九年级数学教案2 代数式

第二讲代数式

［教学内容］

《佳一动态数学思维》春季版，九年级第二讲“代数式”.

［教学目标］

知识技能

1.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号法则，能进行整式的加法、减法、乘法运算，并熟

练掌握乘法公式.

2.能利用提公因式法、公式法等方法进行因式分解.

3.理解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、

减、乘、除运算.

4.了解二次根式、最简二次根式的概念，能够进行二次根式的加、减、乘、除运算，掌握二次根

式的性质，并能够利用二次根式的性质解决一些简单的实际问题.

数学思考

通过用代数式表述数量关系得过程，体会模型的思想，建立符号意识，独立思考，体会整体思想、

转化思想等数学思想方法在代数式求值中的应用.

问题解决

通过对整式、分式、二次根式的概念的了解，掌握代数式的基本运算法则，在与他人合作和交流

过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论.

情感态度

L独立思考解决问题，感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难

的勇气，具备学好数学的信心.

2.敢于发表自己的想法、勇于质疑、敢于创新，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯,

形成严谨求实的科学态度.

［教学重点、难点］

重点：整式、分式、二次根式的概念及基本运算.

难点：分式、二次根式性质的综合运用.

［教学准备］

动画多媒体语言课件

第一课时

教学路径

导入

师：这节课那老师就带领大家一起来复习一下代数式这部分的内容.同学们先想一

想，我们初中阶段学习过的代数式都有哪些？

生：整式、分式还有二次根式.

师：同学们会展开（。+匕）"吗？展开后各个项的系数又有什么关系呢？

生：（自由回答）

师：我国古代很多数学家对这个问题都有研究，其中最著名的便是杨辉三角，下面

我们就一起来看一下：

启动性问题

我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.例如，

在三角形（如图所示）中第三行的三个数1,2,1,恰好对应3+份2=/+2"+〃展开

式中的系数；第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着（a+/?）3=a3+3a28+3ab2+/j3展

开式中的系数等.

1

11...................（a+b）1

一

12I....................（a+b）

331....................(。+6)3

(1)根据上面的规律，写出m+与§的展开式；

(2)利用上面的规律计算：25-5X24+10X23-10X22+5X2-l.

小萍：(1)(4+8)5=/+5&%+10//+10层〃+5。/+/75.

小亮：(2)原式=25+5X2,X(-1)+10X23义(-l)2+10X22X(-1)3+5X2X

(-l)4+(-l)5=(2-l)5=l.

师：下面我们就一起来看一下代数式这部分内容在中考中主要考查哪几个方面.

考点5整式

师：今天我们要复习代数式有关的知识内容.

回顾：

类比实数的分

'单项式（点击后出现单项式的概念）

类.

「整式（点击后出现整式的概念）

有理式多项式（点击后出现多项式的概念）

分式

Y

代数式

I无理式------二次根式

师：首先我们来复习整式的概念及整式的运算.

1.整式的概念（这几个字与最后一行整式的概念同时出现）

单项式：都是数与字母的积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单

项式.（下一步出现下列两个概念）（点击冒号前面内容出示后面相应的内容）

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.

单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.

多项式：几个单项式的和叫做多项式.（下一步出现下面一个概念）（点击冒号前面

内容出示后面相应的内容）

多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.

（下一步）

整式：单项式和多项式统称整式.（卜一页）

（点击整式的运算后出现同色字体）

加减乘除

乘方

2.整式的加减（下一步出现绿色字体，点击冒号前面内容出示后面相应的内容）

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，几个常

数项是同类项.

合并同类项的法则：把多项式中同类项合并成一项叫做合并同类项，合并同类项时，

把同类项系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变.

去（添）括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原

来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的

符号相反.

整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类

项.（下一页）

3.累的运算（下一步填上答案）

当加，〃都是整数，为实数时，有：乘方的结果叫

1

（1）同底数幕的乘法：a"-a"=____■做幕.

累的运算里涉

及了乘方、乘

除法运算.

4.整式的乘除法(下一步出现绿色字体，点击冒号前面内容出示后面相应的内容)

单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的事相

乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

单项式与多项式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc.

多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+nib+〃a+nb.

单项式除法：单项式相除，把系数、同底数幕相除作为商的因式，对于只在被除式

中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.

多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单

项式，然后把所得的商相加.(下一步)

5.乘法公式(下一步出现绿色字体，点击冒号前面内容出示后面相应的内容)

平方差公式：(.a+h)(a~b)=cr-b2.

完全平方公式：(«±&)2=a2±2tz/?+/?2.

恒等变换：a1+b1=(a+b)2~2ab=(a-b)2+2ab,(a-/?)2=(o+Z?)2~4ab.

师：通过一下例题我们来巩固整式的概念等相关知识.

初步性问题

探究类型之一同类项

例1若次"+5,2与今”的和是单项式，则/=.

解析：

“3炉什5y2与ry,的和是单项式”说明3V+5丁与W是同类项，(下一步)

所以1+5=3,即卜=—2；(下一步)

2=n[n=2

nm=2-2=Lt(下一步)

4

同类项必须符合两个条件：第一，所含字母相同；第二，相同字母的指数相同，

两者缺一不可.

答案：L

4

师：3尤"+5步与％3歹的和是单项式，说明什么？

生：（预设）3丁+5尸与是同类项.

师：同类项需要满足哪几个条件？

生：（预设）第一，所含字母相同；第二，相同字母的指数相同.

师：非常好，根据同类项的定义，我们就可以列出方程组求解了.请同学们动手算一

算.

学生求解回答.

师：最后我们来总结一下这道题目的收获.

生：（预设）同类项必须符合两个条件：第一，所含字母相同；第二，相同字母的指

数相同，两者缺一不可.

生：（预设）根据同类项概念，相同字母的指数相同列方程（组）是解此类题的一般

方法.

类似性问题

i.如果与是同类项，则加和〃的取值是（）

A.3和-2B.-3和2C.3和2D.-3和-2

解析:根据题意得仁；=见解得仁:

初步性问题

探究类型之二整式的运算

例2下列计算正确的是（）

22

A.x+x=xB.x•x=2xC.（x）D.X'-TX-JC

解析：

A：整式的加法：合并同类项，x+x=2x；（下一步）

B：同底数基相乘：底数不变，指数相加，（下一步）

C：事的乘方：（X2）3=3;（下一步）

D：同底数幕的除法：底数不变，指数相减.（下一步）

进行整式的运算时要合理选择整式的运算法则.

答案：D

师：每个选项分别考查的是整式的哪个运算法则呢？

生：（预设）A：整式的加法法则.

生：（预设）B：同底数曙的乘法.

生：（预设）C：基的乘方.

生：（预设）D：同底数累的除法.

师：大家在计算的时候要清楚整式的加减法，暴的运算，整式的乘除法法则.

小结：

师：（1）进行整式的运算时，一要注意合理选择塞的运算法则，二要注意结果的符

号.

（2）不要把同底数幕的乘法和整式的加减法混淆.

（3）要注意累的乘方与同底数幕的乘法之间的区别.

（4）单项式的除法关键：注意区别“系数相除”与“同底数塞相除”的含义.

类似性问题

2.下列计算正确的是（）

A.A2,x=^B.x+x=x2C.（x2）3^D.》6力=（

解析：

A：同底数事相乘：底数不变，指数相加；

B：整式的加法：合并同类项，x+x=2x；

C：累的乘方：父尸;不；

D：同底数基的除法：底数不变，指数相减，3力=/.

初步性问题

探究类型之三整式的化简求值

例3先化简，再求值：（x+1）之一（x+2）（九一2）,其中尤且x是整数.

解析：

先化简：利用完全平方公式和平方差公式简化整式的乘法运算，（下一步）

再求整数解：因为2="V石〈尤VMvJi石=4,故2VxV4,又x是整数，

所以x=3,（下一步）

最后代入求值.

答案：

解：（x+1）--（x+2）（%—2）

=f+2x+l-（f-4）

=2x+5.

因为2=4〈石VxV而<7^=4,故2VXV4,

又x是整数，所以x=3.

所以原式=2X3+5=11.

师：如何化简这个整式？

生：（预设）利用完全平方公式和平方差公式简化整式的乘法运算.

师：如何求整数解？

生：（预设）找完全平方数，x介于"和J语之间.

师：非常好，最后代入求值即可，大家来总结一下这道题的收获吧.

生：（预设）要注意整式的运算顺序，根据法则来运算.

师：对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解其运算法则，注意运算顺

序，正确应用乘法公式以及整体和分类等数学思想.在应用乘法公式时，要充分理注意这里提醒

解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件.学生注意

4a2-b2不要再

类似性问题因式分解.

3.先化简，再求值：a（a-2。）+2（。+/?）（。-。）+（。+8）2,其中。

2

解析：

先利用乘法的平方差公式和完全平方公式化简代数式，再代入求值.

a（a-2b）+2（a+。）（a-。）+（a+b）2

=a2-2ab+2a1-2b2+a2+2ab+b2

=4次-比

因式分解是分

式约分的基

础.

师：前面我们复习了整式的乘法运算，而因式分解与整式的乘法运算互为逆变形.

考点6因式分解

回顾：

整式的乘法《；＞因式分解(点击因式分解出现同

色字体)7.

1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解，因式

分解与整式乘法互为逆变形.

(下一步)

2.因式分解的某本方法(注:黄色标记内容点击冒号前面对应出示)

(1)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括

号外面，将多项式写成因式乘积形氟即ma+mb+mc=m(a+b+).

公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式各项的公因式.

(2)运用公式法

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b\2,a2~2ab+b2=(a-b)2.

(下一步)

3.因式分解的一般步骤：若有公因式，先提公因式；若无公因式，则考虑平方差公

式或完全平方公式分解，直到不能再分解为止.

师：回顾完分解因式的相关知识，接下来我们来看几道相关例题.

初步性问题

探究类型之一因式分解

例1(1)因式分解：.

(2)把代数式〃/-63+9加分解因式，下列结果中正确的是()

A.m(x+3)2B.mU+3)(x-3)C.m(x-4)2D.m(x-3)2

解析：

因式分解的一般步骤：若有公因式，先提公因式；若无公因式，则考虑平方差

公式或完全平方公式分解，直到不能再分解为止.

(1))rl-^xy1=x(fYy2)=x(x+2y)(x-2y)；(下一步)

(2)=m(f-6x+9)=m(x-3)2.(下一步)

答案：

(1)x(x+2y)(厂2y)；

(2)D.

师：因式分解的一般步骤是什么？

生：(预设)若有公因式，先提公因式；若无公因式，则考虑平方差公式或完全平方

公式分解，直到不能再分解为止.

师：第一题哪位同学来讲一讲？

学生回答.

师：第二题？

学生回答.

师：通过这道题我们要总结一下.

(1)因式分解的意义是把多项式分解成几个整式的积的形式.

(2)提取公因式后，若括号内合并的项有公因式应再次提取.

(3)注意符号的变换：y~x=-(x-y),(y-x)2=(x-y)2.

(4)分解因式要分解到不能再分解为止.

探究类型之二因式分解的创新应用

例2如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.

1

234

56789

10111213141516

171819202122232425

2627282930313233343536

(1)表中第8行的最后一个数是,它是自然数______的平方，第8行共有

_________个数；

(2)用含〃的代数式表示：第〃行的第一个数是,最后一个数是,

第〃行共有个数；

(3)求第〃行各数之和.

解析：

第1行有_1=2X『1一个数，最后一个数是1=F，第一个数是［；

第2行有_|=2义■一个数，最后-个数是—■_，第一个数是_

第3行行&=2灰”个数，最后一个数是，第一个数是

第4行有_7=2X4-1—个数，最后一个数是_16=41,第一个数是」0=32+1__；

第〃行有—■一个数，最后一个数是_一第一个数是

n*12-2n+2=(n-l)2+1___.(下一步)

解决找规律性问题：经历观察，猜想，验证，归纳，总结的过程，分析数或式

的规律，从简单到复杂，获得隐含的数学规律，并用代数式进行描述.

答案：

(1)64；8；15

(2)“2-2”+2；n2；2n-l

(3)解：(n2-2n+2)+(tr-2n+3)+…+(n2-l)+n2

_(2n-l)(»2-2n+2+n2)

2

=(2n-1)

=2〃3-3/+3〃-I.

师：解决找规律性问题：经历观察，猜想，验证，归纳，总结的过程，分析数或式

的规律，从简单到复杂，获得隐含的数学规律，并用代数式进行描述.根据问题的描

述，我们要找到每一行第一个数是多少，最后一个数是多少，共有几个数？先从简

单的开始.第一行一目了然，第二行呢？

生：(预设)第2行第1个数是2,最后一个数是4,共有3个数.

生：(预设)第3行第1个数是5,最后一个数是9,共有5个数.

师：我们能够猜想得到第八行的规律呢？

生：(预设)第〃行第1个数是(〃-1/+1,最后一个数是层，共有2〃-1个数.

师：第〃行各数之和能求吗？

生：(预设)首项加末项乘以项数除以2.

师：非常好，解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用，从分析图形的结

构入手，分析图形结构的形成过程，从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含

的数学规律，并用代数式进行描述.

类似性问题

1.分解因式：-a3+a2b-—ab2=.

4

解析：

先提公因式，再用完全平方公式.

-cr>-ira1b--ab1

4

=--a(4/-41力+〃2)

4

1

一4

一-

4-(2a~b)~

2.(1)已知〃。=一1,〃+。=2,贝!］式子一+3=__.

ab

(2)已知X+L=3,则代数式x2+二的值为

XX

解析:

bab-+a1

--j—

abab

_(a+h)2-2ah

ah

_22-2x(-1)

-1

=-6；(下-,步)

⑵f+L

X

（iY.

=x+--2

kxj类比分数和分

=32-2数的性质.

=7.

（1,2两间可以分成左右两栏）

3.给出三个单项式：a2,b2,2ah.

（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；

（2）当a=2012,6=2011时,求代数式。2+从-2油的值.

解析：

（1）任意选择两个单项式相减，然后运用提取公因式法、公式法分解因式即可,

答案不唯一；（下一步）

（2）先运用公式法将/+/；2-2时分解因式，然后代入a,方的值计算.

考点7分式的概念、分式的通分与约分

师：下面同学们先回忆一下分式的基本概念和基本性质.

回顾：

因式分解是分

式约分的基

’单项式

础.

「整式，

有理式J1多项式

I分式（点击后出现分式的概念）

代数式Y

I无理式-----二次根式

1.分式的概念

分式：形如△A（48是整式，且3中含有字母，且8/））的式子叫做分式.

B

分式有意义的条件：分母不为0.

分式的值为0的条件：分子为0,分母不为0.（下一步）

2.分式的基本性质

基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.

式子表示：—=,，=A,加（8加，4#0,A、B、M为整式）.（下一

BBxMBB+M

步）

约分：利用分式的基本性质，把分式的分子与分母中的公因式约去，叫做分式的约

分.

通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把

异分母的分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.

（注：黄色标记内容点击冒号前面对应出示，后面不在说明）

师：回顾完基本概念，接下来我们来看几道相关例题.

初步性问题

探究类型之­分式的概念

例1（1）若分式」一有意义，则实数x的取值范围是__________.

x—5

3r2-97

（2）如果分式门”的值为0,则x的值应为__________.

x-3

解析：

（1）分式」一有意义，分母不为0,所以厂5却，即#5；（下一步）

x—5

（2）分式二~二的值为0,分子为0,分母不为0,所以3/-27=0且汇3加，

x—3

解得尤=-3.；（下一步）

考虑分式问题的前提是：分式有意义，即分母不为零.

（1）分式的值为零的条件：分式的分子为零，分母不为零.（下一步）

（2）分式的值为正的条件：分子与分母同号（同时大于零或同时小于零，隐含

了分母不为零）；分式的值为负的条件：分子与分母异号.分式的值为正（负）经常

与不等式组结合考查.

答案：

（1）对5,

（2）-3.

师：分式有意义的条件是什么？

生：（预设）分母不为零.

师：分式值为零的条件是什么？

生：（预设）分子为零，分母不为零.

师：非常好，那这两道题目的联系和区别是什么呢？

生：（预设）考虑分式问题，分母不为零是前提条件，在分母不为零的基础上再考

虑其它条件.

师：分式值为正的条件是什么？

生：（预设）分子与分母同时大于零或同时小于零.

师：好，也就是分子分母同号，那有没有分母不为零这个条件呢？

生：（预设）有，已经隐含了分母不为零这个条件了.

师：非常好，考虑分式问题时大家勿忘.

生：（预设）分母不为零.

类似性问题

2.若分式—的值为0,则x的值等于__________.

x+l

解析：

分式的值为0,分子为0,分母不为0,所以f-l=0且x+l#0,解得x=l.

初步性问题

探究类型之二分式的约分与通分

例2在三个整式f-l,x2+2x+l,f+x中，请你从中任意选择两个，将其中一个

作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当x=2时

分式的值.

解析：

当x=20寸，三个整式fT,f+2x+l,f+x都不为0,所以都可以作为分母，

—I•〃口A厂+2x+1r+x-1r+%X?—1x~+2x+1_i_u,

可组成——z-------,—'F----------，f----------，f—，—=--------，共6

x—1x~-1x~+2x+1x~+2x+1x~+xx~+x

个分式，任选一个分式，先因式分解，再利用分式的基本性质约分.

答案：

解：比如，可选择f+2x+l作为分子，r-1作为分母，组成分式士产

x2-l

x2+2x+l_（x+1）2_X+1

%2-1（x+l）（x-l）X-1

当x=2时，原式=二^=3.

2-1

师：我们在选择分子分母的时候要注意什么？

生：（预设）由于这里要代入求值，所以当x=2时分母不能为0.

师：非常好，这三个整式中有几个可以作分母的呢？

生：（预设）三个都可以.

师：那我们一共可以组成几个不同的分式呢？

生：（预设）6个.

师：大家任意选取一个，先约分再代入求值.

师：大家发现这6个值有什么关系吗？

生：（预设）两两互为倒数.

师：这是因为分子分母互换的原因.

师：此题属于结论开放型问题.大家在解答的时候要注意选择的合理性，注意题目中

隐含的条件，在利用分式基本性质约分时，要把分式化到最简，然后代值计算.

类似性问题

1.下列运算正确的是（)

22

A-X-y_.x-ya-ba-b

A.

r+yx+y(a-b)2a+b

a2-h~

r_a-\-bD1

(a-b)2a-b1-x2x+1

解析:

分子分母同时除以-1,士2=叶2,A错误；（下一步）

-x+yx-y

分子分母同时除以3"），幺上吟=丝也学=巴心，B错误，C正确；（下

（a-b）2（a-b）2a-b

一步）

x-lx-1

分子分母同时除以（尸1）,—,D错误.

1-x2(1+xXDx+1

利用分式的基本性质进行约分.

3•已知则色的值是（）

ab2a-b

A.-B.--C.2D.-2

22

解析：

方法一：通分，取负倒数，所以卫-=一2；（下一步）

abab2a-b

方法二：特值法：取。=1,b=2,满足L所以士=监=-2.

ab2a-b1-2

考点8分式的运算

师：我们首先来回忆一下分式的运算法则.

回顾:

（点击分式的运算后出现同色字体）

加减乘除

乘方

（注：黄色标记内容点击冒号前面对应出示）

1.分式的加减法：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即

a,ba±b

­±—=----・

CCC

（2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即

—a±,—c=—ad±.—be=-a-d---±--b-e-.

bdbdbdbd

2.分式的乘法：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即

acac

—x—=一.

bdbd

3.分式的除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，

-4--=-x-=—（屏0,今0,80）.

bdbche

4.分式的乘方：分式乘方是把分子、分母各自乘方，即（”为整数）.

b"

（下一步）（因为写不下了所以换下一页）

（注：黄色标记内容点击冒号前面对应出示）

5.分式的混合运算顺序：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，

进行约分化简，最后进行加减运算，遇有括号，先算括号里面的.（下一步）

注意：（1）如果分式的分子与分母是多项式，应先将多项式因式分解.

（2）实数的各种运算律也适合分式的运算.

（3）分式运算的结果要化成最简分式.

师：回顾完分式的运算法则，接下来我们来看几道相关例题.

初步性问题

探究类型之一分式的化简求值

例1先化简，再求值：二2：+1,其中户―5.

（x-2）x-4

解析：

注意运算顺序.

先将括号里按同分母分式加减计算，再把分子和分母因式分解，然后进行约分,

最后代入求值.

答案:

解:（T）X2-2X+1

x2-4

x—1(x4-2)(x—2)

=----------X--------------------z-------

X—2(%—1)~

x+2

一1.

将X=-5代入化简后的分式得,

师：根据分式的运算顺序，我们应该先算什么，再算什么？

生：（预设）先算括号内的加法，再算除法.

师：括号内的怎么算？

生：（预设）把1看作三心，这样就变成了同分母的分式相加减.

x—2

师：好，接下来是分式的除法运算，要注意哪些问题？

生：（预设）除法变乘法，先因式分解，再约分.

师：因式分解是一种重要的数学方法，很多数学问题都要用到它，尤其是在分式化

简和分式的四则运算中有着极其关键的作用，在约分的时候我们一定要注意将结果

化成最简.

类似性问题

2•化简（9X\X

t的结果为

x-2)x2-4

解析：

_____

(x+2x-2)x"-4

2x(x-2)-x(x+2)x2-4

=-----------------------------x----------

(x+2)(x-2)x

—___x_(_x__-_6_)___x_(_x_+__2__)(_x_-_2__)

(x+2)(x-2)x

=x-6.

xx2x然后从不等组I-X-243,的解集中，选取一个你

3.先化简

x-55-xx2-252x<12

认为符合题意的X的值代入求值.

解析：

解不等式组可得-5方<6,在选取X的值的时候要注意应满足条件

%工0,

即#0、且洋一5.

(x+5)(x-5)00,

初步性问题

探究类型之二分式的创新应用

例2Si=l+—+—,S2=l+—+—,S3=l+—+—>…，S"=l+r'1--------

I22222323242/(〃+]>

设S=&+£+…+后，则S=(用含n的代数式表示，其中n为正

整数).

解析:

观察计算结果的变化规律，S尸...，猜想S”是完

全平方数，证明如下:

法一：5”=1+2+—T

n2(H+1)2

n2(n+l)2+(/j+l)2+n2

n2(»+l)2

〃2(〃+1y+2〃("+1)+1

“2("+1尸

法二：5=1+4+―二

n2(H+1)2

i—LY_^

nn+lj++

12

---------------7H-----7--------r

r--|2

=1H———-5——-・

故疯="("+i)+i=i+J=i+_L-_L,(下一步)

s=K+E+…+后

11、11X八11X

=(1+--—)+(1+—-—)+■■•+(1+--------)

1223nn+l

111111

—71H———4-------------

1223n72+1

_+2〃

〃+1-----

〃+1〃+1

答案：七3

〃+1

师：对于找规律性问题，我们首先要?

生：（预设）观察.

师：你观察得到哪些有用的信息？

生：（预设）S,S2,S3,…，S”的结构特点，是一些平方数的倒数的和.

师：还有呢？

生：（预设）要求得S是多,52,S3,…，S”的算术平方根的和.

师：所以我们猜想？

生：（预设）S1,%S3,…，S”是一些完全平方数.

师：那我们就要算算看了？

生：（预设）Si=（g］，S2=（\J，S3=（j|j，是完全平方数，而且括号里面分母是

两个连续整数的乘积，分子比分母大1.

师：好，我们来验证S”是完全平方数，在验证的时候我们可以借用求S”S2,S3的

方法先通分试试看，关键是将分子配成完全平方式.

学生尝试验证.

师：还有别的方法吗？观察代数式*的结构特点是平方和的形式，我们联想到利用

完全平方式恒等变换，再联想到裂项求和.

学生尝试计算.

师：此类问题一般是通过观察计算结果变化规律，猜想一般性的结论，再利用分式

的性质及运算予以证明.

类似性问题

2_2

1.设机>〃>0,n?2+n2=4mn,则？——。的值等于()

mn

A.26B.73C.76D.3

解析：

利用恒等变换：a2+b2=(a+h)2-2ah=(a-b)2+2ah.

法一：由m2^-n2=4mn得(〃2+〃户=6①〃，(m-n)2=2mn,

因为所以加+〃>0,/n〃>0,

所以m+n=\lbmn,m-n=\/2mn,

所以病一/z2=2石

(下一步)

mnmn

法二：由加2+〃2=4加〃可得里+巴=*故竺+巴=16,

nmynm)

22

因为帆>〃>0,所以二二上>0,

mn

22

所以里二L-3

mnntn

第二课时

教学路径

师：上节课我们复习了整式的概念及运算以及分式的概念，下面这节课我们一起来

复习一下二次根式的知识.

考点9二次根式的性质

师：首先请同学们先回忆一下二次根式的概念.

回顾：

'单项式

「整式《

有理式j1多项式

I分式

代数式"

I无理式-----二次根式(点击后出现二次根式的概念)

1.二次根式的概念

二次根式：形如右(«>0)的式子叫做二次根式.(下一步)

(注：黄色标记内容点击冒号前面对应出示)

最简二次根式：同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：

(1)被开方数中不含能开尽方的因数或因式；

(2)被开方数不含分母.

同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.

(下一步)

2.二次根式的性质：

(1)(Va)2=a(a>0)；

(2)y*

-a(a<0)；

（3）>[ab=y/a•4b（介0,6>0）；

（4）后=若（a>0,桓0）.

初步性问题

探究类型之一二次根式的有关概念

例1要使式子叵2有意义，则。的取值范围为，

解析：

（1）二次根式被开方数的非负性，（2）分母不为0.（下一步）

根据题意可知。+2加且存0,即。丝2且a#0.

答案：a”2且存0

师：同讨论分式有意义一样，我们也讨论了二次根式有意义的条件，我们来看这个

代数式有意义的条件是什么？

生：（预设）被开方数非负，分母不为0.

师：好，根据条件列出不等式组，求解即可，答案是？

生：（预设）血-2且存0.

师：此类有意义的条件问题主要是根据①二次根式的被开方数大于或等于零；②分

式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式的解集.

类似性问题

1.函数y=士2自变量的取值范围是（）

x—2

A.xh2且对2B.x>-2且对2

C.x=±2D.全体实数

解析:

根据题意得x+2>0且厂2#0,即x>-2且x/2.

初步性问题

探究类型之二二次根式的性质

例2数a,8在数轴上的位置如图所示，化简，（a+l）2+历方-府诟.

ab

iiT।i।Ti।.

-3-2-10123x

解析：

先去根号，再数形结合去绝对值.

观察数轴可知-2VaVT,l<b<2,故a+lVO,b-l>0,a-b<Q.

答案：

解：观察数轴可知-2VaV-l,Kb<2,故a+lVO,b~\>Q,a-b<0.

J（a+1）2+Js_i）2_J（j）2

=-a-1+b-1+a-b

=-2.

师：化简这类代数式的一般步骤是什么？

生：（预设）先去根号，再去绝对值.

师：关键是去绝对值的时候符号的选择，去绝对值时如何判断代数式的正负？

生：（预设）数形结合，根据数轴上点的位置判断数的取值范围.

师：请同学来说说具体判断的方法.

学生回答.

类似性问题

2.比较大小：-3币-2厉.

解析:

平方法比较大小.

因为（377）2=63,（2715）2=60,63>60,

所以3">2店，所以一3一〈一2后.

2

3.若整数m满足条件y](m+\)=m+l且m<~^=则m的值是

解析：

根据二次根式的性质：

由Ja〃+1）2=7〃+1可知加+120,即加三1；（下一步）

解不等式取整数解：

2

-1</»<<1,又加为整数，所以加的值是0或-1.

考点10二次根式的运算

师：下接下来同学们先回忆一下二次根式的运算法则.

回顾：

二次根式的运算（下一步）

（注：黄色标记内容点击冒号前面对应出示）

1.二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.

2.二次根式的乘除法：&•屈=y[ab（叱0,b>Q）.

(。>0,6>0).

注意：二次根式的最后结果应化为最简二次根式.

3.非负数：正数和零叫做非负数.

常见的非负数：

性质：几个非负数之和为0,则每一个非负数都为0.

初步性问题

探究类型之一二次根式的运算

例1计算：3(^-^)0-^2°/15+(-1)2011.

V5

(G—万)°=,(-1)201,=,叵=.

解析：

按照实数的混合运算法则和运算顺序直接进行计算，

(舁幻』，㈠产=7叵华一半=2-技

V5V5V5

答案：

解：原式=3X1-(2-V3)-1=73.

师：这道题目的运算顺序是?

生：(预设)先算灵指数幕，二次根式，正整数指数幕，后算加减.

类似性问题

2.计算：(2—卜&邛1.

答案：

原式=4-(3-20)+£I=1+ML