一元二次不等式及分式不等式的解法

专题002：一元二次不等式及分式不等式的解法（师）考点要求：1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型．2．考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题．3．以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．4．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．5．熟练掌握分式不等式、含绝对值不等式的解法．知识结构1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅说明：（1）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4（2）1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．双基自测1．不等式x2－3x＋2＜0的解集为()．A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B．(－2，－1)C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(1,2)解析∵(x－1)(x－2)＜0，∴1＜x＜2.故原不等式的解集为(1,2)．答案D2．(2011·广东)不等式2x2－x－1＞0的解集是()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(1，＋∞)解析∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0，∴x＞1或x＜－eq\f(1,2).故原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(1，＋∞)．答案D3．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是()．A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(1,3)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,3)≤x≤\f(1,3)))D．R解析∵9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≥0，∴9x2＋6x＋1≤0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝－\f(1,3))).答案B4．若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2＜x＜\f(1,4)))，则ab＝()．A．－28B．－26C．28解析∵x＝－2，eq\f(1,4)是方程ax2＋bx－2＝0的两根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－2,a)＝－2×\f(1,4)＝－\f(1,2)，,－\f(b,a)＝－\f(7,4)，))∴a＝4，b＝7.∴ab＝28.答案C5．不等式ax2＋2ax＋1≥0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________．解析当a＝0时，不等式为1≥0恒成立；当a≠0时，须eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,4a2－4a≤0.))∴0＜a≤1，综上0≤a≤1.答案[0,1]例题选讲：例1：函数f(x)＝eq\r(2x2＋x－3)＋log3(3＋2x－x2)的定义域为________．解析依题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2＋x－3≥0，,3＋2x－x2＞0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(3,2)或x≥1，,－1＜x＜3.))∴1≤x＜3.故函数f(x)的定义域为[1,3)．答案[1,3)总结：解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．例2：求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．[审题视点]先求方程12x2－ax＝a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集．解∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，得：x1＝－eq\f(a,4)，x2＝eq\f(a,3).①a＞0时，－eq\f(a,4)＜eq\f(a,3)，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(a,4)或x＞\f(a,3)))；②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；③a＜0时，－eq\f(a,4)＞eq\f(a,3)，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(a,3)或x＞－\f(a,4))).综上所述：当a＞0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(a,4)或x＞\f(a,3)))；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＜0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(a,3)或x＞－\f(a,4))).总结：解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．例3：已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．[审题视点]化为标准形式ax2＋bx＋c＞0后分a＝0与a≠0讨论．当a≠0时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝b2－4ac＜0.))解原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，从而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2＞0，,Δ＝42－4a＋2a－1＜0，))整理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞－2，,a－2a＋3＞0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞－2，,a＜－3或a＞2，))所以a＞2.故a的取值范围是(2，＋∞)．总结：不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0；))不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0.))例4：已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．解一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为[－3,1]．解二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,a＜－1，,g－1≥0.))解得－3≤a≤1.所求a的取值范围是[－3,1]．例5：.【2012高考重庆文2】不等式的解集是为（A）（B）（C）（-2，1）（D）∪【答案】C【解析】原不等式等价于即，所以不等式的解为，选C.例6：【2012高考江西文11】不等式的解集是___________。【答案】【解析】原不等式等价为或，即或，解得或，所以原不等式的解集为。巩固作业：（要求例题讲解后完成，根据自己实际情况有针对性地选择完成）A组：1．（2010全国卷2理数）（5）不等式的解集为（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C2.【2012高考湖南文12】不等式x2-5x+6≤0的解集为______.【答案】【解析】由x2-5x+6≤0，得，从而的不等式x2-5x+6≤0的解集为.【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查简单的运算能力.3.【2102高考福建文15】已知关于x的不等式x2-ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________.【答案】．【解析】恒成立，即，易得.4.(2011上海理)不等式的解为或。5、（2011安徽文）函数的定义域是.解：（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法.【解析】由可得，即，所以.6.函数的定义域为7.若不等式的解集是，则b=__-2____c=__-3____.8.关于的不等式的解集是空集，那么的取值区间是[0，4] 9.若关于x的不等式的解集为R，则的取值范围是10.若不等式的解集为，则实数p=.（答：）11.不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|α＜x＜β}其中β＞α＞0，则不等式cx2+bx+a＜0的解集是12.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是13.解不等式：（1）（2）（3）（4）解：（1）原不等式化为，解集为（2）原不等式化为，解集为R（3）原不等式化为，解集为（4）由得点拨：解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程的判断、以及对应方程两根大小的比较.B组：1.若0<a<1，则不等式的解是（A）A.B.C.D.2.若0＜a＜1，则不等式（x－a）(x－)>0的解集是（C）A．(a，)B．(，a)C．(－∞，a)∪(，+∞)D．(－∞，)∪(a，+∞)3.若不等式的解集为，则下列结论中正确的是（C）A.B.C.D.4．已知,,若,则实数的取值范围是（D）A．B．C．D．5．关于的不等式的解集是，则a＋b的值是（D）A．-24 B．－14 C．14 D．246.已知全集U=R,集合A={x|},B={x|},则CR等于(B)A. B.C. D.7.在实数集上定义运算：，若不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是（C）..8.设，解关于的不等式：略解：9．解关于x的不等式(1－ax)2＜1.解由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，即ax(ax－2)＜0，当a＝0时，x∈∅.当a＞0时，由ax(ax－2)＜0，得a2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))＜0，即0＜x＜eq\f(2,a).当a＜0时，eq\f(2,a)＜x＜0.综上所述：当a＝0时，不等式解集为空集；当a