2024-2025学年河北省高三上学期省级联测数学试题及答案

2024—2025高三省级联测考试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.x∣y9x2A2,3,4,BAB1.已知集合，则（）2,3B.1,2AC.D.2,3,42,3a为纯虚数，则（za12az2a24ai,aRzz122.已知复数A.1或2，若）2B.1C.2D.3ab2,0ab2a3.已知向量a,b满足A.0，且，则在b上的投影向量的坐标为（）B.0C.0D.012π2sinsin23π，则4已知（）2134A.B.C.2D.645.某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）ABCD是面积为16的正方形，则该几何体的体积为（）第1页/共5页16π64πA.B.16πC.D.72π33的前项和，3S2123,3，则数列n2n的前项和为San86.设为正项等比数列5nn（）A.55B.57C.87D.89π2fxAsinxA0,7.已知函数的图象先向fx的部分图象如图所示，将函数π1右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的的图象，若gx42ππ126在）x关于的方程gxm0x,m上有两个不等实根，则实数的取值范围为（3A.2B.D.3,33,2C8.已知定义域为R的函数不是常函数，且满足，，则fxyfxyfxfyf10fxfi)（）i12A.B.2C.D.2026､二多选题：本题共小题，每小题分，共3618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目第2页/共5页要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.XN1,4,YN2,19.已知随机变量，则下列说法正确的是（）P(X0)0.2PX，则20.4A.若a9PXaPX0.20.1B.若PX10.4，则PX1PY2C.D.PX4PY410.已知函数fxx32x2x，若gxfxx22xa，则下列说法正确的是（）A.函数的单调递增区间为1,3fxB.函数的极大值点为1fx的值域为fxx1,2，则0C.若gx0的取值范围为,aD.若x0，都有成立，则，则下列说法正确的是（11.已知曲线G:xxyy4）A.点在曲线G上B.直线l:yx与曲线GC.设直线l:y2，当无交点k1,0时，直线与曲线恰有三个公共点lGD.直线l:xy2与曲线G所围成的图形的面积为π2､三填空题：本题共小题，每小题分，共3515分.fxa3x1xb,a,bR12.已知函数2yfxx0在处的切线方程为，若曲线y3x2ab__________.，则푥2푦2F,2，过坐标原点O的直线与双曲线C113.已知双曲线퐶:−=1(푎>0,푏>0)的左右焦点分别为､交于푎2푏2M,NM0.若点P在双曲线CFP2NF，则双曲线C两点，且点在第一象限，满足上，且1211的离心率为______.14.某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道第3页/共5页2m题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试3题的概率为，则当__________时，取得最大值.fmfmm､四解答题：本题共小题，共577分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤..､AAC15.在VABC中，角（1）求角A；,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足.acabbc（2）若a23,ABC的面积为3，求VABC的周长.x22y22π1ab0的左焦点为，上下顶点分别为F､,BAF1B16.已知椭圆Γ:，且，点1ab22在Γ上.2（1）求椭圆Γ的方程；FM,Nx2（2）过左焦点的直线交椭圆Γ于两点，交直线于点P，设PMMF，PNNF，证111明：为定值.17.如图，在四棱锥PABCD中，平面PCD平面ABCD,为钝角三角形且，DABABCADBDCB90,E是PA的中点.（1）证明：BDPD；（2）若直线PD与底面ABCD所成的角为o，求平面与平面夹角的正弦值.18.已知函数2fxxaxa0).（1）证明：函数的极大值大于1；fx（2）若函数有3个零点，求实数的取值范围；fxa（3）已知Ax,y,i3fx是图象上四个不重合的点，直线0A30为曲线푦=푓(푥)在点处的iii第4页/共5页A,A,Axx2x.120切线，若三点共线，证明：123Aa,a,a,,a1nn2，若A中的元素aiL,ni满足19.已知有限集23aaaaaan，则称A为“元重生集”.12n12n1212,是否为“2元重生集，请说明理由；”（1）集合22（2）是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由；aNi*n，证明：“元重生集”A有且只有一个，且n3.（3）若第5页/共5页2024—2025高三省级联测考试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.x∣y9x2A2,3,4,BAB1.已知集合，则（）2,31,2A.B.D.C.2,3,42,3【答案】B【解析】【分析】结合对数型复合函数的定义域化简集合B，再由交集的定义求AB.BxZy9x2xZ9x20xZ3x32，【详解】集合A2,3,4，所以AB1,2而.故选：B.a为纯虚数，则（za12az2a24ai,aRzz122.已知复数，若）2A.1或2B.1C.2D.3【答案】C【解析】，根据纯虚数的概念得到方程和不等式，求出答案.zza2a2a4a3i2【分析】计算出12az2a4ai,aR可知，za122【详解】由24a3i，zza2a2a24aia2a2a212第1页/共20页24a30a因为1z2为纯虚数，所以，解得a2.a2a20故选：C.ab2,0ab2a3.已知向量a,b满足，且，则在b上的投影向量的坐标为（）A.000D.0B.C.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件求得ab2，结合投影向量的坐标公式即可求解.ab2，所以(ab)2a22abb242ab44，可得ab2，【详解】已知ab1，b2,01,0所以|b|22故选：A.12π2sinsin23π，则4.已知（）2134A.B.C.2D.64【答案】D【解析】2tan【分析】根据已知条件得，然后将目标式子用表示，由此即可得解.π23π，得sin2cos2，则，【详解】由1sin2sin2sinsincos2tantan4262所以2，22故选：D.5.某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）ABCD是面积为16的正方形，则该几何体的体积为（）第2页/共20页16π64πA.B.16πC.D.72π33【答案】C【解析】【分析】得到ABBC4，确定球的半径和圆柱的底面圆半径和高，利用球和圆柱体积公式进行求解.【详解】因为四边形ABCD是面积为16的正方形，则ABBC4，由题意可知半球的半径R2，圆柱的底面圆半径r2，高h4，14VR16π3由球的体积公式可得半球的体积，1233VShr22h16π由圆柱的体积公式可得圆柱的体积，16π64πVVV16π故该几何体的体积.1233故选：C.的前项和，3S2123,3，则数列n2n的前项和为San86.设为正项等比数列5nn（）A.55B.57C.87D.89【答案】C【解析】an【分析】先由已知条件算出公比，然后得表达式，结合分组求和、等差数列以及等比数列求和公式即可求解.a01q0.【详解】因为{푎푛}是正项等比数列，所以，公比3Sa2a31，所以a123232210，因为，则21321221q2aq2a02q2q20q=2或q即，则，解得11aaq2418，又因为31第3页/共20页a2所以所以，所以数列{푎푛}的通项公式为n2n，1a2n12nn2n1，设数列的前项和为a2n1nn，n12322n52T2123n则n21352n212223nn12n1212n2n12n2，122T25652287所以，故选：C.π2fxAsinxA0,7.已知函数的图象先向fx的部分图象如图所示，将函数π1右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的的图象，若gx42ππ126在）x关于的方程gxm0x,m上有两个不等实根，则实数的取值范围为（3A.2B.D.3,33,2C.【答案】B【解析】【分析】首先根据三角函数的图象与性质计算即可得表达式，先根据三角函数的图像变换得fxπ3gx4x，结合正弦函数的单调性、对称性可判定m的取值范围.π2fxAsinxA0,【详解】由函数A2，的部分图象可知，第4页/共20页ππ32πT，所以Tπ,2，因为1264Tπ6πππ2π,kZ，解得2π,kZ，f2，所以2又由626πππfx2sin2x可得，所以，266π1将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的fx42πππ2ππ33π，可得tgx4x的图象，令t4x3x,,，由，31262ππππ,y2sint,函数在3上单调递减，在上单调递增，223π2π2π3,3，且33ππgxm0在上有两个不等实根，x因为关于的方程x,126ππymymgx的图像在yx,即即与与上有两个交点，1262ππty2sint,在上有两个交点，333m所以实数的取值范围为，故选：B.8.已知定义域为R的函数不是常函数，且满足，，则fxyfxyfxfyf10fxfi)（）i12A.B.2C.D.2026【答案】A【解析】f02fx的周期为4，进一步结合已知得【分析】依次算得，，由此得푓(1)+푓(2)+푓(3)+푓(4)=0，然后利f4f02f3f1f2f0用周期性即可求解.第5页/共20页，又푦=푓(푥)不是常函数，所以2，y02fx，得fxf0f0【详解】由题意，令y1，得fx1fx1fxf1，即，0fx1fx1再令则푓(푥+2)=−푓(푥)，即所以函数푦=푓(푥)的周期为4，由푓(푥+2)=−푓(푥)，令x1，fxfx2，故fxfx4，f3f1f2f0f4f02，得所以푓(1)+푓(2)+푓(3)+푓(4)=0，fi)ff(2)ff(4)]f(2025)f(2026)f(2025)f(2026)所以i1f1f22.故选：A.､二多选题：本题共小题，每小题分，共3618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.XN1,4,YN2,19.已知随机变量，则下列说法正确的是（）P(X0)0.2PX，则20.4A.若a9PXaPX0.20.1B.若PX10.4，则PX1PY2C.D.PX4PY4【答案】BD【解析】【分析】根据正态分布函数的性质逐一判断各个选项即可求解.P(X0)PX20.2PX21PX210.2【详解】对于选项A，因为0.8，故A错误；，所以XN1,4，且PXaPX0.20.1，对于选项B，因为a0.2则1，即a1.8，2第6页/共20页a9则，故B正确；PX1P(0.2XP(XPX0.20.50.10.4PX1PY20.5对于选项C，，故C错误；XN1,4,YN，对于选项D，因为随机变量2,1所以，1122PX4PX5PX,PY4PY因为，1122PXPY2又，112所以PX4PY4，故D正确，故选：BD.10.已知函数fxx32x2x，若gxfxx22xa，则下列说法正确的是（）A.函数的单调递增区间为1,3fxB.函数的极大值点为1fx的值域为fxx1,2，则0C.若gx0的取值范围为,a成立，则D.若x0，都有【答案】BCD【解析】【分析】A选项，求导，解不等式求出函数单调性；B选项，在A选项基础上得到函数的极大值点；C选项，在上单调递减，从而求出值域；选项，参变分离，得到1,2Dfxx3x2ax，构造函数hxx3x2xhx，求导得到其单调性，求出的最小值为，故h11a1.【详解】对于选项A，因为fxx32xx，2所以fx3x24x13x1x1，13x,时，fx0；所以当1x,113fx0，所以fx,1，故A错误；当时，3对于选项B，如下表：第7页/共20页13131,1x,13fx-0+0-fx单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以1为函数的极大值点.故B正确；fx对于选项C，在上单调递减，所以的最小值为，fx1,2fxf22最大值为f0x1,2时，fx0，故C正确；的值域为，所以当gxfxx对于选项D，22xax3xxa.2因为gx0.即ax3x2x，hxx令3x2xhx3x22x13x1x1时，，则，xxhxhx单调递增，因为，所以当x时，单调递减，hxhx当所以当x1时取到极小值，所以的最小值为，hxh11所以a1，故D正确.故选：BCD.11.已知曲线G:xxyy4，则下列说法正确的是（）A.点在曲线G上B.直线l:yx与曲线G无交点C设直线l:y2，当k1,0时，直线与曲线恰有三个公共点lGD.直线l:xy2与曲线G所围成的图形的面积为π2【答案】BCD【解析】【分析】直接将点代入曲线方程即可判断A；分x,y的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，当斜率为1时结合渐近线可得B正确；由四分之一圆面积减去三角形面积可得D正确；由图形可得第8页/共20页C正确.222222xy0xyxxxyy4yxxy0xy0【详解】，yx2yxy02xy0时，x2y4无意义，无此曲线，故舍去，2因为当222222xy0xyyxxy0xy0所以曲线G表示为x，作出曲线图象如图所示，yxxyy4，得到24，显然不成立，故A错误；对于选项A，将点代入yxxxxx04，无解，故B正确；对于选项B，将对于选项C，由于直线轴平行，与曲线G代入曲线G得，y2恒过点(0,2)，当k0时，直线与x有一个交点；当k1时，直线与曲线G的渐近线平行，此时与曲线G有两个交点.1k0时.结合斜率的范围可得直线与曲线G当C正确；x,y对于选项D，设直线l与轴的交点分别为,B.因为圆的半径为2.且点，A2,0,B0,211π2222π2所以直线与曲线G围成的图形的面积为故选：BCD.，故D正确.42第9页/共20页x,y【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析.､三填空题：本题共小题，每小题分，共3515分.fxa3x1xb,a,bR12.已知函数2yfxx0在处的切线方程为，若曲线y3x2ab__________.，则【答案】3【解析】a,b【分析】由切线方程可知切点坐标和切线斜率，利用导数几何意义，建立方程，可求的值，进而得到所求和.fxa3x1x【详解】由函数2bf0，有，ba3x1fx，可得2xf0a，由因为曲线푦=푓(푥)在x0处的切线方程为y3x2，aab2ab3.，则所以解得b30故答案为：3.푥2푦2F,2，过坐标原点O的直线与双曲线C113.已知双曲线퐶:−=1(푎>0,푏>0)的左右焦点分别为､交于푎2푏2M,NM0.若点P在双曲线CFP2NF，则双曲线C两点，且点在第一象限，满足上，且1211的离心率为______.1731317【答案】【解析】##NF1mPF12m，由双曲线定义可得【分析】作出辅助线，根据数量积为0得到垂直关系，设，则2c179173PF2a2,NF2amma，由勾股定理得到方程，求出，进而求出.223a,,NF,，2【详解】如图，连接122ππ因为0，所以FFNF，由对称性可得12，121222第10页/共20页由FP2NF，可设NF1m，则PF12m，11PFPF2aNFNF2a由双曲线的定义可知，，，2121πPF2a2,NF2amFNF2NF222|PN|2，则，由得，2212223(2a2m)29m2(2am)2ma即，解得，πFNF222又由得，121NNF2，122222a8a689c17172即12a24c2，解得，33a93173所以双曲线C的离心率e.17故答案为：314.某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道2m题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试3题的概率为，则当fm__________时，取得最大值.fmm【答案】13或14【解析】2m20mfmfm123【分析】先得到fmm20，利用C1解不等式即可.fmfm132m320m23【详解】由题意得fmm200m20mN且，C1，第11页/共20页2m20m20mm1m1m19m232323CCm201CCm12011,,fmfm13，即则故fmfm12m222m2011m120333320!220!,m!20m!3m1!21m!3mN，所以，m13或m=14又20!120!2,m!20m!3m1!19m!3fm取得最大值.故当故答案为：13或14.m13或m=14时，､四解答题：本题共小题，共577分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤..､AAC15.在VABC中，角（1）求角A；,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足.acabbc（2）若a23,ABC的面积为3，求VABC的周长.π【答案】（1）3（2）2623【解析】1）根据正弦定理、三角恒等变换得A1，进一步即可求解；（2）根据三角形面积公式得bc4，进一步结合余弦定理可得bc26，由此即可得解.【小问1详解】AAC由题意，因为，ac所以bAAaC，2sinBcosAsinCcosAsinAcosCabbc由正弦定理可得，BcosAsinAcosCsinCcosAsinACsinB即，12因为sinB0，所以A1，所以A，π又0Aπ，所以【小问2详解】A.3第12页/共20页π312A由（1）可知，，则sinA,cosA，32113因为VABC的面积Sbc34，可得bc26sinAbc3，可得bc4，222由余弦定理可得a222bccosAbc)bc，2即12bc)2，所以VABC的周长为abc2623.x22y22π1ab0的左焦点为，上下顶点分别为F､,BAF1B16.已知椭圆Γ:，且，点1ab22在Γ上.2（1）求椭圆Γ的方程；FM,Nx2（2）过左焦点的直线交椭圆Γ于两点，交直线于点P，设PMMF，PNNF，证111明：为定值.x2y12【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】2πAF1Ba,b代入椭圆方程求出即可；1）由，得ab，再把点22（2）设出直线的方程，代入椭圆方程，设Mx,y,Nx,y，由PMMF，PNNF，表112211示出，利用韦达定理化简得定值.【小问1详解】πAF1B由题意可知，，所以ab，2211Γ1，因为点在上，所以22b22b2解得b1，故a2，第13页/共20页x2所以椭圆Γ的方程为【小问2详解】y1.22ykx，由已知得直线的斜率必存在，可设直线的方程为代入椭圆方程，整理得12kx4kx2k4k20，22228k80，22k22设，则xx,xx，Mx,y,Nx,y11221221212k212kx211x221Pk,F1,0又，由,NF1,2得.1113x4x1121222121x212所以，x1x1122k24k242340，2因为2123xx12212k12k0所以17.如图，在四棱锥PABCD中，平面PCD平面DABABCADBDCB90,E为定值.ABCD,为钝角三角形且，是PA的中点.（1）证明：BDPD；（2）若直线PD与底面ABCD所成的角为o，求平面【答案】（1）证明见解析与平面夹角的正弦值.第14页/共20页427（2）【解析】1）根据面面垂直的性质得到平面，再根据线面垂直的性质即可得证.B,C,D,E（2）根据已知条件建立适当的空间直角坐标系，表示出的坐标，求出两个平面的法向量，再结合向量夹角的坐标公式以及同角三角函数关系即可求解.【小问1详解】由则2DCB90，得AB,//BC，DCB45，BDCD,BDC90BDCD，所以，即PCDABCDPCDABCDCD,BDABCD，因为平面平面，平面平面平面所以平面，又PD平面，所以【小问2详解】BDPD.如图，过点P作CD的垂线，交CD的延长线于点H，连接，PCDABCDPCD,CDPCDABCDCD,PH因为平面平面，平面平面平面，所以PH平面ABCD，则为PD在底面ABCD内的射影，所以为直线PD与底面ABCD所成的角，即60.设1，得BDDCDP2,BC2，26在中，DH，,PH222在ADH中，，由余弦定理得AHAD2ADcos45，222CD，所以AH22AD2，所以如图，过点D作//，则ABCD底面，x,y,zDB,DC,DF以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，第15页/共20页6262222B2,0,0,C2,0,P,,,0,E,,,A，则22224246222,0,0,,,,2,0所以，424nx,y,z,mx,y,z，设平面和平面的法向量分别为111222n2x0m2y012则令，10m，226226n112y2z204244243zz1，则xy,x3,y0，22121123n,1,m3,0,1所以，2nm17n,m则nm747，2设平面与平面的夹角为，742则,sin1cos，7742故平面与平面夹角的正弦值为.718.已知函数2fxxaxa0).（1）证明：函数的极大值大于1；fx（2）若函数有3个零点，求实数的取值范围；fxa（3）已知Ax,y,i3fx是图象上四个不重合的点，直线0A30为曲线푦=푓(푥)在点处的iiiA,A,Axx2x.120切线，若三点共线，证明：123第16页/共20页【答案】（1）证明见解析332,（2）2（3）证明见解析【解析】a【分析】（1）求导，得到函数单调性，确定当x时，取得极大值，由单调性得到fx3aff01；3a（2）在（1）的基础上，得到函数有3个零点，应满足f0，即fx3aaa33210，解得；a3320Ak32xxxa20（3）表达出直线的斜率，同理可得3i03302x，又3kk12xxx23a,k2112xxx22ax1，根据三点共线得到方程，得到131312fxx2xxx032xxx2x，故.120，所以，求出03030300【小问1详解】a证明：由题，fx3x2，令，afx0，解得x3aa当x<--或x>-时，单调递增，fxfx33aa当--<x<-时，单调递减，fxfx33a所以当x时，取得极大值，fx3aff01，由单调性可知3所以函数的极大值大于1.fx【小问2详解】第17页/共20页aafx时，f有极大值，且极大值为10，由（1）可知，当x33ax,fx;x,fx有极小值，fx时，因为，且当x3aa3a所以要使得函数有3个零点，应满足f0，即a10，fx33323323,解得aa，所以实数的取值范围为.22【小问3详解】x2xxxa0x33ax1x30013x20A30330直线因为的斜率k03，33030xx3k32xxx20a，所以，0i0330k12xxx23a,k2112xxx22a同理可得，131312A,A,Ax21xxx23a12xxx22a，因为三点共线，则有1231312整理得xxxxxxx，1232323xxxxxxxx因为，所以，即，32321123fx，所以2320a3x02kx30xa，又030整理得x2xxx0，0303xxx2x032x，即，0因为所以，所以3030xx2x.012【点睛】方法点睛：导