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。思考：此题有几个解？a

c

b

c

a

●abcb

45°bckada

d

b

c

k

b例2：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。解法一:解法二:cada

d

b

c

例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性

由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

为可见。还可通过重影点判别可见性。用线上取点法⑴平面为特殊位置abcmnc

n

b

a

m

k

●k●1

(2

)2●1●●1

(2

)km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵直线为特殊位置空间及投影分析

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性

点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

为不可见。k

●2

●1●用面上取点法●⒉两平面相交

两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：⑴求两平面的交线方法：①确定两平面的两个共有点。②确定一个共有点及交线的方向。只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。⑵判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。可通过正面投影直观地进行判别。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)空间及投影分析

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。①求交线②判别可见性作图

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●能!例：求两平面的交线MN并判别可见性。⑴能否不用重影点判别？OXabcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)●m●n●OXa′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′1(2)′′空间及投影分析

平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m

、n

即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。①求交线②判别可见性

点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故m

c

可见。作图⑵2●1●m′●m●n●●n′●abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′m●n●n′●m′●c

d

e

f

a

b

abcdef⑶投影分析

N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。

所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。n●n

●m

●k●m●k

●互交c

d

e

f

a

b

abcdefm●k●k

●m

●abca

b

c

①直线为一般位置时②直线为特殊位置时bab

ka

k

●●

小结

★点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线与平面的投影特性。重点掌握：★点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。一、直线上的点⒈点的投影在直线的同名投影上。⒉点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。⒊判断方法二、两直线的相对位置⒈平行同名投影互相平行。

对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。abcdc

a

b

d

①

对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。cbdd

b

a

c

②a⒉相交⒊交叉（异面）

同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。

同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。●●cabb

a

c

d

k

kd①c′′a′bd′abcd②三、点与平面的相对位置面上取点的方法baca

k

b

●①c

利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解②●abca

b

k

c

四、直线与平面的相对位置⒈直线与平面平行直线平行于平面内的一条直线。⒉直线与平面相交⑵投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。⑴一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性，采用直线上取点的方法求解。abcmnc

n

b

a

m

m(n)b●m

n

c

b

a

ac五、两平面的相对位置⒈两平面平行⑴若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。⑵若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。