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高等数学（第二版）正项级数无穷级数定义1设无穷级数，如果，则称无穷级数为正项无穷级数。定理1正项无穷级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界。对于正项无穷级数，其部分和数列是单调增加数列，由数列极限的存在准则可知：若单调增加数列有上界，则存在，否则。由此可得到下述定理：（1）若正项无穷级数收敛，则正项无穷级数也收敛。（2）若正项无穷级数发散，则正项无穷级数也发散。值得注意的是：比较判别法的条件，其实不必从起始就要求上述不等式成立。因为由上一节性质3可知，改变一个无穷级数的有限项并不影响该无穷级数的收敛性，所以只要从某一项起

就可以了。定理2（比较判别法）若无穷级数和都是正项无穷级数，且满足解：由题设可知，所给定无穷级数的一般项为，且，因此无穷级数为正项无穷级数。此外，当时，有，故所以为收敛。由比较判别法可知收敛。取，则为几何级数，其公比，例1

试判断无穷级数的敛散性。一般称正项无穷级数用比较判别法判定一个正项无穷级数的敛散性时，经常将需判断的无穷级数的一般项与几何级数或-级数的一般项比较，然后确定该无穷级数的敛散性。可以证明：（1） 当时，-级数收敛。（2） 当时，-级数发散。为-级数（或称广义调和函数）。前述的调和级数是广义调和级数时的特殊情形。例2

试判断无穷级数的敛散性。解：由于所给定无穷级数的一般项为，且满足令，则为去掉第一项的调和级数，可知发散。由比较判别法可知也发散。解：已知所给定无穷级数的一般项为，且满足令，则为几何级数，公比为，可知级数收敛，故由比较判别法，可知也收敛。例3试判断无穷级数的敛散性。注意到级数的基本性质2与性质3，即级数的各项同乘以不为零的常数，去掉或添加有限项仍不改变级数的收敛性。由此可以得到下述更实用的结果。（2）若正项无穷级数发散，且存在，当时，有则正项无穷级数也发散。推论（1）若正项无穷级数收敛，且存在，当

时，有，则正项无穷级数也收敛。定理2.7.2’（极限形式的比较判别法）若无穷级数

和都是正项无穷级数，且，则正项无穷级数与有相同的收敛性。定理3（比值判别法）若正项无穷级数，满足条件（1）若，则无穷级数收敛；（2）若（或），则无穷级数发散。注：若，则本判别法不能判断所给定的无穷级数的敛散性。例4试判断无穷级数的敛散性。由比值判别法可知：无穷级数为收敛的。解：已知正项无穷级数的一般项为，由于解：已知的正项无穷级数的一般项为，由于由比值判别法可知：无穷级数发散。例5试判断无穷级数的敛散性。解：该无穷级数的一般项为，由于所以比值判别法失效，此时可考虑运用比较判别法。因为

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