2024-2025学年黑龙江省绥化市绥棱县一中高三上学期10月月考数学试题及答案

2024～2025学年度上学期高三10月月考试卷数学考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：集合、逻辑、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形、平面向量及应用、复数、数列、立体几何初步.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A2,3，Bxx2x5，则AB（3）B.2,C.2D.2A.2,3zi1i2.在复平面内，复数za（aR）对应的点在直线y2x上，则（）35A.1B.iC.iD.i223.在△中，若ABAC4AP，则（）314314134134A.ABACB.ABACC.ABACD.ABAC4444sincos2sincos13π44.已知，则tan的值为（）3453545A.B.C.D.55.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，异面直线与CD所成的角为（）A.90°B.60°C.45°D.30°6.在△中，A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b是a，c的等差中项，B，ABBC63，则该三角形外接圆的半径R为（）A.62B.31C.23D.327.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，已知aaaaaa2022a2023（数列a为“斐波那契数列”，则122334）n20222024A.2023B.2024C.1D.21，则下列结论中正确的是（1x8.已知函数fx满足ffxfy，fy2）1A.f2B.f2C.f4D.f82014二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知平行四边形ABCD中，BCBD，将△ABD沿着翻折使点A到达点P且P不在平面BCD内，则下列结论正确的是（）A.直线可能与直线垂直C.直线可能与直线垂直B.直线CD可能与直线垂直D.直线不可能与直线垂直10.已知等比数列an首项11，公比为q，前n项和为S，前n项积为T，函数nnfxx(xaxaxa，若f01，则（）127为单调递增的等差数列B.0q1A.an1C.SD.使得n1成立的n的最大值为6为单调递增的等比数列n1qxx1211.已知函数fx，则下列结论正确的是（）exA.函数fx存在两个不同的零点B.函数fx既存在极大值又存在极小值C.当ek0时，方程fxk有且只有两个实根5D.若xt,时，fx，则t的最小值为22e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.112.写出“x2”的一个充分不必要条件______.x0）在2π上有最小值没有最大值，则的取值13.已知函数fxx2sin2xsinx（范围是______.14.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）在△中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a:b2:3，2sinB3sinA22.（1）求角B的大小；（2）若a2，求△的面积.16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为，的中点.（1）证明：EF//平面PCD；（2）若AB2AD2，PD1，ABD30，求点D到平面的距离.17.（本小题满分15分）已知函数fx的图象如图所示.（1）写出函数fx的关系式；πsinx,cosx，bx,3x，gxabma.若x，x（2）已知a，122g1f2恒成立，求实数m的取值范围.18.（本小题满分17分）的前n项和为Sn，且满足4Snn2已知正项数列an1.（1）求a的通项公式；nan12an*（2）令bn，记数列n的前n项和为T，若对任意的nN，均有n169n4m2n52n恒成立，求实数m的取值范围.Tn19.（本小题满分17分）设函数gx在区间D上可导，gx为gx的导函数.若gx是D上的减函数，则称gx为D上的“上凸函数”；反之，若gx为D上的“上凸函数”，则gx是D上的减函数.π2（1）判断函数fx2xx1在上是否为“上凸函数”，并说明理由；112（2）若函数hxx3ax2axxax是其定义域上的“上凸函数”，求a的范围；3（3）已知函数x是定义在R上的“上凸函数”，P为曲线yx上的任意一点.求证：除点P外，曲线y上每一点都在点P处切线的下方.x2024～2025学年度上学期高三10月月考试卷・数学参考答案、提示及评分细则一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号答案12345678DBACBACA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案ABBCDABC31.D因为A2,3，Bxx12x30x1x，且23，232所以AB，故选D.22.B在复平面内复数za（aR）对应的点为a,2，zi1i所以a1，i，故选B.1i1i11434143.APBABAPABABACABAC.4sincos2sincos13tan12tan1134.C∵，∴，得tan4，πtantanπ4tan14134∴tan，故选C.π141tan51tantan45.B把展开图还原成正方体如图所示，由于AB//CE且相等，故异面直线与CD所成的角就是和CD所成的角，故ECD（或其补角）为所求，再由△ECD是等边三角形，可得ECD60.故选B.363，所以ac12，6.A因为ABBCacπBac2由余弦定理可得b2a2c2acB，22ca，acca122故a2c2234解得ac2231，b23162，b因为2R，所以Rb62.sinB7.C由题意得aaa2，23aaaa242，2122242aaaa24，aaaaaaaa2，…，3a44422a445464464220222024a，所以aaaaaa2022202320222024，所以122334aaaaaa2022a202220242022202412233420231.故选C.20222024128.A令y1得f10；令x1，y2得ff1f21，所以f21；12令x2，y4得ff2f4，所以f42；112令x4，y8得ff4f8，所以f83；114令x1，y4得ff1f4.综上只有A正确.29.AB当平面与平面BCD垂直时，由BCBD可得BC平面，此时，BCPD，A正确，D错误；当ABD45时，在翻折过程中，可以取从0°到2ABD90的范围，而AB//CD，即直线与直线CD所成角为，所以存在点P，使得CD，B正确；由BCBD可得AD，所以ABD为锐角，PBD为锐角，所以C错误，故选AB.x，10.BCD令gxx1x2x7，则fx1，∴fxgxx，∴f0g01271，即4因为a是等比数列，所以aa7a741aq3，n121∵11，∴0q1，B正确；是公差为q的递减等差数列，A错误；∵∵aaqn1an1q，∴an11n111qSn1qn1qn1，1q1qq11qq1∴是首项为0，公比为的递增等比数列，正确；qC∵a1，0q1，a1，∴n3时，n5，a1时，0a1，14nn∴n4时，n1，741，∴n8时，TTaaaT1，∵又Taaaa7127n789n777T51，61，所以使得n1成立的n的最大值为6，D正确.故选BCD.6771511.ABCA项，fx0，则x2x10，解得x，所以A正确；2x2x2x1x2B项，fx，exex当fx0时，1x2，当fx0时，x1或x2，，单调递增区间是2.所以函数fx的单调递减区间是,1，所以f1是函数的极小值，f2是函数的极大值，所以B正确.C项，当x时，fx0，根据B可知，函数的最小值是fe，故当ek0时，方程fxk有且只有两个实根，所以C正确；5D项，f2，t1也符合要求，所以D不正确.e2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.112.x2（答案不唯一）x2x0，x∵x0的一个充分不必要条件只需是,0的真子集.1113.,2sin2xsinx2x3x，fx2xxx63当x2π时，x6π，若fx在2π上有最小值没有最大值，113则ππ2π，所以.62233614.22π因为棱长为a的正四面体的高为a2aa，236646所以截角四面体上下底面距离为62，333设其外接球的半径为R，等边三角形的中心为O，正六边形的中心为O，易知外接球球心O在线段OO上，且OO垂直于平面与平面，则463R2OC2R2OH2，2233463112所以R2R222，解得R2，114π22π.所以该截角四面体的外接球的表面积为4R22四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.ab15.解：（1）在△中，由正弦定理可得，sinAsinBsinAsinBab2所以，所以3sinA2sinB.32又2sinB3sinA22，所以sinB.2π又ba，所以BA，所以B（2）若a2，则b3，.4a2c2b24c231c22在△中，由余弦定理可得B，2ac22c4c2解得c21，所以△的面积为acsinB22111221.222216.（1）证明：取的中点M，连接，CM.1因为F为的中点，所以MF//AD，且.21又E为的中点，所以EC//AD，且ECAD，2所以MF//EC，且EC，所以四边形EFMC为平行四边形，所以EF//CM.又EF平面PCD，CM平面PCD，故EF//平面PCD.（2）解：在△ABD中，AB2AD2，ABD30，由正弦定理得90，则3.因为PD平面ABCD，所以PDBD，PDAD，在△PAD中，在△PBD中，PAPDAD2，22222，22142在等腰中，上的高为22，211427所以△2.22设点D到平面的距离为d，1117由PD得131d，3232217解得d，即点D到平面的距离为.737π5102π9517.解：（1）由图可得，Tππ，Tπ，，463699π，将点,1代入得1sin3539πππ设函数fxsinx5，，结合图象解得109所以fxsinx.510（2）asinx,cosx，bx,3x，2则gxabmaabmasinxx3xm2123sin2xcos2x1m2133π33sin2x2xmsin2xm.2222π由题意知函数gx在内的最小值大于等于函数fx的最大值.2ππ9π4ππ，在π∵0x，∴x，∴上，函数fxsin1.210510522πππ4π32π3∵0x，2x，∴sin2x1，233333m，∴m1，∴m1.gxm2218.解：（1）因为4Sn1n2，当nnN*时，有4Sn1n12，14nn2a2n12n2n1，两式相减得n1nn120.化简得n因为a0，所以aa20，nnn1n2中，当n1得11，1在4Sn*所以数列a是以1为首项，2为公差的等差数列，故an2n1nN.nn12n1n（2）由（1）知n，n122423n4n∴T1，n21441123n4n∴T，n23444411131114nn4nn444n334n4n1n4n∴T1，n211444416n4∴n.994n11692n恒成立，由题意，对任意的nN*，均有n4m2n5Tn42n52n5n4∴n4m2n，即m恒成立.94n192n2n52n设n，2n32n572n所以n1n.2n12n2n1当n3时，n1n0，即n1n；当n4时，n1n0，即n1n，3所以c的最大值为c，n416431112所以m，故m的取值范围是,.91612π219.（1）解：fx2xx1在上是“上凸函数”，理由如下：fx2cosx1，fx2cosxsinxfx2xxsinx，令tx所以tx22sinxxx22sinxxx