2024-2025学年新教材高中数学课后素养落实三1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(三)空间向量的坐标与空间直角坐标系(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b＝()A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)A[b＝a－(a－b)＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2)．]2．与A(3，4，5)，B(－2，3，0)两点距离相等的点M(x，y，z)满意的条件是()A．10x＋2y＋10z－37＝0 B．5x－y＋5z－37＝0C．10x－y＋10z＋37＝0 D．10x－2y＋10z＋37＝0A[由|MA|＝|MB|，得(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化简得10x＋2y＋10z－37＝0，故选A．]3．已知A(x，2，－1)，B(2，y，1)，C(0，4，－3)三点共线，则x＋y＝()A．1B．－1C．0D．2A[eq\o(AB,\s\up9(→))＝(2－x，y－2，2)，eq\o(BC,\s\up9(→))＝(－2，4－y，－4)，故eq\f(2－x,－2)＝eq\f(y－2,4－y)＝eq\f(2,－4)，解得x＝1，y＝0，故x＋y＝1，故选A．]4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为eq\f(8,9)，则λ＝()A．2 B．－2C．－2或eq\f(2,55) D．2或－eq\f(2,55)C[由cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2－λ＋4,\r(5＋λ2)·\r(9))＝eq\f(8,9)，解得λ＝－2或λ＝eq\f(2,55)．]5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为()A．3eq\r(3)B．3eq\r(6)C．2eq\r(3)D．2eq\r(6)B[|eq\o(AB,\s\up9(→))|＝eq\r(2a－12＋－7－a2＋－2＋52)＝eq\r(5a2＋10a＋59)＝eq\r(5a＋12＋54)，当a＝－1时，|eq\o(AB,\s\up9(→))|min＝eq\r(54)＝3eq\r(6)．]二、填空题6．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与a相互垂直，则k＝________．eq\f(1,2)[依据题意得ka＋b＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)．∵(ka＋b)⊥a，∴(ka＋b)·a＝0．∴(k－1)×1＋k×1＋0×2＝0，解得k＝eq\f(1,2)．]7．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________．eq\f(2π,3)[(2a＋b)·c＝2a·c＋b·c＝－10，又a·c＝4，∴b·c＝－18，又|c|＝3，|b|＝12，∴cos〈b，c〉＝eq\f(b·c,|b|·|c|)＝－eq\f(1,2)，∵〈b，c〉∈[0，π]，∴〈b，c〉＝eq\f(2π,3)．]8．在空间直角坐标系中，以O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．6＋2eq\r(3)[S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝eq\f(1,2)×2×2＝2，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×|AB|2＝eq\f(\r(3),4)×8＝2eq\r(3)，故三棱锥的表面积S＝6＋2eq\r(3)．]三、解答题9．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O(0，0，0)，eq\o(OA,\s\up9(→))＋λeq\o(OB,\s\up9(→))与eq\o(OB,\s\up9(→))的夹角为120°，求λ的值．[解]∵eq\o(OA,\s\up9(→))＝(1，0，0)，eq\o(OB,\s\up9(→))＝(0，－1，1)，∴eq\o(OA,\s\up9(→))＋λeq\o(OB,\s\up9(→))＝(1，－λ，λ)，∴(eq\o(OA,\s\up9(→))＋λeq\o(OB,\s\up9(→)))·eq\o(OB,\s\up9(→))＝λ＋λ＝2λ，又|eq\o(OA,\s\up9(→))＋λeq\o(OB,\s\up9(→))|＝eq\r(1＋－λ2＋λ2)＝eq\r(1＋2λ2)，|eq\o(OB,\s\up9(→))|＝eq\r(2)，∴cos120°＝eq\f(2λ,\r(2)·\r(1＋2λ2))＝－eq\f(1,2)，∴λ2＝eq\f(1,6)．又eq\f(2λ,\r(2)·\r(1＋2λ2))＜0，即λ＜0，∴λ＝－eq\f(\r(6),6)．10．(1)已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，求x，y的值．(2)求与向量(－3，－4，5)共线的单位向量．[解](1)因为a∥b，所以存在实数λ，使a＝λb，所以(2，4，5)＝λ(3，x，y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝3λ，,4＝λx，,5＝λy，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,x＝6，,y＝\f(15,2).))(2)向量(－3，－4，5)的模为eq\r(－32＋－42＋52)＝5eq\r(2)，所以与向量(－3，－4，5)共线的单位向量为±eq\f(1,5\r(2))·(－3，－4，5)＝±eq\f(\r(2),10)(－3，－4，5)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),10)，\f(2\r(2),5)，－\f(\r(2),2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),10)，－\f(2\r(2),5)，\f(\r(2),2)))．1．定义a⊗b＝|a|2－a·b，若向量a＝(1，－2，2)，向量b为单位向量，则a⊗b的取值范围是()A．[0，6] B．[6，12]C．[0，6) D．(－1，5)B[由题意知|a|＝3，|b|＝1，设a与b的夹角为θ，则a⊗b＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cosθ＝9－3cosθ．又θ∈[0，π]，∴cosθ∈[－1，1]，∴a⊗b∈[6，12]．故选B．]2．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝eq\r(14)，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°C[a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝eq\r(12＋22＋32)＝eq\r(14)，所以cos〈a，c〉＝eq\f(a·c,|a||c|)＝－eq\f(1,2)，〈a，c〉＝120°．]3．已知点A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，O(0，0，0)，点Q在直线OP上运动，eq\o(QA,\s\up9(→))·eq\o(QB,\s\up9(→))的最小值为________，此时点Q的坐标为________．－eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))[设eq\o(OQ,\s\up9(→))＝λeq\o(OP,\s\up9(→))＝(λ，λ，2λ)，故Q(λ，λ，2λ)，∴eq\o(QA,\s\up9(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq\o(QB,\s\up9(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴eq\o(QA,\s\up9(→))·eq\o(QB,\s\up9(→))＝6λ2－16λ＋10＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(4,3)))eq\s\up12(2)－eq\f(2,3)，∴eq\o(QA,\s\up9(→))·eq\o(QB,\s\up9(→))的最小值为－eq\f(2,3)，此时λ＝eq\f(4,3)，Q点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))．]4．给定三个向量v1＝(1，0，1)，v2＝(1，1，0)，v3＝(1，1，k2＋k－1)，其中k是一个实数．若存在非零向量同时垂直于这三个向量，则k的值为________．eq\f(－1±\r(5),2)[设非零向量u＝(x，y，z)，由题可知u与v1，v2，v3都垂直，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(u·v1＝0，,u·v2＝0，,u·v3＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋z＝0，,x＋y＝0，,x＋y＋k2＋k－1z＝0，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－z，,y＝z，))代入x＋y＋(k2＋k－1)z＝0，得－z＋z＋(k2＋k－1)z＝0，即(k2＋k－1)z＝0．若(k2＋k－1)z＝0有解，则必有k2＋k－1＝0，解得k＝eq\f(－1±\r(5),2)．]在正三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，全部的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°？[解]以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．由题意知A(0，0，0)，C(0，2，0)，B(eq\r(3)，1，0)，B1(eq\r(3)，1，2)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)，0))．又点N在CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)，则eq\o(AB1,\s\up9(→))＝(eq\r(3)，1，2)，eq\o(MN,\s\up9(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，m))，所以|eq\o(AB1,\s\up9(→))|＝2eq\r(2)，|eq\o(MN,\s\up9(→))|＝eq\r(m2＋1)，eq\o(AB1,\s\up9(→))·eq\o(MN,\s\up9(→))＝2m－1．假如异面直线AB1和MN所夹的角等于45°，那么向量eq\o(AB1,\s\up9(→))和eq\o(MN,\s\up9(→))的夹角等于45°或135°．又cos〈eq\o(AB1,\s\up9(→))，e