数学示范教案：向量的加法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o（\s\up7（）,\s\do5(整体设计))教学分析向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算，其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明．同时运用它们进行相关计算,这可让学生进一步加强对向量几何意义的理解,也为接下来学习向量的减法奠定基础，起到承上启下的重要作用．学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量．在学习物理的过程中，已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件．培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识．在向量加法的概念中，由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况，因此有利于渗透分类讨论的数学思想．而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比，则能培养学生类比、迁移等能力．在实际教学中,类比数的运算，向量也能够进行运算．运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥．实际上，引入一个新的量后，考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题．教师应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算．向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的．建议直接从位移的合成引入向量的加法运算，认真分析“从点A位移到点B，再从点B位移到点C，等效于从点A到点C的位移”这句话的含义．这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上，同时还可以提醒学生注意，由于向量有方向，因此在进行向量运算时，不但要考虑大小问题，而且要考虑方向问题，从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别．这样做，有利于学生更好地把握向量加法的特点．因此本节的主要思想方法是类比思想、数形结合思想等．三维目标1．通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义．能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量．2．在探究活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义．掌握有特殊位置关系的两个向量的和．3．通过本节内容的学习,使学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识，体会数学在生活中的作用．培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力，初步体会向量内容与其他知识的交汇特点．重点难点教学重点：向量加法的运算及其几何意义．教学难点：对向量加法法则定义的理解．课时安排1课时eq\o（\s\up7(），\s\do5（教学过程)）导入新课思路1.(复习导入)我们通过“位移”和“两点的相对位置”学习了向量概念．现在要问，向量之间能否像数与式那样进行运算？如果可以进行某种运算，那么这些运算又将遵循什么样的运算法则?这一小节，我们要探索这些问题．思路2.(问题导入）2004年大陆和台湾没有直航，因此春节探亲，要先从台北到香港,再从香港到上海，这两次位移之和是什么？怎样列出数学式子?一位同学按以下的指令进行活动：向北走20米，再向西走15米，再向东走5米，最后向南走10米,怎样计算他所在的位置？由此导入新课．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究))向量加法的三角形法则eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题）)1数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法,应怎样定义向量的加法？你能从位移的角度来加以说明吗?,2猜想向量加法的法则是什么？与数的运算法则有什么不同?活动：向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成，如图1。如果一个动点由点A位移到点B，又由点B位移到点C，那么一定存在一个从点A到点C的位移与两次连续位移的结果相同．图1这时我们就说,动点从A到C的位移是动点A到B，再由B到C两次位移的和．从位移求和，我们可以引出下述向量的加法法则：已知向量a，b（图2(1))，在平面上任取一点A，作eq\o（AB，\s\up6（→）)＝a,eq\o（BC，\s\up6（→)）＝b，再作向量eq\o(AC,\s\up6（→))，则向量eq\o（AC,\s\up6(→））叫做a与b的和（或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝eq\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\o(BC，\s\up6(→)）＝eq\o（AC,\s\up6(→））.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．如图2（2)表示求两个平行向量和的特殊情况．图2数的加法也启发我们，从运算的角度看，eq\o(AB,\s\up6(→）)可以认为是eq\o(AC，\s\up6（→))与eq\o(AD，\s\up6(→)）的和，即位移、力的合成看作向量的加法．讨论结果：（1）向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．（2)向量求和的法则：1°向量求和的三角形法则已知向量a,b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC，\s\up6(→））＝b，再作向量eq\o(AC,\s\up6(→）），则向量eq\o（AC,\s\up6（→))叫做向量a与b的和，这种求向量和的作图方法就是向量加法的三角形法则．运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量,如图2.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．向量求和的三角形法则，可推广至多个向量求和的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合,组成一向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量,即eq\o（A0A1,\s\up6(→))＋eq\o（A1A2，\s\up6(→)）＋…＋An－1An＝eq\o(A0An,\s\up6(→））。2°向量求和的平行四边形法则如图3,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线eq\o(OC，\s\up6（→））就是a与b的和．我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则．力的合成可以看作向量加法的物理模型．3°向量求和的多边形法则由两个向量加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量．这样我们就能把三个、四个或任意多个向量相加．以四个向量为例说明如下(图4)．图3图4已知向量a,b，c，d。在平面上任选一点O，作eq\o（OA，\s\up6（→)）＝a，eq\o（AB，\s\up6(→)）＝b，eq\o（BC,\s\up6（→))＝c，eq\o(CD,\s\up6(→))＝d，则eq\o（OD，\s\up6（→))＝eq\o（OA，\s\up6（→））＋eq\o（AB，\s\up6（→)）＋eq\o(BC,\s\up6(→）)＋eq\o（CD，\s\up6（→))＝a＋b＋c＋d.已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．向量求和的平行四边形法则eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出问题）)1对于零向量与任一向量的加法，结果又是怎样的呢？2数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地，向量的加法是否也有运算律呢？活动：观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨，诱导,探究向量的加法在特殊情况下的运算,共线向量加法与数的加法之间的关系．数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有a＋b＝b＋a,（a＋b)＋c＝a＋（b＋c）．任意向量a，b的加法是否也满足交换律和结合律？引导学生画图进行探索．讨论结果：(1）对于零向量与任一向量，我们规定a＋0＝0＋a＝a.(2）如图5，作eq\o（AB，\s\up6(→））＝a，eq\o（BC，\s\up6(→))＝b.如果A,B，C不共线，则eq\o（AC,\s\up6(→））＝a＋b.图5再看看b＋a等于什么．作eq\o(AD，\s\up6（→))＝b,连接D，C,如果我们能证明eq\o(DC，\s\up6（→)）＝a,那么也就证明了加法交换律成立．由作图可知，eq\o（AD,\s\up6(→)）＝eq\o（BC，\s\up6(→）)＝b，因此四边形ABCD是平行四边形,这就证明了eq\o（DC，\s\up6（→))＝a，即加法交换律成立．对于A，B，C共线的情况，我们很容易验证，于是得到a＋b＝b＋a。如图6，因为eq\o(AD,\s\up6（→）)＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o（CD,\s\up6(→）)＝（eq\o（AB,\s\up6（→)）＋eq\o(BC,\s\up6(→))）＋eq\o(CD，\s\up6(→）)＝（a＋b）＋c，图6eq\o(AD，\s\up6(→)）＝eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\o（BD，\s\up6(→）)＝eq\o(AB,\s\up6（→))＋（eq\o(BC，\s\up6(→)）＋eq\o（CD，\s\up6(→）))＝a＋（b＋c),所以(a＋b）＋c＝a＋(b＋c）．综上所述，向量的加法满足交换律和结合律．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（应用示例）)思路1例1如图7，已知向量a、b，求作向量a＋b.活动：教师引导学生，让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．在向量加法的作图中，学生体会作法中在平面内任取一点O的依据-—它体现了向量起点的任意性．在向量作图时，一般都需要进行向量的平移，用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起,而用三角形法则作图则要求首尾相连．图7图8图9作法一：在平面内任取一点O（如图8），作eq\o(OA,\s\up6（→））＝a，eq\o（AB，\s\up6（→)）＝b，则eq\o(OB，\s\up6（→）)＝a＋b。作法二:在平面内任取一点O(如图9)，作eq\o（OA，\s\up6(→））＝a，eq\o(OB，\s\up6（→）)＝b.以OA、OB为邻边作OACB，连结OC,则eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b.变式训练1．化简：(1）eq\o（BC，\s\up6（→）)＋eq\o（AB,\s\up6(→)）；(2)eq\o（DB，\s\up6（→）)＋eq\o(CD,\s\up6(→））＋eq\o(BC，\s\up6(→））；(3)eq\o（AB,\s\up6(→））＋eq\o（DF，\s\up6(→）)＋eq\o(CD,\s\up6(→）)＋eq\o（BC,\s\up6（→）)＋eq\o(FA,\s\up6（→)）.活动：根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接，再运用向量加法的结合律调整运算顺序，然后相加．解：(1)eq\o(BC,\s\up6（→)）＋eq\o(AB，\s\up6(→）)＝eq\o(AB，\s\up6（→）)＋eq\o（BC，\s\up6（→））＝eq\o(AC,\s\up6（→)).(2)eq\o（DB，\s\up6(→)）＋eq\o（CD,\s\up6(→）)＋eq\o（BC,\s\up6(→）)＝eq\o（BC，\s\up6(→)）＋eq\o(CD，\s\up6(→）)＋eq\o（DB，\s\up6（→））＝（eq\o(BC，\s\up6(→)）＋eq\o(CD,\s\up6(→))）＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→）)＋eq\o(DB,\s\up6(→）)＝0.（3)eq\o(AB，\s\up6（→)）＋eq\o（DF,\s\up6（→）)＋eq\o（CD,\s\up6(→）)＋eq\o(BC,\s\up6（→））＋eq\o（FA，\s\up6(→））＝eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\o（BC，\s\up6(→)）＋eq\o(CD，\s\up6（→））＋eq\o（DF，\s\up6（→））＋eq\o（FA,\s\up6（→)）＝eq\o（AC，\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6（→)）＋eq\o(DF，\s\up6(→））＋eq\o（FA，\s\up6（→））＝eq\o（AD,\s\up6(→)）＋eq\o（DF，\s\up6(→)）＋eq\o(FA,\s\up6（→））＝eq\o（AF，\s\up6（→））＋eq\o（FA，\s\up6(→））＝0.点评：要善于运用向量的加法运算法则及运算律来求和向量.2。在△ABC中,已知D是AB边上一点，若eq\o（AD，\s\up6（→)）＝2eq\o（DB，\s\up6（→))，且eq\o（CD,\s\up6（→)）＝eq\f(1，3)eq\o(CA，\s\up6（→））＋λeq\o（CB,\s\up6(→）），则λ等于（)A.eq\f(1,3)B．－eq\f（1,3)C。eq\f（2，3)D．－eq\f（2,3)解析：eq\o（CD，\s\up6（→））＝eq\f（1,3）eq\o（CA，\s\up6（→)）＋eq\f(2，3）eq\o（CB,\s\up6（→））.答案：C例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图10所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.（1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字）;(2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．图10活动：本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用．这样的问题在物理中已有涉及，这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算，体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向(与某一方向所成角的大小)．引导点拨学生正确理解题意,将实际问题反映在向量作图上,从而与初中学过的解直角三角形建立联系．解：如图11所示，（1)eq\o（AD，\s\up6(→)）表示船速，eq\o(AB，\s\up6(→）)表示水速，以AD、AB为邻边作ABCD，则eq\o（AC,\s\up6(→）)表示船实际航行的速度．图11（2）在Rt△ABC中，|eq\o(AB，\s\up6（→))|＝2，|eq\o(BC，\s\up6（→））｜＝5,所以|eq\o(AC，\s\up6（→)）｜＝eq\r（\o（｜\o(AB，\s\up6(→）)｜2＋|\o（BC，\s\up6（→）)|2,\s\up6（)）)＝eq\r(22＋52）＝eq\r（29）≈5.4。因为tan∠CAB＝eq\f(\r(29）,2)，由计算器得∠CAB＝70°。答：船实际航行速度的大小约为5。4km/h,方向与水的流速间的夹角为70°。点评:用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题,解决问题．变式训练用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．证明：如图12，设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，eq\o（AB，\s\up6(→））＝eq\o(AO,\s\up6(→）)＋eq\o(OB,\s\up6（→)），eq\o(DC,\s\up6（→))＝eq\o(DO,\s\up6（→)）＋eq\o（OC,\s\up6(→））.AC与BD互相平分,eq\o(AO，\s\up6(→）)＝eq\o(OC，\s\up6(→))，eq\o（OB,\s\up6（→））＝eq\o（DO,\s\up6(→）)，图12∴eq\o(AB，\s\up6(→)）＝eq\o（DC,\s\up6(→))，因此AB∥CD且｜eq\o（AB，\s\up6（→）)｜＝|eq\o（DC，\s\up6（→））｜，即四边形ABCD是平行四边形．点评：证明一个四边形是平行四边形时，只需证明eq\o(AB，\s\up6（→））＝eq\o（DC,\s\up6(→））或eq\o（AD,\s\up6（→)）＝eq\o（BC,\s\up6（→）)即可．而要证明一个四边形是梯形，需证明eq\o(AB，\s\up6（→))与eq\o（DC,\s\up6（→））共线，且｜eq\o(AB，\s\up6（→））｜≠｜eq\o(DC,\s\up6（→）)|。例3轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40nmile（海里)到达B处，再由B处沿正北方向行驶40nmile到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．解：如图13,设eq\o（AB，\s\up6(→)）、eq\o（BC,\s\up6(→）)分别表示轮船的两次位移,则eq\o(AC,\s\up6（→）)表示轮船的合位移，eq\o（AC,\s\up6(→））＝eq\o(AB，\s\up6(→））＋eq\o(BC,\s\up6（→））。图13在Rt△ADB中，∠ADB＝90°,∠DAB＝30°，｜eq\o（AB，\s\up6（→）)|＝40nmile，所以｜eq\o(DB,\s\up6（→））|＝20nmile,｜eq\o(AD,\s\up6(→)）|＝20eq\r(3)nmile。在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，|eq\o(DC，\s\up6（→）)｜＝60nmile，所以|eq\o（AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(｜\o(AD,\s\up6（→)）｜2＋｜\o（DC,\s\up6（→)）｜2,\s\up6()）)＝eq\r（20\r（3)2＋602)＝40eq\r（3)(nmile)．因为｜eq\o(AC，\s\up6(→))|＝2|eq\o（AD,\s\up6(→)）|，所以∠CAD＝60°。答：轮船此时位于A港东偏北60°，且距A港40eq\r(3)nmile的C处．思路2例1如图14,O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量:（1)eq\o（OA，\s\up6(→))＋eq\o（OC，\s\up6（→））;(2)eq\o(BC，\s\up6（→))＋eq\o（FE，\s\up6（→))；（3)eq\o(OA,\s\up6（→））＋eq\o(FE，\s\up6（→）)。活动:教师引导学生由向量的平行四边形法则(三角形法则）作出相应的向量．教师一定要让学生亲自动手操作,对思路不清的学生教师适时地给予点拨指导．图14解：(1)因四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故eq\o(OA，\s\up6(→))＋eq\o(OC，\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6（→）)。(2)因eq\o（BC，\s\up6(→）)＝eq\o(FE,\s\up6(→))，故eq\o(BC,\s\up6（→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))与eq\o（BC，\s\up6（→）)方向相同，长度为eq\o(BC，\s\up6(→）)的长度的2倍,故eq\o（BC,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6（→)）＝eq\o（AD,\s\up6（→)）。(3)因eq\o（OD，\s\up6（→））＝eq\o(FE,\s\up6(→）），故eq\o（OA,\s\up6（→）)＋eq\o(FE，\s\up6(→））＝eq\o(OA,\s\up6（→）)＋eq\o(OD，\s\up6（→））＝0。点评：向量的运算结合平面几何知识，在长度和方向两个方面作文章．应深刻理解向量的加、减法的几何意义．变式训练某人先位移向量a：“向东走3km”，接着再位移向量b:“向北走3km”，求a＋b.解：如图15所示,适当选取比例尺，作eq\o(OA,\s\up6(→））＝a＝“向东走3km”，eq\o（AB,\s\up6(→))＝b＝“向北走3km”，图15则eq\o(OB,\s\up6(→）)＝eq\o(OA,\s\up6(→)）＋eq\o（AB,\s\up6（→））＝a＋b。因为△OAB为直角三角形，所以|eq\o（OB,\s\up6(→))|＝eq\r（32＋32)＝3eq\r(2)（km)．又因为∠AOB＝45°,所以a＋b表示向东北走3eq\r(2）km。例2两个力F1和F2同时作用在一个物体上，其中F1＝40N，方向向东，F2＝30N，方向向北，求它们的合力．解：如图16,eq\o(OA,\s\up6（→)）表示F1，eq\o（OB,\s\up6(→)）表示F2，以OA、OB为邻边作OACB，则eq\o(OC，\s\up6(→))表示合力F。图16在Rt△OAC中,｜eq\o(OA,\s\up6（→）)｜＝｜F1｜＝40N，|eq\o（AC，\s\up6（→））｜＝|eq\o（OB，\s\up6（→））｜＝|F2｜＝30N.由勾股定理，得|F|＝｜eq\o（OC，\s\up6（→））|＝eq\r(\o（|\o(OA,\s\up6(→)）|2＋|\o（AC,\s\up6（→）)｜2,\s\up6(）))＝eq\r（402＋302）＝50（N）．设合力F与力F1的夹角为θ，则tanθ＝eq\f(｜\o(AC,\s\up6(→)）|,|\o(OA,\s\up6(→）)｜）＝eq\f（｜F2｜，｜F1|）＝eq\f（3，4）＝0。75.所以θ≈37°。答：合力大小为50N，方向为东偏北37°。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（课堂小结))1．先由学生回顾本节学习的数学知识:向量的加法定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，几何作图，向量加法的实际应用．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法:特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法．这种迁移类比的方法将把我们引向数学的王国，科学的殿堂．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作业)）课本本节练习A组1,2，3。eq\o（\s\up7（），\s\do5(设计感想））1．本节内容是向量的加法,运算法则有三角形法则和平行四边形法则，而两个法则的运用有各自的条件：三角形法则适合于首尾顺次相接的两向量相加，对于共线向量的加法仍然适合；而平行四边形法则适合于两个同起点的向量相加，对于共线向量却不能用此法解决．三角形法则可以推广到多个首尾顺次相接的向量的加法．2．本节要求使用多媒体辅助教学，便于直观、生动地揭示向量加法的概念，突破难点，提高效率．因为本节解决问题的方法主要是借助图形,采用数形结合的思想方法，多让学生动手画图,识图，让学生在动态中经历和体会概念的形成过程．让学生自己类比、猜想、发现及应用新知识解决问题．eq\o(\s\up7(）,\s\do5（备课资料)）备用习题1．已知正方形ABCD的边长为1，eq\o(AB，\s\up6（→)）＝a，eq\o（AC,\s\up6（→)）＝c，eq\o（BC，\s\up6（→)）＝b，则|a＋b＋c｜为（）A．0B．3C.eq\r（2）D．2eq\r（2)2．如图17，D为△ABC的边AB的中点，则向量eq\o(CD，\s\up6(→))等于（)图17A．－eq\o(BC,\s\up6（→)）＋eq\f（1，2）eq\o（BA，\s\up6（→)）B．－eq\o（BC,\s\up6（→））－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→）)C。eq\o（BC，\s\up6（→）)－eq\f(1，2）eq\o（BA，\s\up6（→）)D。eq\o（BC，\s\up6（→））＋eq\f(1，2）eq\o(BA，\s\up6(→)）3．设向量a，b都不是零向量：（1)若向量a与b同向，则a＋b与a的方向__________，且｜a＋b|__________|a｜＋|b|；（2）若向量a与b反向，且|a｜〉|b｜，则a＋b与a的方向__________，且｜a｜＋｜b|__________|a｜－|b｜.4．如图18所示,已知正方体ABCD—A1B1C1D1，图18设eq\o(AB，\s\up6（→)）＝a，eq\o(AD，\s\up6（→))＝b，eq\o(AA1，\s\up6（→）)＝c，则eq\o（AC1,\s\up6（→)）＝__________。（用a、b、c表示)5．某人在静水中游泳，速度为4eq\r（3）km/h，如果他径直游向对岸，水流速度为4km/h，则他实际以多大的速度沿何方向游？6．在中心为O的正八边形A1A2…A8中,a0＝eq\o（A8A1,\s\up6（→)),ai＝AiAi＋1(i＝1，2,…，7