湖南省长沙市百强校2025届高三上学期月考（三）（11月）数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖南省长沙市百强校2025届高三上学期月考（三）（11月）数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足1+iz=3−4i，则z=A. 55 B.25 C. 2.已知数列an的前n项和Sn=n2−2nA.12 B.15 C.18 D.213.抛物线y=4x2的焦点坐标为(

)A.(1,0) B.(−1,0) C.(0,−116)4.如图是函数y=sinωx+φ的部分图象，则函数的解析式可为(

)

A.y=sinπ3−2xB.y=sinx+5.1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v满足公式：v=v0lnm1+m2m1，其中m1，m2分别为火箭结构质量和推进剂的质量，v0是发动机的喷气速度．已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2A.10 km/s B.20 km/s C.803km/s 6.若3cos α+ 10cos β=85，3sin α−A.− 54 B. 54 7.如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为23，向右的概率为13，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为(

)

A.427 B.827 C.298.设Sn为数列an的前n项和，若an+an+1=2n+1，且存在k∈NA.−20,21 B.−20,20 C.−29,11 D.−20,19二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别为AA.直线EF与D1B1为异面直线 B.直线D1E与DC1所成的角为60°

10.已知P是圆O：x2+y2=4上的动点，直线l1：xcos θ+ysin θ=4与l2：A.l1⊥l2 B.直线l1与圆O相切

C.直线l2与圆O截得弦长为11.已知三次函数fx=ax3+bx2+cx+d有三个不同的零点x1，x2，x3xA.b2>3ac

B.若x1，x2，x3成等差数列，则x2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量X服从二项分布Bn,p，若EX=3，DX=213.已知平面向量a，b满足a=2，b=1，且b在a上的投影向量为−14a，则14.如图，已知四面体ABCD的体积为32，E，F分别为AB，BC的中点，G，H分别在CD，AD上，且G，H是靠近D点的四等分点，则多面体EFGHBD的体积为____．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin B− (1)求A；(2)若sin B+sin C=2sin A，且△ABC的面积为 316.(本小题12分)设fx=x(1)若a=0，求f(x)在x=1处的切线方程；(2)若a∈R，试讨论fx的单调性．17.(本小题12分)已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PD=PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD //平面AMHN．(1)证明：MN⊥PC；2当H为PC的中点，且PA=PC= 3AB，若PA与平面ABCD所成的角为60°，求锐二面角18.(本小题12分)已知双曲线Γ：x2−y23=1的左、右焦点为F1，F2，过F2(1)若AB⊥x轴，求线段AB的长；(2)若直线l与双曲线的左、右两支相交，且直线AF1交y轴于点M，直线BF1交(i)若S△F1(ii)若F1，F2恒在以MN为直径的圆内部，求直线l19.(本小题12分)已知an是各项均为正整数的无穷递增数列，对于k∈N ​∗，设集合Bk={i∈N ∗|a1若an=n2，求b1，b2若an=2n，设bn的前n项和为S3若数列bn是等差数列，求数列an的通项公式．参考答案1.C

2.B

3.D

4.A

5.B

6.C

7.A

8.A

9.ABD

10.ACD

11.ABD

12.9

13.314.11

15.解：(1)由正弦定理得sinAsinB−3sinBcosA= 0，

因为B∈(0,π)，所以sinB≠0，故tanA=3，

因为在△ABC中，A∈(0,π)，所以A=π3；

(2)因为sinB+sinC= 2sinA，

由正弦定理的边角互化可得b+c=2a，

16.解：(1)当a=0时，f(x)=x2(lnx+12)，知f′(x)=2xlnx+2x，

于是f′(1)=2，f(1)=12，

故切线方程为y=2(x−1)+12，即2x−y−32=0；

(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=(2x+a)lnx+x+a+x=(2x+a)(lnx+1)，

若a≥0，则2x+a>0，知f′(x)=0有唯一解x=1e，

故f(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增;

若a<0，则令f′(x)=0，有两解x1=1e，x2=−a2

，则当1e<−a2，即a<−2e时，f(x)在(0,1e)上递增，

在(1e,−a2)上递减，在(−a2,+∞)上递增;

当1e=−a2，即a=−2e时，知f′(x)≥0，

故f(x)在(0,+∞)上单调递增17.(1)证明：连接AC交BD于O，

因为ABCD为菱形，

所以BD⊥AC，且O为AC、BD的中点，

∵PD=PB，

∴PO⊥BD．

∵AC∩PO=O，且AC⊂面PAC、PO⊂面PAC．

∴BD⊥面PAC．

∵PC⊂面PAC，

∴BD⊥PC．

∵BD//平面AMHN，且面PBD∩平面AMHN=MN，BD⊂面PBD，

∴DB/​/MN．

∴MN⊥PC．

(2)解：由(1)得DB⊥AC且PO⊥BD，

∵PA=PC，且O为AC中点，

∴PO⊥AC，

又AC∩BD=O，AC⊂面ABCD，BD⊂面ABCD，

∴PO⊥面ABCD，

∵PA

与平面

ABCD

所成的角为∠PAO=60°．

可得AO=12PA，PO=32PA，

∵PA=3AB，

∴BO=36PA．

以O为原点，建立如图的空间直角坐标系O−xyz．

记PA=2，∴O(0,0,0)，A(1,0,0)，

B(0,33,0),C(−1,0,0),D(0,−33,0)，P(0,0,3)，H(−12,0,32)，

∴DB=(0,233,0)，AH=(−32,0,318.解：(1)因为a2=1，b2=3，所以c2=a2+b2=4⇒c=2，

所以F2(2,0)，

当直线l过点F2且l⊥x轴，直线l方程为x=2，

代入双曲线方程x2−y23=1，解得y=±3，

所以|AB|=6．

(2)(i)如图所示，

设l:x=my+2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立x=my+2,3x2−y2=3,得(3m2−1)y2+12my+9=0，

因为与双曲线左、右两支相交，

故3m2−1>0,△=36(m2+1)>0,即m2>13，

此时AF1:y=y1x1+2(x+2)，

故M(0,2y1x1+2)，同理N(0,19.解：(1)B1={i∈N∗|ai<1}=⌀，B2={i∈N∗|ai<2}={1}，B17={i∈N∗|ai<17