2024-2025学年北京市海淀区首都师大附中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市海淀区首都师大附中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知zi=i−1，则|z|=(

)A.0 B.1 C.2 D.2.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1A.AC1−

B.A1C

3.已知A(2,−3,−1)，B(−6,5,3)，则AB的坐标为(

)A.(−8,8,−4) B.(−8,8,4) C.(8,−8,4) D.(8,−8,−4)4.如图，已知正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，AA′⋅DB′=(

)

A.1 B.2 C.3 5.设n1，n2分别是平面α，β的法向量，其中n1=(1,y,−2)，n2=(x,−2,1)，若A.−92 B.−72 C.6.已知直线l1的方向向量为u=(0,0,1)，直线l2的方向向量为v=(0,3,−1)，则直线A.30° B.60° C.120° D.150°7.已知n为平面α的一个法向量，a为直线l的方向向量，则“a⊥n”是“l//α”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知点O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量a=OA+OB+OC，向量b=OAA.OA B.OB C.OC D.OA或OB9.在空间直角坐标系Oxyz中，点A(2,1,1)在坐标平面Oxz内的射影为点B，且关于y轴的对称点为点C，则B，C两点间的距离为(

)A.17 B.32 C.210.如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为(

)A.23

B.34

C.12二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。11.已知向量a=(2,−3,1)，则与a共线的单位向量为______．12.已知向量a=(2,0,−1)，b=(m,−2,1)且a⊥b，则m=______，|13.已知直线l经过A(1,0,1)，B(2,0,0)两点，则点P(2,1,4)到直线l的距离为______．14.在空间直角坐标系Oxyz中，已知AB=(2,0,0)，AC=(0,2,0)，AD=(0,0,2).则CD与CB的夹角的余弦值为______；CD在CB的投影向量a=15.以下关于空间向量的说法：

①若非零向量a，b，c满足a//b，b//c，则a//c

②任意向量a，b，c满足(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)

③若{OA,OB,OC}为空间向量的一组基底，且OD三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E为线段B1C1的中点．

(1)求证：AA1⊥D17.(本小题15分)

如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2，高为4，D为CC1的中点，E为A1B1的中点．

(1)求证：C18.(本小题15分)

如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=22，∠BAD=60°，∠BAA1=∠DAA1=45°，AC与BD相交于点O，设AB=a，AD=b，19.(本小题15分)

如图，四棱锥S−ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．

(1)求证：AC⊥SD；

(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小；

(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC？若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

参考答案1.C

2.C

3.B

4.A

5.D

6.B

7.B

8.C

9.D

10.A

11.(14712.12

13.3

14.12

(1,−1,0)15.①③

16.(1)证明：因为ABCD−A1B1C1D1是正方体，

故可得AA1⊥面A1B1C1D1，

又D1E⊂面A1B1C1D1，

故AA 1⊥D1E；

(2)解：以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

如图所示：

则可得：D1(0,0,2)，B(2,2,0)，E(1,2,2)，A1(2,0,2)，

D1E=(1,2,0),BE=(−1,0,2),A1D1=(−2,0,0)，

17.(1)证明：以A为坐标原点，以AC，AA1所在直线为y轴，z轴，

在平面ABC内作与AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，

如图所示，

C1(0,2,4)，B(3,1,0)，D(0,2,2)，E(32,12,4)，A1(0,0,4)，C(0,2,0)，

所以C1E=(32,−32,0)，A1B=(3,1,−4)，BD=(−3,1,2)，

设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z)，

所以n⋅A1B=0n⋅BD=0，即3x+y−4z=0−3x+y+2z=0，

令x=3，所以z=1，y=1，

即n=(3,1,1)为平面A1BD的一个法向量，18.解：(1)OA1=OA+AA1=−12(AB+AD)+AA1=−12AB−12AD+AA1=−12a−12b+c；

(2)AB=4，AD=2，AA1=22，∠BAD=60°，∠BAA1=∠DAA19.(1)求证：连接BD，交AC于O，连接OP、OS，

因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，AO=OC，

又因为SA=SC，所以AC⊥OS，

因为BD∩OS=O，所以AC⊥平面SBD，

因为SD⊂平面ABD

所以AC⊥SD．

(2)解：由(1)知AC⊥平面ABD，

所以AC⊥OP，AC⊥OD，

所以∠POD是平面PAC与平面ACD所成二面角的平面角，

因数SD⊥平面PAC，OP⊂平面PAC，

所以SD⊥OP，设AB=a，

所以sin∠POD=sin∠OSD=ODSD=22a2a=12，

因为∠POD为锐角，所以∠POD