2024-2025学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.2圆的一般方程学案含解析北师大版必修2

PAGE2.2圆的一般方程考纲定位重难突破1.正确理解圆的一般方程及其特点．2.会由圆的一般方程求其圆心、半径．3.会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简洁应用．4.初步驾驭点的轨迹方程的求法，并能简洁应用.重点：用二元二次方程表示圆的条件及圆的一般方程解题．难点：圆与方程、不等式结合命题．方法：数形结合思想在解题中的应用.授课提示：对应学生用书第49页[自主梳理]圆的一般方程1．方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程，其圆心为C(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))，半径为r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).2．说明：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不肯定表示圆，当且仅当D2＋E2－4F>0时，表示圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．[双基自测]1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是()A．以(1，－2)为圆心，eq\r(11)为半径的圆B．以(1,2)为圆心，eq\r(11)为半径的圆C．以(－1，－2)为圆心，eq\r(11)为半径的圆D．以(－1,2)为圆心，eq\r(11)为半径的圆解析：方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝11，可知该方程表示圆心为(－1,2)，半径为eq\r(11)的圆．答案：D2．假如方程2x2＋2y2－ax＋eq\f(1,2)＝0表示的曲线是圆，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．RC．(－2,2)D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：原方程可化为x2＋y2－eq\f(a,2)x＋eq\f(1,4)＝0，所以方程表示圆的条件是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))2－4×eq\f(1,4)>0，即a2>4，解得a>2或a<－2.答案：A3．圆x2＋y2－2x＋6y＋6＝0的周长是________．解析：圆的半径r＝eq\f(1,2)eq\r(4＋36－24)＝2.∴周长为2πr＝4π.答案：4π4．到两定点O(0,0)，A(0,3)距离的比为eq\f(1,2)的点的轨迹方程为________．解析：设点P(x，y)是所求轨迹上随意一点，则由题意可知eq\f(|PO|,|PA|)＝eq\f(1,2)，由两点间距离公式，上式可表示为eq\f(\r(x2＋y2),\r(x2＋y－32))＝eq\f(1,2)，化简整理得x2＋y2＋2y－3＝0.答案：x2＋y2＋2y－3＝05．求过点A(1,2)，B(1,0)且圆心在直线x－2y＋1＝0上的圆的方程．解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＋2E＋F＋5＝0，,D＋F＋1＝0，,\f(D,2)－E－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－2，,F＝1，))所以圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0.授课提示：对应学生用书第49页探究一推断二元二次方程是否表示圆[典例1]推断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径[解析]解法一由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)＝eq\r(5)|m－2|.解法二原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝eq\r(5)|m－2|.1．解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x2与y2的系数是否相等；(2)不含xy项．当它具有圆的一般方程的特征时，再看D2＋E2－4F>0是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，视察等号右边是否为正数2．(1)圆的标准方程eq\o(,\s\up7(平方绽开整理),\s\do5(配方))圆的一般方程．(2)由公式求半径和圆心坐标时，肯定要留意圆的一般方程的形式，二次项系数相等且为1.1．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示圆．(1)求实数t的取值范围；(2)求该圆的半径r的取值范围．解析：(1)∵方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示圆，∴4(t＋3)2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)＞0，即7t2－6t－1＜0，解得－eq\f(1,7)＜t＜1.故实数t的取值范围为(－eq\f(1,7)，1)．(2)r2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－(16t4＋9)＝－7t2＋6t＋1＝－7(t－eq\f(3,7))2＋eq\f(16,7)，∴r2∈(0，eq\f(16,7)]，∴r∈(0，eq\f(4\r(7),7)]，即r的取值范围为(0，eq\f(4\r(7),7)]．探究二求圆的一般方程[典例2](1)已知点A(2，－2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程；(2)已知一个圆经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且圆心到直线PQ的距离为eq\f(\r(2),2)，求该圆的方程．[解析](1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D－2E＋F＝－8，,5D＋3E＋F＝－34，,3D－E＋F＝－10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝8，,E＝－10,F＝－44.))于是圆的方程为x2＋y2＋8x－10y－44＝0.(2)依题意，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则有(4－a)2＋(－2－b)2＝r2，①(－1－a)2＋(3－b)2＝r2，②又kPQ＝eq\f(3－－2,－1－4)＝－1，于是PQ所在直线的方程为y－3＝－(x＋1)，即x＋y－2＝0，因此有eq\f(|a＋b－2|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).③解①②③组成的方程组可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，,r＝\r(13)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，,r＝\r(13).))于是所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝13.1．用待定系数法求圆的一般方程的步骤：(1)设出一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；(2)依据题意，列出关于D，E，F的方程组；(3)解出D，E，F的值代入即得圆的一般方程．2．对圆的一般方程和标准方程的选择：(1)假如由已知条件简洁求得圆心坐标和半径或需用到圆心坐标或半径来列方程组时，通常设圆的标准方程求解；(2)假如已知条件与圆心坐标和半径均无干脆的关系，可通过设圆的一般方程求解．2．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．解析：法一：曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2eq\r(2)，0)，(3－2eq\r(2)，0)，设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋E＋F＝0，,3＋2\r(2)2＋D3＋2\r(2)＋F＝0，,3－2\r(2)2＋D3－2\r(2)＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－6，,E＝－2，,F＝1，))满意D2＋E2－4F＞0，故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.法二：曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2eq\r(2)，0)，(3－2eq\r(2)，0)．故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2eq\r(2))2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为eq\r(32＋t－12)＝3，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.探究三圆的方程的综合应用[典例3]如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1[解析]以圆拱桥顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)，B(－6，－2)，设圆拱所在的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为原点在圆上，所以F＝0，另外点A，点B在圆上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(40＋6D－2E＝0，,40－6D－2E＝0.))∴D＝0，E＝20，∴圆的方程为x2＋y2＋20y＝0.当水面下降1m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0>0)，如图所示，将A′的坐标(x0，－3)代入圆的方程，求得x0＝eq\r(51)，所以，水面下降1m后，水面宽为2x0＝2eq\r(51)(m)．在解决圆在实际生活中的应用问题时，借助坐标系，利用方程求解可取得简便、精确的效果．应用解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助．3．一辆卡车宽3m，要经过一个半径为5m的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的距离不得超过解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则圆的方程为x2＋y2＝25(y>0)，当x＝3时，y＝4，即高度不得超过4m.圆的一般方程的应用[典例](本题满分12分)已知方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝(1)若此方程表示圆，求实数a的取值范围；(2)求此方程表示的圆的面积最大时a的值及此时圆的方程．[规范解答](1)由条件知a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0.即3a2＋4a－4<0，所以－2<a<eq\f(2,3).即实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3))).6分(2)要使圆的面积最大，只需圆的半径最大即可，由于r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)＝eq\f(1,2)eq\r(－3a2－4a＋4)＝eq\f(1,2)eq\r(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(2,3)))2＋\f(16,3)).②9分因为－2<a<eq\f(2,3)，所以a＝－eq\f(2,3)时，r取得最大值，从而圆的面积取得最大值，此时圆的方程为x2＋y2－eq\f(2,3)x－eq\f(4,3)y－eq\f(7,9)＝0.12分[规范与警示](1)解题过程中①处依据一般式确定出关于a的不等式是解题的关键，也是失分点．(2)在求圆的面积的最大值时，将面积问题转化为求半径的函数问题，利用函数最值的求法求圆的面积最大时a的值，如②处，是又一失分点．[随堂训练]对应学生用书第50页1．方程x2＋y2－4x＋4y＋10－k＝0表示圆，则k的取值范围是()A．k<2 B．k>2C．k≥2 D．k≤2解析：依题意有(－4)2＋42－4×(10－k)>0，解得k>2.答案：B2．圆x2＋y2－4x＝0的圆心坐标和半径分别为()A．(0,2)，2 B．(2,0)，4C．(－2,0)，2 D．(2,0)，2解析：圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝4，可知圆心坐标为(2,0)，半径为2.故选D.答案：D3．若圆经过两点(2,0)和(0，－4)，且圆心在直线y＝－x上，则其方程为________．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋0＋2D＋F＝0，,0＋16－4E＋F＝0，,－\f(D,2)＝－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－6，,E＝6，,F＝8，))所以圆的方程是x2＋y2－6x＋6y＋8＝0.答案：x2＋y2－6x＋6y＋8＝04．已知一个