2024-2025学年新教材高中数学第五章数列5.4数列的应用课时素养评价含解析新人教B版选择性必修第三册

PAGE课时素养评价十一数列的应用(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.在我国明代数学家“珠算之父”程大位(1533-1606)所著的《算法统宗》中,有很多用诗歌形式表达的数学问题,如八子分棉歌:“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言,务要分明依次第,孝和休惹外人传.”则此问题(第八数)的答案为(单位:斤) ()A.150 B.167 C.184 D.201【解析】选C.设第一子分a1斤棉,则{an}是公差为17的等差数列,由题意得8a1+QUOTE×17=996,解得a1=65(斤),所以a8=65+7×17=184(斤).2.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,假如该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食年产量平均每年增长4%,那么x年后若人均一年占有y千克粮食,则y关于x的解析式为 ()A.y=360QUOTEB.y=360×1.04xC.y=QUOTED.y=360QUOTE【解析】选D.依据题意,得x年后粮食年产量为360(1+4%)x=360×1.04x,人口总量为(1+1.2%)x=1.012x;所以x年后年人均粮食占有量为:y=360×QUOTE=360×QUOTE.3.公元前1650年的埃及《莱因德纸草书》上载有如下问题:“十人分十斗玉米,从其次人起先,各人所得依次比前人少八分之一,问每人各得玉米多少斗?”在上述问题中,第一人分得玉米 ()A.QUOTE斗 B.QUOTE斗C.QUOTE斗 D.QUOTE斗【解析】选B.由题可得:每人所得玉米数构成公比为QUOTE的等比数列.且数列的前10项和为10,设首项为a,则有QUOTE=10,所以a=QUOTE=QUOTE.4.(多选题)《九章算术·衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中正确的是 ()A.甲付的税钱最多B.乙、丙两人付的税钱不超过甲C.乙应出的税钱约为32D.丙付的税钱最多【解析】选ABC.由题意,按比例,甲钱最多,付的税钱最多;丙钱最少,付的税钱最少;可知A正确,D不正确.乙、丙两人共持钱350+180=530<560,故乙、丙两人付的税钱不超过甲,可知B正确.乙应出的税钱为100×QUOTE≈32.可知C正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.用火柴棒按如图的方法搭三角形:则第100个图形所用火柴棒数为____.

【解析】由图形可知,第一个图形用3根火柴棒,以后每一个比前一个多两根火柴棒,是等差数列,数列的首项为3,公差为2,an=3+(n-1)×2=2n+1,即第n个运用火柴棒数为2n+1,则第100个图形所用火柴棒数为:2×100+1=201.答案:2016.某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种费用4万元,从其次年起先,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预料运用n年,其总花费(含购买费用)为________万元;当n=________时该渔船年平均花费最低(含购买费用).

【解析】因为第一年捕捞工作需各种费用4万元,从其次年起先,每年所需费用均比上一年增加2万元,则第n年捕捞所需费用为4+2(n-1)=2n+2,所以总花费为QUOTE·n+100=n2+3n+100;平均花费=QUOTE=n+QUOTE+3≥2QUOTE+3=23,当且仅当n2=100,即n=10时,平均花费最小.答案:n2+3n+10010三、解答题(每小题10分,共20分)7.一片森林原来面积为a,安排每年砍伐一些树,每年砍伐且使森林面积每年比上一年削减的百分比相同,当砍伐到原面积的一半时,所用时间是20年.为爱护生态环境,森林面积至少要保留原面积的QUOTE,已知到今年为止,森林剩余面积为QUOTEa.(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)该森林今后最多还能砍伐多少年?【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1),则a(1-x)20=QUOTEa,即(1-x)20=QUOTE,解得:x=1-QUOTE.(2)设从今年起先,最多可以砍n年,由题意得QUOTEa(1-x)n≥QUOTEa,即(1-x)n≥QUOTE,可得QUOTE≥QUOTE,所以QUOTE≤QUOTE,解得n≤30,所以今后最多还能砍伐30年.8.(2024·武汉高二检测)一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有疗效;而低于500mg病人就有危急.现给某病人静脉注射了这种药2500mg,假如药在血液中以每小时20%的比例衰减,为了充分发挥药物的利用价值,那么从现在起经过多少小时向病人的血液补充这种药,才能保持疗效.(附:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,精确到0.1h)【解析】设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药,由题意,可得500≤2500×(1-20%)x≤1500,整理得0.2≤0.8x≤0.6,所以log0.80.6≤x≤log0.80.2,因为log0.80.6=QUOTE=QUOTE=QUOTE≈2.3,log0.80.2=QUOTE=QUOTE≈7.2,解得2.3≤x≤7.2,应在用药2.3小时后及7.2小时前再向病人的血液补充药.(15分钟·30分)1.(5分)“孪生素数猜想”是数学史上闻名的未解难题,早在1900年国际数学家大会上,由德国数学家希尔伯特提出.所谓“孪生素数”是指相差为2的“素数对”,例如3和5.从不超过20的素数中,找到这样的“孪生素数”,将每对素数作和.从得到的结果中选择恰当的数,构成一个等差数列,则该等差数列的全部项之和为 ()A.72 B.68 C.56 D.44【解析】选A.依据定义列举出不超过20的孪生素数为3和5,5和7,11和13,17和19,它们的和依次为8,12,24,36,构成等差数列的三个数分别是12,24,36,它们的和是72.2.(5分)(2024·海东高二检测)1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2020这2020个数中,能被2除余1,且被5除余1的数按从小到大的依次排成一列,构成数列{an},则a20= ()A.181 B.191 C.201 D.211【解析】选B.由题意可知an-1既是2的倍数,也是5的倍数,即an-1是10的倍数,则an-1=10(n-1)(n∈N+),故a20=10×(20-1)+1=191.3.(5分)我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题:“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升,问五、六两节欲均容各多少?”意思是下三节容量和为4升,上四节容量和为3升,且每一节容量改变匀称,问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中,最下面一节容量是________升,九节总容量是__________【解析】设由下到上九节容量分别记为a1,a2,…,a9,则a1,a2,…,a9成等差数列,设公差为d,且a1+a2+a3=4,a6+a7+a8+a9=3,所以3a1+3d=4,4a1+26d=3,解得a1=QUOTE,d=-QUOTE,所以S9=9×QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE4.(5分)2024年5月至2024年春,在阿拉伯半岛和伊朗西南部,沙漠蝗虫快速繁衍,呈现几何式的爆发,仅仅几个月,蝗虫数量增长了8000倍,引发了蝗灾,到2024年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦,假设蝗虫的日增长率为5%,最初有N0只.则经过________天能达到最初的16000倍(参考数据:ln1.05≈0.0488,ln1.5≈0.4055,ln1600≈7.3778,ln16000≈9.6803).

【解析】设过x天能达到最初的16000倍,由已知N0(1+0.05)x=16000N0,即1.05x=16000,所以x=QUOTE≈198.4,又x∈N,所以过199天能达到最初的16000倍.答案:199【加练·固】某银行一年期定期储蓄年利率为2.25%,假如存款到期不取出接着留存于银行,银行自动将本金及80%的利息(利息须交纳20%利息税,由银行代交)自动转存一年期定期储蓄.某人以一年期定期储蓄存入银行20万元,则5年后,这笔钱交纳利息税后的本利和为______元(精确到1元).

【解析】由题意,1年后,这笔钱交纳利息税后的本利和为:200000×(1+2.25%×80%)=200000×1.018;2年后,这笔钱交纳利息税后的本利和为:200000×(1+2.25%×80%)×(1+2.25%×80%)=200000×1.0182;…所以5年后,这笔钱交纳利息税后的本利和为:200000×1.0185=218659.769≈218660.答案:2186605.(10分)某化工厂一种溶液的成品,生产过程的最终工序是过滤溶液中的杂质,过滤初期溶液含杂质为2%,每经过一次过滤均可使溶液杂质含量削减QUOTE,记过滤次数为x(x∈N+)时溶液杂质含量为y.(1)写出y与x的函数关系式;(2)按市场要求,出厂成品杂质含量不能超过0.1%,问至少经过几次过滤才能使产品达到市场要求?(参考数据:lg2=0.301,lg3=0.477)【解析】(1)由题意得y=2%×QUOTE=QUOTE×QUOTE,x∈N+.(2)设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求,则QUOTE×QUOTE≤0.1%,即QUOTE≤QUOTE,所以x≥QUOTE=QUOTE≈7.4,又x∈N+,所以x≥8,即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.某企业2024年的纯利润为500万元,因设备老化等缘由,企业的生产实力将逐年下降.若不能进行技术改造,预料从2024年起每年比上一年纯利润削减20万元,2024年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预料在未扣除技术改造资金的状况下,第n年(2024年为第一年)的利润为500QUOTE万元(n为正整数).(1)设从2024年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金),求An,Bn的表达式;(2)依上述预料,从2024年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?【解析】(1)依题设,An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2,Bn=500QUOTE-600=500n-QUO