2024-2025学年高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例跟踪训练含解析新人教A版选修2-2

PAGE生活中的优化问题举例[A组学业达标]1．正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A.eq\r(3,V) B．eq\r(3,2V)C．2eq\r(3,V) D.eq\r(3,4V)解析：设底面边长为a，高为h，则V＝Sh＝eq\f(\r(3),4)a2h，所以h＝eq\f(4V,\r(3)a2)＝eq\f(4\r(3)V,3a2)，则表面积为S＝3ah＋2×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(4\r(3)V,a)，则S′＝eq\r(3)a－eq\f(4\r(3)V,a2)，令S′＝eq\r(3)a－eq\f(4\r(3)V,a2)＝0，可得eq\r(3)a＝eq\f(4\r(3)V,a2)，即a＝eq\r(3,4V).答案：D2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高应为()A.eq\f(20\r(3),3)cm B．100cmC．20cm D.eq\f(20,3)cm解析：设高为h，体积为V，则底面半径r2＝202－h2＝400－h2，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(π,3)(400h－h3)，V′＝eq\f(π,3)(400－3h2)，令V′＝0，得h＝eq\f(20\r(3),3)或h＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)．故选A.答案：A3．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其下底边为直径，其他三边为半圆的弦，则梯形面积最大时，梯形的上底为()A.eq\f(r,2) B．eq\f(\r(3),2)rC.eq\f(\r(3),3)r D．r解析：如图所示为半圆及其内接梯形，设∠COB＝θ，则CD＝2rcosθ，h＝rsinθ，所以S＝eq\f(2r1＋cosθ,2)，rsinθ＝r2sinθ(1＋cosθ)，所以S′＝r2[cosθ(1＋cosθ)－sin2θ]＝r2(2cos2θ＋cosθ－1)．令S′＝0，得cosθ＝－1(舍去)或cosθ＝eq\f(1,2).即当cosθ＝eq\f(1,2)时，梯形面积最大，此时上底CD＝2rcosθ＝r.故选D.答案：D4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元解析：设毛利润为L(P)，由题意知L(P)＝PQ－20Q＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000所以L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.依据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．答案：D5．某工厂要建立一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3mA．900元 B．840元C．818元 D．816元解析：设箱底一边的长度为xm，箱子的总造价为l元，依据题意，得l＝15×eq\f(48,3)＋12×2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(48,x)))＝240＋72eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))(x＞0)，l′＝72eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(16,x2))).令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．当0＜x＜4时，l′＜0；当x＞4时，l′＞0.故当x＝4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D.答案：D6．要做一个底面为长方形的带盖的盒子，其体积为72cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________cm，宽为________cm，高为________cm时，可使表面积最小．解析：设底面两邻边长分别为xcm,2xcm，则高h＝eq\f(72,2x2)＝eq\f(36,x2)(cm)．所以表面积S＝4x2＋2(x＋2x)·eq\f(36,x2)(x＞0)．所以S′＝8x－eq\f(216,x2)＝eq\f(8x3－27,x2).令S′＝0，解得x＝3，则S在(0，＋∞)内的唯一可能的极值点为x＝3，所以当x＝3时S取极值，且是S的最小值．答案：6347.一个帐篷，它下部的形态是高为1m的正六棱柱，上部的形态是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O究竟面中心O1的距离为________时，帐篷的体积最大．解析：设OO1为xm(1＜x＜4)，底面正六边形的面积为Sm2，帐篷的体积为Vm3.则由题设可得正六棱锥底面边长为eq\r(32－x－12)＝eq\r(8＋2x－x2)m，于是底面正六边形的面积为S＝6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)．帐篷的体积为V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)×(8＋2x－x2)(x－1)＋eq\f(3\r(3),2)×(8＋2x－x2)＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,3)＋1))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)，则V′＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.所以当x＝2时，V最大．答案：2m8．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？解析：设轮船速度为x(x＞0)千米/时的燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103，可得k＝eq\f(3,500).所以Q＝eq\f(3,500)x3.所以总费用y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,500)x3＋96))·eq\f(1,x)＝eq\f(3,500)x2＋eq\f(96,x).y′＝eq\f(6x,500)－eq\f(96,x2)，令y′＝0，得x＝20.所以当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减，当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增．所以当x＝20时，y取得最小值．所以此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小．9．某商场为了获得更大的利润，每年要投入肯定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加的销售额为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．(1)若该商场将当年的广告费限制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大．(注：收益＝销售额－投入费用)(2)现在该商场打算投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预算，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x(百万元)，请设计一个资金安排方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大．解析：(1)设投入广告费t(百万元)后由此增加的收益为f(t)(百万元)，则f(t)＝－t2＋5t－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．所以当t＝2时，f(t)max＝4，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的费用为(3－x)(百万元)，则由此两项所增加的收益为g(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－eq\f(1,3)x3＋4x＋3(0≤x≤3)．对g(x)求导，得g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝－x2＋4＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．当0＜x＜2时，g′(x)＞0，即g(x)在[0,2)上单调递增；当2＜x＜3时，g′(x)＜0，即g(x)在(2,3]上单调递减，所以当x＝2时，g(x)max＝g(2)＝eq\f(25,3).故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为eq\f(25,3)百万元．[B组实力提升]10．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系式R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x＞400，))则总利润最大时，每年生产的产品数量是()A．100 B．150C．200 D．300解析：由题意，总成本为C＝20000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(x2,2)－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x＞400，))P′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－x，0≤x≤400，,－100，x＞400，))令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x＞400时，P′＜0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．答案：D11．某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A．45.6万元 B．43.6万元C．43.2万元 D．42.15万元解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．总利润L＝L1＋L2＝－0.15x2＋3.06x＋30，x∈[0,15]．L′(x)＝－0.3x＋3.06，令L′(x)＝0，解得x＝10.2.所以当x＝10时，L有最大值45.6万元．答案：A12．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长改变时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．解析：连接OB，连接OD，交BC于点G，由题意得，OD⊥BC，OG＝eq\f(\r(3),6)BC，设OG＝x，则BC＝2eq\r(3)x，DG＝5－x，三棱锥的高h＝eq\r(DG2－OG2)＝eq\r(25－10x＋x2－x2)＝eq\r(25－10x)，S△ABC＝2eq\r(3)x·3x·eq\f(1,2)＝3eq\r(3)x2，则V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\r(3)x2·eq\r(25－10x)＝eq\r(3)·eq\r(25x4－10x5)，令f(x)＝25x4－10x5，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，f′(x)＝100x3－50x4，令f′(x)＞0，即x4－2x3＜0，x＜2，则f(x)≤f(2)＝80，则V≤eq\r(3)×eq\r(80)＝4eq\r(15)，所以体积最大值为4eq\r(15)cm3.答案：4eq\r(15)cm313．将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某一边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝eq\f(梯形周长的平方,梯形的面积)，则s的最小值是________．解析：如图所示，设DE＝x，则梯形的周长为：3－x，梯形的面积为：eq\f(1,2)(x＋1)·eq\f(\r(3),2)(1－x)＝eq\f(\r(3),4)(1－x2)，所以s＝eq\f(3－x2,\f(\r(3),4)1－x2)＝eq\f(4\r(3),3)×eq\f(x2－6x＋9,1－x2)，x∈(0,1)，设h(x)＝eq\f(x2－6x＋9,1－x2)，则h′(x)＝eq\f(－6x2＋20x－6,1－x22).令h′(x)＝0，得：x＝eq\f(1,3)或x＝3(舍)．所以h(x)min＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝8，所以smin＝eq\f(4\r(3),3)×8＝eq\f(32\r(3),3).答案：eq\f(32\r(3),3)14．如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m，假如池外周壁建立单价为每米400元，中间两条隔墙建立单价为每米248元，池底建立单价为每平方米80元(池壁厚度忽视不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．解析：(1)设长为xm，则宽为eq\f(200,x)m.据题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x≤16，,0＜\f(200,x)≤16，))解得eq\f(25,2)≤x≤16，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2·\f(200,x)))×400＋eq\f(400,x)×248＋16000＝800x＋eq\f(259200,x)＋16000eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,2)≤x≤16)).(2)由y′＝800－eq\f(259200,x2)＝0，解得x＝18.当x∈(0,18)时，函数y为减函数；当x∈(18，＋∞)时，函数y为增函数．又因为eq\f(25,2)≤x≤16，所以当x＝16时，ymin＝45000，eq\f(200,x)＝12.5.所以当且仅当长为16m、宽