专题6 二次函数图象与系数的关系-初中数学常见的模型方法专题

二次函数图象与系数的关系

类型一二次函数J=a*2+加f+c的图象与字母4,方，c的关系

【技巧】

a,b,c符号的判断

判断方法图像情况结论

开口向ha>0

a开口方向

开口向下a<0

y轴b—0

左同

b对称轴在外轴左侧b与a同号

右异

在y轴右侧b与a异号

过原点c=0

与y轴的交

c正半轴c>0

占

负半轴c<0

一、利用二次函数的图象判断符号

例题1

1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则应满足的条件是（）

B.a<0,b<0,c>OC.a>0,b<0,c<

0D.a>0,b>0,c<0

【答案】D

【解析】

【详解】试题解析•：根据开口向上可判断alO,对称轴在y轴左侧可判断1）口0,与

y轴交于负半轴可判断cGOC

故选DD

变式1

2.若二次函数尸ar+bx+c（aM）的图象如图所示，则下列选项正确的是

A.a>0B.c>0C.ac>0D.bc<0

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】解：：根据图象：

由抛物线开口向下得aVO,

根据对称轴在y轴左侧得到a与6同号得bVO,

由抛物线与y轴交点在负半轴得cVO.

因此,ac>0,bc>0.

故选C.

变式2

3.若a>0,则二次函数y=a?+2x—l的图象可能是（）

【答案】D

【解析】

【分析】分别从抛物线的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置进行判断即可.

【详解】二。〉0,则抛物线开口向上，

又□二次函数y+2JC-1,

21

□抛物线与y轴交于40）点，且对称轴》=一五=一片。

□D符合题意,

故选D.

2

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象开口向上或向

下，分a>0或a<0两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的

纵坐标，还要注意对称轴的位置或顶点坐标的位置等，是常考题.

二、函数图象共存问题

例题2

4.一次函数丁=依+人的图象如图所示，则二次函数y=^2+法的图象可能是

【答案】D

3

【解析】

【分析】根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知：a<0,hX）,由

此可知二次函数开口方向，坐标轴情况，依此判断即可.

【详解】解：观察一次函数图像可知a<0,b>0,

.,.二次函数y=ax?+/zx开口向下，

b

对称轴x=------>0，

2a

故选：D.

【点睛】本题主要考查一次函数的图像以及二次函数的图像，根据一次函数图像经

过的象限以及与坐标轴的交点情况判断a、b的正负是解题的关键.

变式3

5.在同一平面直角坐标系中，二次函数>=以2与一次函数y=/?x+c的图象如图所

示，则二次函数丫=加+法+。的图象可能是（）

【答案】D

4

【解析】

【分析】根据二次函数y二处?与一次函数丁=版+。的图象可知。>0,力>0,c<o,

从而判断出二次函数y=，+bx+c的图象.

【详解】解：•••二次函数》=以2的图象开口向上，

••Q>0,

;次函数y=〃x+c的图象经过一、三、四象限，

/.Z?>0,cv0,

对于二次函数y=av2+-+c的图象，

*.,«>0,开口向上，排除4、8选项；

,：a>0,b>0,

对'不尔轴X-...<0,

2a

二。选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和

一次函数图象经过的象限，找出。>0,匕>0,c<0是解题的关键.

变式4

6.二次函数>=0?+版+。的图象如图所示，则一次函数y=ca+c,与反比例函数

y=2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

X

5

丁r

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数图象确定系数。，仇c的符号，再根据一次函数、反比例函数的

图象与性质解题.

【详解】,二次函数^=依2+法+。的图象开口向下，

«<0

二次函数〉nax'+Ax+c的图象与》轴交点在x轴上方，

c>0

•••二次函数y=ox2+/jx+c的图象对称轴在y轴的左侧，

a,b同号，

:.b<Q

，一次函数丁=依+。图象经过第二、一、四象限，

反比例函数y=2图象分布在第二、四象限，

X

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数图象与性质、一次函数图象与性质、反比例函数的图象

与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

变式5

7.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象大致如图所示，它

们的表达式可能分别为（）

6

A.y=——,y=-kx2+xB.y=——,y=-kx2-x

xx

ck,

C.y=—,y——kx2—xD.y=—,y=-kx2+%

xx

【答案】D

【解析】

【分析】根据反比例函数图像的位置判断女的符号，再结合二次函数的图像和性质,

逐项判断即可

k

【详解】A、由反比例函数y=-工的图像可知，k>Q,则二次函数y=-依2+x的

x

图像开口应向下，与图像不符，故选项错误；

k

B、由反比例函数丁=-勺的图像可知，k>Q,则二次函数y=-丘2-x的图像开口

x

应向下，与图像不符，故选项错误；

k

C、由反比例函数>=勺的图像可知，后<0,则二次函数y=-履2—X的图像开口

x

b-11

向上，对称轴x=-==-」=-5>0应位于》轴的右侧，与图像不符，故选项

2a-2k2k

错误；

D、由反比例函数>=幺的图像可知，k<Q,则二次函数y=-依2的图像开口

X

h11

向上，对称轴x=-==-==弁<0应位于y轴的左侧，与图像相符，故选项

2a-2k2k

正确;

7

故选：D.

【点睛】本题考查了反比例函数，二次函数图像的性质，解题关键是熟练掌握反比

例函数和二次函数的图像和性质.

变式6

8.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax?+b与y=bx?+ax的图象可能是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称

轴可得相关图象口

【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么。口0口6口0,可得第一个函数的

对称轴是y轴，与歹轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项

错误；

B、两个函数的开口方向都向下，那么。口0口6口0,可得第一个函数的对称轴是y

轴，与了轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；

CDD、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么。口6异号，可得第二个函数

的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确.

故选D口

【点睛】本题考查二次函数图象的性质匚用到的知识点为：二次函数的二次项系数

大于0,开口方向向上，小于0,开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，

对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右侧；一次项系数为0,对称轴为y轴；常数

项是二次函数与y轴交点的纵坐标.

类型二二次函数y=ax2+〃x+c的图象与b—4ac的关系

【技巧】

遇到"一4农•时，运用函数与x轴交点个数判断：当有两个交点时：b2-4ac>0,当有一

个交点时：b1—0,当没有交点时：h2—4ac<0

例题3

9.在平面直角坐标系xOy中，二次函数丫=2*2+6*+（:的图象如图所示，下列说法

正确的是（）

8

X

A.abc<0,b2-4ac>0B.abc>0,b2-4ac>0

C.abcVO,b2-4ac<0D.abc>0,b2-4ac<0

【答案】B

【解析】

【详解】解：根据二次函数的图象知：

抛物线开口向上，则a>0,

抛物线的对称轴在y轴右侧，则x=-二>0,所以bVO,

2a

抛物线交y轴于负半轴，则c<0,

abc>0,

•.•抛物线与X轴有两个不同的交点，

A=b2-4ac>0,

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟知抛物线的开口方向确定a

的符号，结合对称轴可确定b的符号，根据与y轴交点确定c的符号，与x轴交点

的个数确定b2-4ac的符号是解题的关键.

变式7

10.若二次函数y=ax2-2x-I的图象和x轴有交点，则a的取值范围为（）

A.a>-1B.a>-1且aRO

C.a>-\D.龙-1且a#0

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数与x轴的交点判断方法：□>（）时有两个交点；□=（）时有一个

交点；口<0时无交点.以及二次项系数不为0,可求出。的取值范围

【详解】解：•••二次函数y=ar2-2x-1的图象和x轴有交点

：.^=h2-4ac>0,即（―2）2—4xax（—l）20,解得：a>-l

9

•；aH0

a2—1且a。0

.,.选D

故答案是：D.

【点睛】本题主要考察二次函数图象与x轴的交点问题，熟记二次函数与x轴交点

的判断方法及二次项系数不为0是解题的关键.

变式8

11.若抛物线产=(a—1)/—2x+3与x轴有交点，则整数a的最大值是.

4

【答案】且

【解析】

【分析】抛物线与x轴有交点，判别式大于等于0即可求解.

【详解】解：•抛物线y=(a-l)f—2x+3与x轴有交点

/.A=(-2)2-3X4X(«-1)>0,a-lHO

4

解得：a<—,awl

4

故答案为。］且aw1.

【点睛】此题主要考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握有关性质是解题的

关键，易错点是容易忽略二次项系数不能为0.

变式9

12.已知关于x的二次函数尸/□□2加+3口1+加2+2

□1)若二次函数y的图象与x轴有两个交点，求实数用的取值范围.

□2)设二次函数y的图象与x轴的交点为4"］口0口口6口*2口0),且满足

%12+^2=31+|%1%2|,求实数m的值.

【答案】(1)加>-，(2)加=2

【解析】

【分析】□1)利用一元二次方程根的判别式计算U

□2)利用一元二次方程根与系数的关系列出方程□解方程即可.

【详解】解口口1)由题意得口［口口2加+3口］2口4义1乂□加2+2口>。口

10

解得口〃?>□,口

12

J2）由根与系数的关系可知□xi+x2=2，〃+3ELriX2=a2+2Eixi2+x22=31+|xiX2|口

□Xl+X2D2D2X1X2=31+IX1X2I□

□2/?z+3□2□2X□w2+2□=31+?n2+2□

整理得」加2+12加」28=0」

解得口箱=2口皿=口14（舍去）口

当m=2时口满足XI2+X22=31+|xiX21□

【点睛】本题考查的是抛物线与X轴的关系、一元二次方程根的判别式口掌握一元

二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键.

变式10

13.已知二次函数—（加+2）X+2ZM—1

（1）求证：不论“取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；

（2）若该函数的图象与y轴交于点（0,3）.

①求函数图象与x轴的交点坐标；

②当0VxV5时;求y的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）①（—1,0）,（—3,0）,②当0VxV5时，y的取值范围

为：-l<y<8.

【解析】

【分析】（1）令y=（）,则d—（加+2卜+2加-1=0,再证明二>0,即可得到结论；

（2）①先求解加的值，再求解抛物线的解析式，再把y=0代入函数解析式，解方

程即可；②根据函数的解析式先求解函数的最小值，再分别计算当x=0,x=5时的

函数值，从而可得答案.

【详解】解：（1）令y=（）,则/一（机+2）%+2加-1=0,

-（m+2）-J-4（2/n-1）=in2+4/〃+4—8/〃+4

=m2-4m+8

=（加-2）一+4>4

1>0,

•­•方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴总有两个交点；

（2）①，函数的图象与y轴交于点（0,3）.

/.2m—\=3,

/.m=2,

•.・抛物线的解析式为：y=/-4x+3,

当d一4x+3=0,

.a.(%—l)(x—3)=0,

Xj—1,x?—3,

所以抛物线与X轴的交点坐标为：(-1,0),(-3,0).

②，y=x2—4x+3=(x—2)2—1,

抛物线的开口向上，当x=2时，函数的最小值为-L

当％=0时，y-3,

当x=5时，y=25—20+3=8,

当0<x<5时，)的取值范围为：-l<y<8.

【点睛】本题考查的是二次函数与x轴，y轴的交点，二次函数的性质，掌握利用

一元二次方程根的判别式知识解决交点问题是解题的关键.

类型三二次函数歹=依2+法+。的图象与某些特殊点的关系

【技巧】

①遇至IJa+6+c、4a+26+c、9a+3b+c..等时，代入特殊值x=±l、±2、±3.…即可

b

②(1)4、儿根据对称轴方程：X=--,带入化简变形即可.

a

、b.

(2)〃、C：联立对称轴方程：x=一一和一个特殊值带入丁=以2+法+0,替换掉b然后

a

化简变形即可.

b

(3)从c：联立对称轴方程：x=一一和一个特殊值带入>=以2+法+,，替换掉a然后

a

化简变形即可.

一、利用二次函数yjW+Ztt+c的图象判定2a±b以及a±b+c的符号

例题4

14.已知二次函数y=ax?+bx+c(aWO)的图象如图所示，则下列结论正确的是

()

12

A.abc<0B.b2-4ac<0C.a-b+c<0D.2a+b=0

【答案】D

【解析】

【分析】由图可知a>0,与y轴的交点c<0,对称轴x=l；函数与x轴有两个不同

的交点；当x=-l时，y>0；

【详解】由图可知a>0,与y轴的交点cVO,对称轴x=l,

.,.b=-2a<0；

abc>0,A错误；

由图象可知，函数与x轴有两个不同的交点，.•.△>（）,B错误；

当x=-1时，y>0,

.,.a-b+c>0,C错误；

*.'b=-2a,D正确；

故选D.

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够

从给出的图象上获取信息确定a,b,c,△,对称轴之间的关系是解题的关键.

变式11

15.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，给出下列四个结论：①4ac-〃〈（）；

②4a+cV2b；③2a-6=0；@abc>0,其中正确结论的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【解析】

13

【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.

【详解】解：①由图象可知：△>(),

/•61-4ac>0,

.".4ac-b2<0,故①正确；

②当x=-2时，，y>0,

/.4a-2b+c>0,

：.4a+c>2b,故②错误；

b

③由对称轴可知：%=

2a

.\2a-b=0,故③正确；

④由图象可知：aVO,c>0,

b

对称轴可知：-<<。，

2a

：.h<0,

abc>0,故④正确；

故选反

【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质,

本题属于基础题型.

变式12

16.二次函数)=依2+法+。的图象如图所示，下列结论中正确的是()

①abccO

@b~—4ac<0

③2a>人

④(a+c><b2

C.3个D.4个

【答案】A

14

【解析】

【分析】由函数图象可知a<0,对称轴人一2a>0；b<0,图象与y轴的

交点c>0,函数与x轴有两个不同的交点；△=b2-4ac>0；再由图象可知当x=l时,

y<0,即a+b+c<0；当x=-l时，y>0,即a-b+c>0；即可求解.

【详解】解：由函数图象可知“<0,对称轴图象与y轴的交点c>0,函

数与x轴有两个不同的交点，

b>2a,6<0；③错误

A=Z?2-4ac>0;②错

abc>0；①错误

当x=l时，y<0,B[Ja+b+c<Q；

当x=-l时，y>0,BPa-b+c>0；

：.(a+b+c)(«-b+c)<Q,gp(a+c)2<b2；

只有④是正确的；

故选A.

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过

图象获取信息，推导出a,b,c,△,对称轴的关系是解题的关键.

二、利用二次函数图象判定,”a+〃c或〃访+〃c(加、〃为非零整数)的符号

例题5

17.二次函数y=ax2+6x+c(存0)的图象如图所示，下列结论：①6?-4ac>0；

②abc<0；③4a+Z)=0；©4a-2Z>+c>0.其中正确结论的个数是()

【答案】B

【解析】

【分析】先由抛物线与x轴的交点个数判断出结论①，先由抛物线的开口方向判断

出a<0,进而判断出b>0,再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c>0,判断出

结论②，利用抛物线的对称轴为x=2,判断出结论③，最后用x=-2时，抛物线在

x轴下方，判断出结论④，即可得出结论.

15

【详解】解：由图象知，抛物线与X轴有两个交点，

...方程。好+云+。=0有两个不相等的实数根，

.,.b2-4ac>0,故①正确，

由图象知，抛物线的对称轴直线为x=2,

•••0_~L,

2a

，4a+6=0,故③正确，

由图象知，抛物线开口方向向下，

：.a<0,

'：4a+b=0,

：.b>0,而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，

，c>0,

abc<0,故②正确，

由图象知，当工=-2时，y<0,

4（?-2b+c<0,故④错误，

即正确的结论有3个，

故选：B.

【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与图像的

关系.

变式13

18.二次函数产=4f+法+。（a#0）的图象如图，给出下列四个结论：①4时一〃

<0；②4a+cV2b；③3b+2cV0；@abc>0,其中正确结论的个数有（）

16

【答案】D

【解析】

【分析】根据图像信息，确定开口方向、对称轴等，再根据二次函数图像与系数的

关系进行逐个判断即可.

【详解】解：由图像可知：二次函数的开口向下，对称轴为4=-1,图像与x轴有两

个交点，与x轴的交点横坐标须：。<玉<1,与y交点的纵坐标。〉0

a<0,-3=-1,即人=加<0；b~-4ac>0>即4ac-Z?2<0，①正确；

2a

abc>0,④正确

0<X）<1

；・x=1，yv。，即。+b+c<0

又，."=2。<0

：.^b+b+c<0,即3匕+2c<0,③正确

,?0<%!<1,对称轴为x=-l

_

.,.与x轴的另一交点的横坐标Z：3<x2<—2

尤=一2,y〉0,即4a-2Z?+c>0,4a+c>2b,②错误，

故答案选D.

【点睛】此题主要考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握图像与系数的关系

是解题的关键.

三、利用二次函数图象考查产土加+。（a#0,a、b、c为常数）与a±b+c

的关系

例题6

19.如图，抛物线丁=以2+"+。的对称轴是》=1.下列结论：①abc>0；②

b2-4ac>0:③8a+c<0；®5a+b+2c>0,正确的有（）

A4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

17

【解析】

【分析】由抛物线的性质和对称轴是x=l,分别判断a、b、c的符号，即可判断①；

抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由》=一二=1,得匕=一2«,令x=—2,求函

2a

数值，即可判断③；令x=2时，则y=4a+20+c>0,令％=一1时，y=a-b+c>0,

即可判断④；然后得到答案.

【详解】解：根据题意，则”<0,c>0,

•人——1,

2a

b--2a>0,

abc<0,故①错误；

由抛物线与x轴有两个交点，则/-4ac>0,故②正确；

*.*h——2a,

令尤=一2时，y-4a-2b+c<0,

8«+c<0,故③正确；

在y=ax2+Ax+c中，

令龙=2时，则y=4a+2/?+c>0,

令尤=一1时，y^a-b+c>0,

由两式相加，得5a+8+2c>0,故④正确；

，正确的结论有：②③④，共3个；

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性

质，熟练判断各个式子的符号.

变式14

20.如图，已知二次函数>=af+6x+c(a^O)的图如图所示，有下列4个结

论：①abc>0；②6—a>c；③4a+2b+c>0；®a-\-h>m(tzw+6)(〃?W1).其

中正确的结论有()

18

【解析】

【分析】根据图像信息，确定开口方向、对称轴等，再根据二次函数图像与系数的

关系进行逐个判断即可.

【详解】解：由图像可知：二次函数的开口向下，对称轴为X=l,与X轴的交点横

坐标X］：-1<X,<0

与y交点的纵坐标c：c>o

a<0,----1,即〃=-2a>0

2a

abc<0,①错误；

x=-1,y<。，即a-6+c<0,移项得：b—a>c,②正确；

V-l<x,<0,对称轴为尤=1

.,•与》轴的另一交点的横坐标4：2<尤2<3

.•.x=2,y>(),即4«+%+c>0,③正确

对称轴X=l,«<0,AX=1,y最大，即ymax=a+0+C

H1

^max=<^+b+c>am~+hm+c,即：a+b>am2+bm»④正确

故答案选C.

【点睛】此题主要考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握图像与系数的关系

是解题的关键.

变式15

21.二次函数y=ax2+/?x+c的图象如图所示，有如下结论：①abc>0；②

19

2a+b=Q；③劝-2c<0；®an^+bm>a+b（m为实数）.其中正确结论的个数

是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】

【分析】由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a,

结合抛物线的对称轴可判断b,根据抛物线与y轴的交点可判断c,进而可判断①;

由图象可得：当x=3时;y>0,即9a+3b+c>0,结合②的结论可判断③；由于当x=l

时，二次函数y取最小值a+b+c,即劭？+加+c2a+0+c（m为实数），进一步即

可对④进行判断，从而可得答案.

【详解】解：•••抛物线的开口向上，

•.•抛物线的对称轴是直线x=l,

2a

/.b<0,2a+h=0,故②正确；

•・•抛物线与y轴交于负半轴，・・.cV0,

，abc>0,故①正确；

当x=3时，y>0,/.9a+3b+c>0,

19

ci——h—h4-3b+c>0,

2f2

整理即得：3b-2c<4,故③正确；

:当x=l时，二次函数y取最小值a+b+c,

/.atrr+hm+++c（m为实数），BPam2-\-hm>a+h（m为实数），故④正

确.

综上，正确结论的个数有4个.

故选：D.

20

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，

属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

变式16

22.如图，抛物线y=，+/n+c过点（-1,0）,且对称轴为直线x=l,有下列结

论：

口成<0；□10a+3fr+c>0；口抛物线经过点（4,%）与点（-3,为），则%>%；□无

2

论a,b,c取何值，抛物线都经过同一个点（-二,。）；nafn+bm+a>0,其中所有

【解析】

【分析】

【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则。>0,

顶点在y轴右侧，则b<0,

抛物线与y轴交于负半轴，则cVO,

Uabc>0,故口错误；

□抛物线广加+bx+c过点（-1,0）,且对称轴为直线％=1,

□抛物线y=or2+bx+c过点（3,0）,

□当x=3时，产9a+38+c=0,

□Q>0,

ni0a+3Z）+c>0,故□正确；

□对称轴为％=1,且开口向上，

）离对称轴水平距离越大，函数值越大，

Qy\<y29故□错误;

21

当尸-£时，y=a'(-£)2+加(-£)+c=.—+ac_da-t

aaaaa

□当x=-1时，y=a-b+c=O,

□当卡-£时，y=a9(-£)2+b9(-£)+c=0,

aaa

即无论a,b,c取何值，抛物线都经过同一个点（-二,0）,故□正确；

a

x=m对应的函数值为y=am2+bm+c,

x=1对应的函数值为y=a+b+c,

又口卡1时函数取得最小值，

□ani2+bm+c>a+b+c,即am2+bm>a+b,

□b=-2a,

」4〃22+加7+生0,故口正确；

故答案为□□□.

考点：二次函数图象与系数的关系.

巩固练习

23.小轩从如图所示的二次函数丫=2*?+6*+。（a#0）的图象中，观察得出了下面五

条信息：

3

□ab>0；□a+b+c<0；Qb+2c>0；Qa-2b+4c>0；Qa=-b.

2

你认为其中正确信息的个数有

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：□如图，口抛物线开口方向向下，DaVO.

22

b12

」对称轴x=-----——,b=—aVO.ab>0.故匚正确.

2a33

□如图，当x=l时，y<0,即a+b+cVO.故□正确.

□如图,当x=-l时，y=a-b+c>0,D2a-2b+2c>0,即3b-2b+2c>0.Db+2c

>0.故口正确.

□如图，当x=-l时,y>0,即a-b+c>0,

□抛物线与y轴交于正半轴，000.

□b<0,nc-b>0.

□(a-b+c)+(c-b)+2c>0,即a-2b+4c>0.故Zl正确.

□如图，对称轴则a=：b.故u正确.

2a32

综上所述，正确的结论是□□口共5个.故选D.

24.已知二次函数的解析式为丫=0?+—+。(a、b、c为常数，。。0),且

a2+ab+ac<0>下列说法：①户一4ac<0;②ab+ac<。；③方程

52+bx+c=o有两个不同根再、x2,且④二次函数的图象与

坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是().

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据a的符号分类讨论，分别画出对应的图象，根据二次函数的图象逐一

分析，找出所有情况下都正确的结论即可.

【详解】解：当a>0时，即抛物线的开口向上

a2+ab+ac<0

/.a+b+c<0,ab+ac<-a2

即当x=l时，y=a+b+c<0

...此时A抛物线与x轴有两个交点，如图所示

\7

/.b2-4ac>0,故①错误；

-a2<0

23

，ab+ac<0故此时②正确；

由图象可知：X1<1,X2>1

Xj—1<0,1—x?<0

A(X1-l)(l-x2)>0,故此时③正确；

当c=0时，二次函数的图象与坐标轴有两个不同交点，故④错误；

当a<0时，即抛物线的开口向下

'•*cT+ab+ac<0

a+b+c>0,ab+ac<-<r

即当x=l时，y=a+b+c>0

此时抛物线与x轴有两个交点，如图所示

A

/、

/

卜%>

!\

/.h2-4ac>0,故①错误；

•・•-a2<0

/.ab+ac<Q,故此时②正确；

由图象可知：X1<1,X2>1

二・Xj—1<0,1—%2<。

/.(%)-1)(1-x2)>0,故此时③正确；

当c=0时，二次函数的图象与坐标轴有两个不同交点，故④错误；

综上所述：①错误；②正确；③正确；④错误，正确的有2个

故选B.

【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项

系数的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键.

25.二次函数y=+&+。图象如图，下列正确的个数为()

□>0；口2。-3c<()；□2。+人>0；□ox?+〃x+c=()有两个解斗，%,,当

时，％>0,x2<0；Qa+b+c>o；□当x>l时，y随X增大而减小.

24

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】根据抛物线开口向上可得0>o,结合对称轴在y轴右侧得出6<o,根据抛

物线与y轴的交点在负半轴可得c<o,再根据有理数乘法法则判断口；再由不等式

的性质判断口；根据对称轴为直线X=1判断口；根据图象与x轴的两个交点分别在原

点的左右两侧判断］由x=l时，y<